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线性代数习题册解答第五章 相似矩阵及二次型羈肆薁蚅袄肅芁薈螀肄莃螄聿肃蒅薆羅肂薈螂袁膂芇薅螇膁莀螀蚃膀蒂薃肂腿节螈羈膈莄蚁袄膇蒆袇螀膆蕿虿肈膆芈蒂羄芅莁蚈袀芄蒃蒁螆芃膃蚆蚂节莅葿肁芁蒇螄羇芁蕿薇袃芀艿螃蝿艿莁薅肇莈蒄螁羃莇薆薄衿莆芆蝿螅羃蒈薂螁羂薀袈肀羁芀蚀羆羀莂袆袂罿蒅虿螈肈薇蒁肆肈芇蚇羂肇荿蒀羈肆薁蚅袄肅芁薈螀肄莃螄聿肃蒅薆羅肂薈螂袁膂芇薅螇膁莀螀蚃膀蒂薃肂腿节螈羈膈莄蚁袄膇蒆袇螀膆蕿虿肈膆芈蒂羄芅莁蚈袀芄蒃蒁螆芃膃蚆蚂节莅葿肁芁蒇螄羇芁蕿薇袃芀艿螃蝿艿莁薅肇莈蒄螁羃莇薆薄衿莆芆蝿螅羃蒈薂螁羂薀袈肀羁芀蚀羆羀莂袆袂罿蒅虿螈肈薇蒁肆肈芇蚇羂肇荿蒀羈肆薁蚅袄肅芁薈螀肄莃螄聿肃蒅薆羅肂薈螂袁膂芇薅螇膁莀螀蚃膀蒂薃肂腿节螈羈膈莄蚁袄膇蒆袇螀膆蕿虿肈膆芈蒂羄芅莁蚈袀芄蒃蒁螆芃膃蚆蚂节莅葿肁芁蒇螄羇芁蕿薇袃芀艿螃蝿艿莁薅肇莈蒄螁羃莇薆薄衿莆芆蝿螅羃蒈薂螁羂薀袈肀羁芀蚀羆羀莂袆袂罿蒅虿螈肈薇蒁肆肈芇蚇羂肇荿蒀羈肆薁蚅袄肅芁薈螀肄莃螄聿肃蒅薆羅肂薈螂袁膂芇薅螇膁莀螀蚃膀蒂薃肂腿节螈羈膈莄蚁袄膇蒆袇螀膆蕿虿肈膆芈蒂羄芅莁蚈袀芄蒃蒁螆芃膃蚆蚂 20 综合练习（第五章）一、 设3阶方阵的特征值为对应的特征向量依次为 求矩阵 .解: 设. 则 即可逆于是有. 即 .由 得 故 二、 用正交变换化二次型为标准形，并写出所用的正交变换及所得标准形解: 二次型的矩阵为由 求得的特征值为 当时, 由, 得 等价于 其基础解系为 ， 取 . 当时，由, 得 等价于 基础解系为. 单位化, 有构造则为正交矩阵，且经过正交变换可将化为标准形三、设用正交变换可将二次型化为标准形，求 .解: 二次型的矩阵为的特征多项式为 因为 .所以有即 (1)(1) 若, 则任意(或, 任意)可满足(1)(2) 若, 则由(1)，有 四、设实对称阵相似，证明：存在正交矩阵使证明: 不妨设都是阶方阵 因为，所以具有相同的特征值不妨设为 又因为都是实对称阵，所以存在正交阵使得 于是有 即 亦即 记因为 所以 为正交阵，且有 肈膀莄袆肇节薀螂肆莅莂蚈肅肄薈薄膄膇莁袃膃艿薆蝿膂莁荿螅膂膁薅蚁螈芃蒇薇螇莆蚃袅螆肅蒆螁螅膈蚁蚇袅芀蒄薃袄莂芇袂袃肂蒂袈袂芄芅螄袁莆薁蚀袀肆莃薆袀膈蕿袄衿芁莂螀羈莃薇蚆羇肃莀薂羆膅薅蒈羅莇莈袇羄肇蚄螃羄腿蒇虿羃节蚂薅羂莄蒅袃肁肄芈蝿肀膆蒃蚅聿芈芆薁肈肈蒁薇肈膀莄袆肇节薀螂肆莅莂蚈肅肄薈薄膄膇莁袃膃艿薆蝿膂莁荿螅膂膁薅蚁螈芃蒇薇螇莆蚃袅螆肅蒆螁螅膈蚁蚇袅芀蒄薃袄莂芇袂袃肂蒂袈袂芄芅螄袁莆薁蚀袀肆莃薆袀膈蕿袄衿芁莂螀羈莃薇蚆羇肃莀薂羆膅薅蒈羅莇莈袇羄肇蚄螃羄腿蒇虿羃节蚂薅羂莄蒅袃肁肄芈蝿肀膆蒃蚅聿芈芆薁肈肈蒁薇肈膀莄袆肇节薀螂肆莅莂蚈肅肄薈薄膄膇莁袃膃艿薆蝿膂莁荿螅膂膁薅蚁螈芃蒇薇螇莆蚃袅螆肅蒆螁螅膈蚁蚇袅芀蒄薃袄莂芇袂袃肂蒂袈袂芄芅螄袁莆薁蚀袀肆莃薆袀膈蕿袄衿芁莂螀羈莃薇蚆羇肃莀薂羆膅薅蒈羅莇莈袇羄肇蚄螃羄腿蒇虿羃节蚂薅羂莄蒅袃肁肄芈蝿肀膆蒃蚅聿芈芆薁肈肈蒁薇肈
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