高中数学竞赛(00-06年)试题分类汇总集合和函数_免.doc

高考资源网（），您身边的高考专家高中数学竞赛（00-06年）试题分类汇总集合和函数一、 选择题（每小题6分）1 （00全国）设全集是实数，若A=x|0，B=x|=,则是( D ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(A)2 (B)-1 (C)x|x2 (D)2 （01全国）已知a为给定的实数，那么集合Mx|x23xa220，xR的子集的个数为( )A.1 B2 C.4 D.不确定解：M表示方程320在实数范围内的解集由于140，所以含有2个元素故集合有24个子集，选3 （02全国）函数f (x)=log1/2(x2-2x-3)的单调递增区间是（ ）（A）（,1）（B）（,1）（C）（1,）（D）（3, ）解：由x2-2x-30有x-1或x3，故函数log1/2(x2-2x-3)的定义域为x-1或x3。二次函数u=x2-2x-3在（-，-1）内单调递减，在（3，+）内单调递增。而log1/2u在(0,+)上单调递减，所以log1/2(x2-2x-3)在(-,-1)单调递增，故选A。4 （02全国）函数f(x)=x/1-2x-x/2 （）（A）是偶函数但不是奇函数（B）是奇函数但不是偶函数（C）既是偶函数又是奇函数（D）既不是偶函数也不是奇函数解：函数f(x)的定义域是(-,0)(0,+)，当x0时，因为f(-x)=(-x)/(1-2-x)-(-x)/2=(-x2x)/(2x-1)+(x/2)=(x+x(2x-1)/(1-2x)+(x/2)=(x/(1-2x)-x+(x/2)=(x/(1-2x)-(x/2)=f(x)，所以f(x)为偶函数，显然f(x)不是奇函数，故选A。5 （06全国）已知集合，,，且，则整数对的个数为 （ ）A. 20 B. 25 C. 30 D. 42 【解】；。要使，则，即。所以数对共有。 【答】 （ C ）6 （06全国）设，则对任意实数，是的A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件 （ ）C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【解】显然为奇函数，且单调递增。于是，若，则，有，即，从而有.反之，若，则,推出 ，即 。 选A .7 （04天津）已知函数的反函数是，且，则（ D ）（A） （B）（C）（D）8 （05天津）已知f(x)是定义在R上的不恒为0的函数如果对于任意的a、bR都满足f(ab)af(b)bf(a)，则函数f(x) ( )(A)是奇函数(B)是偶函数(C)既是奇函数又是偶函数(D)既不是奇函数也不是偶函数解：A由f(1)f(1)f(1)有f(1)0，而f(1)2f(1)，f(1)0，f(x)f(x)xf(1)f(x)9 （06天津）已知函数，当时，恒成立，则的取值范围是（ D ）（A）（B）（C）（D）10 （06天津）已知集合是集合的子集，且对任意，都有，则集合中的元素最多有（ A ）（A）67个（B）68个（C）69个（D）70个二、填空题（本题满分54分，每小题9分）11 （01全国）函数yx的值域为_.解：先平方去掉根号由题设得（）32，则（2）（23）由，得（2）（23）解得132，或2由于能达到下界0，所以函数的值域为1，322，说明：（1）参考答案在求得132或2后，还用了较长的篇幅进行了一番验证，确无必要 （2）本题还可以用三角代换法和图象法来解，不过较繁，读者不妨一试12 （02全国）已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1且对任意xR都有f(x+5)f(x)+5，f(x+1)f(x)+1。若g(x)=f(x)+1-x，则g(2002)=。解：由g(x)=f(x)+1-x得：f(x)=g(x)+x-1，所以g(x+5)+(x+5)-1g(x)+(x-1)+5, g(x+1)+(x+1)-1g(x)+(x-1)+1.即g(x+5)g(x),g(x+1)g(x). g(x)g(x+5)g(x+4)g(x+3)g(x+2)g(x+1)g(x).g(x+1)=g(x).即g(x)是周期为的周期函数，又g(1)=1，故g(2002)=1.13 （02全国）若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1，则x-y的最小值是。解：由对称性只考虑y0，因为x0，所以只须求x-y的最小值.令x-y=u代入x2-4y2=4,有3y2-2uy+(4-u2)=0.这个关于y的二次方程显然有实根，故=16(u2-3)0,u3.当x=(4/3)3,y=(3)/3时,u=3.故x-y的最小值为3.14 （03全国）已知a，b，c，d均为正整数，且，若ac9，则bd 解：由已知可得：，从而，因此ab，cd又由ac9，故，即，故得，解得故bd9315 （03全国）不等式 | x | 32x24| x | 3 0 的解集是_解：由原不等式分解可得(| x |3)(x2| x |1)0，由此得所求不等式的解集为16 （03全国）已知Axx24x30，xR，Bx21xa0，x22(a7)50，xR，若AB，则实数a的取值范围是_解：易得：A(1，3)，设，要使，只需f (x)、g (x)在(1，3)上的图象均在x轴下方，其充要条件是f (1)0，f (3)0，g (1)0，g (3)0，由此推出4a117 （04全国）设函数，且对任意，则=_。解：= 即。18 （05全国）已知是定义在上的减函数，若成立，则的取值范围是解：在上定义，又 仅当或时，在上是减函数，结合（）知或19 （04天津）若关于的方程只有一个实数解，则的值等于 100 20 （05天津）已知二次函数f(x)满足f(1)0，且xf(x)(x21)对一切实数x恒成立，那么，函数f(x)的解析式为_(x1)2 _三、解答题(每小题20分)21 （00全国）若函数在区间a,b上的最小值为2a，最大值为2b，求a,b.答案：22 （02全国）设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR,a0)满足条件：（1）当xR时,f(x-4)=f(2-x),且f(x)x;92）；（2）当x(0,2)时，f(x)(x+1)/2)2;（3）f(x)在R上的最小值为0.求最大的m(m1)，使得存在tR，只要x1,m，就有f(x+t)x。解：f(x-4)=f(2-x),函数的图象关于x=-1对称，-b/2a=-1,b=2a.由(3)x=-1时，y=0，即a-b+c=0，由(1)得f(1)1，由(2)得f(1)1，f(1)=1,即a+b+c=1,又a-b+c=0,b=1/2,a=1/4,c=1/4,f(x)=(1/4)x2+(1/2)x+(1/4).假设存在tR，只要x1,m,就有f(x+t)x.取x=1有f(t+1)1.即(1/4)(t+1)2+(1/2)(t+1)+(1/4)1,解得-4t0.对固定的t-4,0,取x=m，有f(t+m)m,即(1/4)(t+m)2)+(1/2)(t+m)+(1/4)m,化简有m2-2(1-t)m+(t2+2t+1)0解得1-t-( )1-t+ 于是有m1-t+1-(-4)+ =9.当t=-4时，对任意的x1,9，恒有f(x-4)-x=(1/4)(x2-10x+9)=1/4(x-1)(x-9)0.所以m的最大值为。23 （04全国）已知是方程的两个不等实根，函数的定义域为。（）求；（）证明：对于，若 。解：（）设则又故在区间上是增函数。.5分 .10分（）证： .15分，而均值不等式与柯西不等式中，等号不能同时成立，.20分24 （04天津）已知函数（，）的反函数是，而且函数的图象与函数的图象关于点对称（）求函数的解析式；（）若函数在上有意义，求的取值范围【解】（）由（，），得5分又函数的图象与函数的图象关于点对称，则，于是，（）10分（）由（）的结论，有要使有意义，必须又，故 15分由题设在上有意义，所以，即于是， 20分25 （06天津）已知、是关于的二次方程的两个根，且，若函数（）求的值；（）对任意的正数、，求证：【解】（）由书籍，根据韦达定理有， 5分（）已知函数， 而且对，于是，函数在上是增函数10分。 注意到对于任意的正数、，即，同理15分，于是，而，20分26 （05天津）已知函数f(x)(1)是否存在实数a、b(ab)，使得函数f(x)的定义域和值域都是a、b？若存在，请求出a、b的值；若不存在，请说明理由(2)若存在实数a、b，使得函数f(x)的定义域是a、b，值域是ma、mb(m0)，求实数m的取值范围解：(1)不存在实数a、b 满足条件事实上，若存在实数a、b 满足条件，则有xa0故f(x)(i)当a、b(0，1)时，f(x)在(0，1)上为减函数，所以即由此推得ab，与已知矛盾，故此时不存在实数a、b(ab)满足条件(ii)当a、b1，)时，f(x)在1，+)上为增函数，所以即于是a、b为方程x2x10的实根而此时方程无实根，故此时也不存在实数a、b(ab)满足条件(iii)当a(0，1)，b1，)时，显然1a，b，而f(1)0，所以0a，b，矛盾综上可知，不存在实数a、b(ab)满足条件(2)若存在实数a、b(