标准间预定的价格和数量问题.doc

标准间预定的价格和数量问题 齐文华 摘要本题是一个关于宾馆标准间预定的数值及最值问题。因此，本文采用了回归分析的思想，SPSS软件的回归分析方法，用MATLAB作图，最后预测出了未来一年宾馆标准间的月平均价格，同时运用概率统计的思想，为宾馆制定出了合理的预定策略。具体情况如下：问题(一)：首先，对标准间月平均价格的长期趋势数据回归分析，得到标准间月平均价格长期趋势的回归方程，以此为依据，我们对不同年份相同月份的标准间月平均价格做回归分析，得到不同年份相同月份的标准间月平均价格的回归方程，然后通过计算得到未来一年的标准间价格预测值：2010年4月2011年3月标准间的月平均价格分别为：537.5，562.5，517.5，578.0，645.0，534.5，619.8，547.8，467.8，497.4，479.1，489.7。(元)问题(二)：考虑到客房的预订量是个不确定的量，分析对于客房入住量的不同区间对应着不同的旅馆利润关系，对确定的函数关系式进行最值分析，得出当预定超过实际套数的标准间数时，客房的预订量为(M+N+T)/p时，旅馆的利润达到最大。关键词：长期趋势 月平均价格 最大利润 最值分析一：问题重述某著名的旅游景区中的宾馆主要提供举办会议和游客使用。标准间通过电话或互联网预定，这种预定具有很大的不确定性，客户很可能由于各种原因取消预定。宾馆为了争取更大的利润，一方面要争取客户，另一方面要降低客户取消预定遭受的损失。为此，宾馆采用一些措施。首先，要求标准间提供信用卡号，预付第一天房租作为定金。如果客户在前一天中午以前取消预定，定金将如数退还，否则定金将被没收。其次，宾馆采用变动价格，根据市场需求情况调整价格，一般来说旅游旺季价格比较高，淡季价格略低。（1）建立标准间预定价格的数学模型，并对以下实例作分析。附表1给出了某宾馆2005年10月2010年3月期间，每月标准间平均价格(单位:元)，用模型说明价格变动的规律，并据此估计未来一年内的标准房参考价格。（2）在旅游旺季，宾馆往往可以预定出超过实际套数的标准间数, 以减低客户取消预定时宾馆的损失。当然这样做可能会带来新的风险, 因为万一届时有超出标准间数的客户出现, 宾馆要通过升级标准间档次或赔款来解决纠纷, 为此宾馆还会承担信誉风险. 某宾馆有总统套房20套，豪华套房100套，标准间500套。试为该宾馆制定合理的预定策略。二：问题分析 本题是一个关于宾馆标准间预定的数值及最值问题。 针对问题一：为了得到标准间预订价格的预测数据，首先我们观察标准间的月平均价格，发现随着时间的增加，标准间的月平均价格价格呈增长趋势。对比发现在每年的旅游旺季（五月，八月，十月），标准间价格较高，淡季则价格较低，且在同一年内价格波动较大。再通过对比不同年份相同月份的标准间价格，发现标准间的月平均价格是随着年份的增加呈增长趋势。可见，标准间的月平均价格受两个因素影响，一个是年份，即随着年份的增加，标准间的月平均价格总体上呈增长趋势，但每年不同月份的价格又是变动的，如：1月5月的价格总体上呈增长趋势，5月6月的价格下降，6月8月价格上升，8月9月价格下降，9月10月价格下降，10月12月价格下降；一个是月份，即在不同的年份里边，相同的某个月份的房价是呈增长趋势的。要估计未来一年内的月平均价格，如果我们直接按年份计算，就必须考虑十二个变量，其可操作性不强。又由于在不同的年份里边，相同的某个月份的房价是呈增长趋势的，这样，我们就只需考虑不同年份相同月份的月平均价格的变化规律，所以，根据已知的20052010年的数据，用SPSS软件对其进行回归分析，就可分别算出不同年份在十二个月里的月平均价格的函数关系，再通过计算便可求得未来一年月平均价格的预测值。针对问题二：为了实现旅馆利润的最大化，我们要考虑到客房的预定量和实际的按时入住量，客户的实际按时入住量对于预定量是按一定的概率分布的，再对按时入住量进行住宿安排。先按预定安排入住标准间，当标准间注满时，考虑到旅馆的声誉问题我们要对被挤掉的住户提供选择，是接受赔偿还是选择入住高档次的房间，入住刚档次房间的话又要考虑到豪华间和总统套间的分配情况。根据题意我们可以分析出不同按时入住量与旅馆循环一天的利润函数关系，再通过对每个函数关系式的增减性分析，最后将会得出旅馆循环一天的利润最大值。三：模型假设1. 假设所给数据准确。2. 此景区旅游人数不会发生突然变化。此旅馆的客房预定情况也不会发生突然变化。3. 客房预订时只能预定标准间，当实际标准间注满之后才对被挤掉的住户分配豪华间，当豪华间入住满时，再对没入住的住户分配总统套间。4. 此旅馆的服务质量在短时间内不会突然变化。四：符号说明=1,2,3,12；：每年第个月；：以2005年10月为起步月的第月，=1,2,n；：第月标准间平均价格；：的系数；：的常数项；：标准间月平均价格随时间的长期变化趋势；m：预定房间的间数；M：为标准间的间数；N：为豪华间的间数；T：为总统间套间的间数；a：标准间每天的入住费；b：豪华间每天的入住费；c：总统套间每天的入住费；f：客户所付预订费；e：被挤掉的客户所得到的补偿费；p：房间按时入住率为；W：宾馆循环一天的利润。五：模型建立及求解问题一首先我们使用MATLAB软件画出2005年10月2010年3月标准间月平均价格随时间变化的趋势图，如图1所示：图1：某宾馆2005年10月2010年3月标准间月平均价格图由图1可以看出：该标准间的月平均价格的长期趋势为在波动中呈线性增长，故可设长期增长方程为：使用SPSS软件对房价按时间进行回归分析可得：为了更进一步的探究标准间的价格变化趋势，我们再按月分年绘出标准间价格变化趋势(图2)。图2：2005年10月2010年3月标准间月均价格按月统计图由图2很容易看出：在每年的某个相同的月，标准间的月平均价格的变化趋势相同。如每年的68月标准间月平均价格都表现为上涨趋势。由此，我们得出：标准间价格是受季节的影响，呈现周期性变动。在一个周期（一年）内，无法用一个函数准确表示标准间平均价格的变动；可以考虑按月进行求解。考虑到标准间的长期价格变化趋势，可以认为某个月的标准间平均价格服从长期价格变化趋势。由此假设某个月的标准间平均价格随时间服从长期价格变化趋势：。使用SPSS软件进行求解，得到如下结果如表1所示：表1：的系数表13.68261.96723.292265.14232.375332.9543.933321.16753.892344.56763.8300.974.15337.384.792362.29292.775368104.442348.758114.008299.383123278.8问题二 ： （1） 模型建立 1） 当x=M时宾馆循环一天的利润为：利润=没收的订房费+标准间住宿费-其他花费W=(m-x)f+ax-A2） 当Mx=M+N时,设入住豪华间的间数为y,宾馆循环一天的利润为：利润=没收的订房费+标准间住宿费+豪华间住宿费-被挤掉客户的赔款费-其他花费W=(m-M-y)f+aM+by-(x-M-y)e-A (y=1,2,x-M)3) 当M+NxM+N+T时，旅馆满住，则宾馆循环一天的利润为：利润=标准间住宿费+豪华间住宿费+总统套间住宿费-被挤掉客户的赔款费-其他花费W= aM+bN+cT-(x-M-N-T)e-A（2） 模型求解预定房间数是一个变量，房间按时入住率p为定值，有关系x=mp,则变量可视为x，由题设条件可以由按时住宿房间数x求出旅馆一天的利润，不同的按时入住房间数x的取值区间对应着不同的利润关系，分析1)当x=M时，利润关系式为W=(m-x)f+ax-A=(1/p-1)f+a x -ap小于1，1/p大于1，a为常数，此解析式为一次增函数，要使利润最大则使x取最大值；2) 当Mx0，有e+b-f0，则y值越大w越大，y最大取值为x-M，此时W=(f/p-f+b)x-bM+aM-A同1)理可得，x系数f/p-f+b0, 此解析式为一次增函数，要使利润最大则使x取最大值；3) 当M+Nx0, 此解析式为一次增函数，要使利润最大则使x取最大值； 4) 当xM+N+T时，利润关系式为W= aM+bN+cT-(x-M-N-T)e-Ax的系数-e0,则此函数为减函数，要使利润最大则使x取最小值；还要考虑到未入住的人数会影响到旅馆的声誉则使x-M-N-T最小；综上所述，当x=M+N+T时，旅馆的利润最大，最大利润为(M+N+T)(1-P)f+aM+bN+cT-A；此时预订房间数x/p=(M+N+T)/p 。六：模型解释问题一：从图3可以清晰地看出标准间的月平均价格在周期性的变动中呈线性增长趋势。在每个周期（每年）中，宾馆的标准间有限，而不同月份景区的游览人数不同，在旅游淡季，标准间数量多有闲置，各宾馆为了吸引游客入住，通常会降价；而在旅游旺季，标准间供不应求，宾馆为了实现更多收益，通常会提高标准间价格。而随着消费水平的提高，宾馆的住宿条件不断提高与改善，标准间的价格也在不断上涨。图3：2005年10月2010年3月某宾馆标准间月平均价格统计图从图4可以看出我们的预测价格与该宾馆历史统计价格基本吻合，具有较高的可信度。由此估计未来一年内的标准房参考价格比较合理。未来一年内标准房的参考价格如表2所示：表2：未来一年内标准间月平均价格预测表（单位：元）时间月平均价格时间月平均价格时间月平均价格2010.4537.52010.8645.02010.12467.82010.5562.52010.9534.52011.1497.42010.6517.52010.1619.82011.2479.12010.7578.02010.1547.82011.3489.7图4：2005年10月2010年3月标准间月平均实际价格与预测价格图问题二： 通过对不同数量的客房预订量对应的利润关系的分析，最后我们得出当客房的预定量为(M+N+T)/p时，旅馆循环一天的利润得到最大值。 七：模型推广与应用优点：模型简单，准确度高，便于应用与推广。缺点：不能用于长期预测标准间价格变化趋