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例谈不完全归纳法在数学教学中的应用-小学数学论文-教育期刊网例谈不完全归纳法在数学教学中的应用浙江三门县海游镇中心小学（）许绍国摘要在小学数学概念、定理和方法的教学中，不完全归纳法占有重要地位，这是由学生的年龄特点和思维发展水平决定的。在“以学定教”的教学理念指导下，教师要对不完全归纳法的整个推理过程认真研究，做到贴近学生、引发学生思考和提升学生的思维能力，以促进课堂向“以学定教、以生为本”转型。关键词不完全归纳法以学定教课堂转型数学教学中图分类号G623.5文献标识码A文章编号1007-9068（201）-036课堂转型最为核心的一句话就是“以学生的学习为中心来组织教学”，做到让学生有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。因此，教师对不完全归纳法的整个推理过程（如素材积累、归纳的方法、特例分析、结论形成等）都要认真研究，做到贴近学生、引发学生思考和提升学生的思维能力。理想的课堂教学应该是这样的：围绕着某个需探讨的主题，让学生列举熟悉的例子；通过一般性规律的揭示，从中得出一个普遍性的结论；然后通过对特例的分析和解释，充实和完善结论；最后由教师引导，在思维上做一定的拓展，培养学生的思维能力。本文将结合小学数学课堂教学中的具体实例，就如何用好不完全归纳法，促进课堂向“以学定教、以生为本”转型抒一己之见，与各位同行商榷。一、积累丰富素材，经历活动过程不完全归纳法是从几个特殊情况归纳推断出一般性的结论，这里面“特殊情况”的数量要保证。尽管都是以偏概全，在条件允许的情况下，例子越多，学生的感受会越充分，对结论的接受程度也就越高。例子的来源，有教师提供的和学生生成的。相比较而言，学生生成的例子更能反映他们的知识基础，利于教师“以学定教”。例如，教学“小数的性质”一课，教师把书本第页的“做一做”（如下图）当作例题来进行教学。在学生发现后，教师引导学生从左右两个方向进行观察，得出“小数的末尾添上或去掉，小数的大小不变”的结论，并指出这就是“小数的性质”，然后进入练习环节。这样教学，学生看似掌握得很扎实，练习的正确率也很高，但是在问学生“为什么这个数中十分位上的可以去掉，而千分位上的不能去掉”时，整个班级学生的思维都卡壳了。从这里发现，学生只能在小数性质的描述上做文字游戏，而不能从计数单位的角度进行解释。面对这种情况，是指责学生的学习，还是应该反思教师的教学？我觉得，这首先是教师对素材的选择和处理不够恰当，提供给学生的素材太少，使得学生未能充分感知就匆忙总结，影响了课堂教学效果。比较例（如下图）和“做一做”，发现例有以下一些优势：（）学生比较熟悉，对长度单位之间的联系也比较清楚；（）在解释“为什么小数末尾添上或去掉，小数大小不变”时，学生能够联系具体的长度单位进行解释，容易理解是由于计数单位不同的原因；（）例题呈现的是米，教师可以拓展到米、米、0.4米丰富学生的感知。像这样，选用指向性明确、题材丰富、过程和结果较开放的素材，让学生在观察多个（一般不应该少于个）例子的基础上，有了比较充分的感受之后再形成猜想，然后让学生自己举例验证猜想，最后得出结论。这样教学，学生经历了观察、猜想、验证、总结的过程，使学生能够在学习之后形成相对的思维模式，掌握思考问题的方法，这对学生的成长尤为重要。二、探寻归纳方法，发现内在规律有效的数学教学活动是教师教与学生学的统一。在不完全归纳推理中，归纳的方法很重要。而在课堂教学中，常会出现这样一个现象：素材开放后，例子和结论之间的联系可能不是非常明显，或者是多线性的，从而增加了学生学习的难度。这就需要教师对知识的形成和演变过程具有清晰的认识，并具有高超的调控课堂教学的能力，带领学生对众多数据进行有序排列，寻找其中内在的规律。例如，教学“长方形、正方形周长”一课时，教师先让学生自由地画长方形（边长是整厘米数），然后用多种方法算出周长。可以想象，一个班级的学生所能得出的算式是非常多的，怎样把这些海量的数据进行整理，归纳得出长方形周长的计算方法呢？我进行了如下的尝试教学。学生汇报。学生在投影仪上先介绍“我的长方形长是宽是”，然后边指图形边讲算式，最后汇报：我是用“长宽长宽”（或其他）的方法计算出长方形周长的。师把学生的算式归类板书（略）。引导学生发现：虽然长和宽的数据不同，但是方法都一样，一共有四种，即长长宽宽、长宽、长宽长宽、（长宽）。归纳：第一种和第二种方法、第三种和第四种方法其实只是计算方法不同，思路是一样的；第二种和第四种方法只是计算过程不同，其核心内容是一样的，都是根据长方形周长的定义求出长方形四条边的总和。这样进行教学，从学生的已有知识经验出发，借助充分的例子，让学生探索发现、总结方法，充分体现了课堂生成的动态化，使教学自然水到渠成。三、进行全面分析，引发积极思辨在不完全归纳法的推理中，一个反例就可以推翻结论。学习过程中难免会遇到一些特例，对特例处置不当，很容易使学生思维混乱，影响教学效果。有的教师担心不能很好地调控课堂，故意设置条件或“陷阱”，引导学生往自己设定的道路前行，虽然也能很好地完成知识的教学，但是违背了学生自主学习的原则，不利于学生学法的形成和思维品质的培养。因此，课堂上教师不要害怕学生有争议，相反，对特例进行广泛的争论，能让学生在争论中明辨是非，促进学生对知识的理解和掌握。例如，教学“三角形三边之间的关系”一课时，教师可让学生从几组例子中归纳出三角形的三边关系。学生对两边之和大于（或小于）第三边的情况能不能围成三角形不会有异议，但对两边之和正好等于第三边的情况却引发争论。怎么处理这个问题呢？直接告诉学生这样是围不成三角形的，不仅教学流程会比较顺畅，而且会给学生留出更多的练习时间。所以，我在教学中遇到这个情况时，充分相信学生，让学生自己操作、分析、质疑、争论、归纳。教学过程如下：师：同学们对、这三根小棒能不能围成三角形有争论，下面请各组都到投影仪上进行操作。（生上台操作）师：操作过后，还有个别学生不服气，认为和两根小棒连起来后和的小棒之间仍然有微小的空隙，所以觉得这三根小棒围不成三角形。我认为同学们的心里还是有困惑的。那么，让我们静静地思考：这是不是一个三角形？它是怎么产生的呢？谁能够来说明？（学生思考约半分钟）生：我认为是因为小棒太粗了，所以边上（指小棒顶端）会碰在一起。生：和的两根小棒连起来后刚好是，和长的小棒放在一起，应该是重叠在一起的。（师演示）生：如果小棒都很细很细，就不会碰在一起了。师：下面，让我们通过电脑来进行精密的演示。（学生在观看电脑演示后都认可了“两边之和不能等于第三边”的结论，刚才有疑问的学生也点头称是）师（总结）：所以，我们能得出三角形三边之间的关系了吗？生（齐答）：两条边的和一定要大于第三边。通过对特例的详尽分析，学生消除了原先错误的认识，加深了对三角形三边关系的正确理解。这样教学，使学生的思考突破了不完全归纳法的局限，把一般的共性的归纳拓展到理性分析的层次，不仅帮助学生理解了所学的知识，而且促使学生积极思维。四、重视结论形成，锻炼思维品质不完全归纳法是指根据对某类事物中部分对象的考察，概括出关于该类事物全部对象的一般性结论的一种归纳推理，其归纳过程是不够严谨的，得到的结论也并非一定正确。因此，我们要重视结论的形成。课堂教学中，教师应根据学生的年龄特征、思维能力和知识基础，在不完全归纳推理的基础上，适时进行演绎推理等理论论证，这对学生加强知识的理解和掌握、提高推理能力和逻辑思维能力是很有好处的。例如，教学“三角形的内角和”一课，计算三角形内角和时，学生一般会用测量、剪拼、折叠等方法，从而导致操作出现误差，得出的结论往往是三角形三个内角的和大约等于。怎么办呢？教师如果人为地强调三角形的内角和就是，恐怕不能使学生信服。这时，如果能够加以论证说明，将会收到很好的教学效果。教师可根据“两个完全相同的直角三角形能够拼成一个长方形”的知识基础进行教学：“通过刚才的操作，大家得出一个初步的结论三角形三个内角的和大约等于，但大家对此有争论。有的同学认为操作中有误差，三角形三个内角的和应该等于；有的同学认为三角形有这么多种类型，不可能内角和都刚好等于。到底哪种意见是正确的呢？我们知道，两个完全相同的直角三角形能够拼成一个长方形，那能不能根据这个知识来说明三角形的内角和是多少呢？”学生在观察讨论后得出：由于长方形的四个角都是直角，内角和是，所以直角三角形的内角和一定是。然后教师出示锐角三角形和钝角三角形，提问：“这两种三角形能不能转化为直角三角形呢？”学生思考后得出：把这两种三角形沿高剪开后就得到两个直角三角形（如右图），由于直角三角形的内角和是，所以这两种三角形的内角和都是2。这样教学，如拨云见日，使学