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文档简介

均值不等式求最值策略 应用平均值不等式求最值时,要把握平均值不等式成立的三个条件“一正二定三相等”忽略了任何一个条件,就会导致解题失败,若出现问题,又怎样另辟蹊径,寻求新方法来求最值呢?本文提出一些思路1. 调整符号,化负为正,使之适合“一正”条件,过第一关例1. 已知,求函数的最值解:因为所以故所以当且仅当,即或时,等号成立,但不合条件,舍去,故当时,2. 拆添配凑,变动为定,使之适合“二定”条件,过第二关利用均值不等式求最值,变形构造出“定值”是难点,其方法如下:(1)变形法例2. 求函数的最小值解:因为所以故当且仅当,即时,(2)配凑法例3. 已知,求函数的最小值解:因为则有所以当且仅当,即时,3. 分离常数(1)拆项法例4. 当时,求的最小值解:因为所以所以当且仅当,即取等号另一解(舍去)所以(2)倒数法例5. 若,求函数的最大值解:因为所以故(3)平方法例6. 已知,求函数的最大值解:由于所以当且仅当时取等号,所以4. 化归转化,寻求相等,过第三关例7. 设,求的最小值解:因为当且仅当,即时取等号所以点评:若与分别利用平均值不等式,再相乘求最值,问题出现在:前后取等条件不一致例8. 已知,且,求的最小值解:因为,且所以5. “三关”难过,前进受阻,应另辟蹊径(1)利用代数三角换元例9. 若a,b为正实数,且,求的最小值解:因为,且所以可设则当且仅当,即时取等号,这时,满足,所以(2)引入参数,巧渡难关例10. 已知,且,求P=x+y的最小值解:设,由已知有所以欲取等号,当且仅当时,有代入中,此时所以说明:请读者用三角换元解此题,可令(3)利用函
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