大学课件高数第八单元讲解

第八章 空间解析几何与向量代数,平面解析几何的作用：平面解析几何是用代数的方法研究平面上几何曲线的一门学科.是学习一元函数必需的； 空间解析几何是学习多元微积分的重要基础，向量代数能使物理学、数学等领域内的许多问题的解简捷而直观.向量代数与解析几何的关系十分密切,一方面需要用解析几何的坐标法来进行向量的运算,另一方面向量代数又使解析几何有关问题的解法简明. 空间解析几何用坐标方法研究空间曲面与曲线的一门学科.它通过空间坐标系为桥梁,建立了空间上的点,向量与坐标之间的对应关系,进一步建立了空间曲面和曲线及方程之间的联系.,本章内容: (1)第一节及第二节是后面各节的基础; (2) 以后各节(需要向量的知识)是多元函数微积分必备。,第一节 向量及其线性运算,第二节 数量积 向量积 *混合积,第三节 曲面及其方程,第四节 空间曲线及其方程,第五节 平面及其方程,第六节 空间直线及其方程,一、向量概念,二、向量的线性运算,三、空间直角坐标系,四、利用坐标作向量的线性运算,五、向量的模、方向解、投影,8.1 向量及其运算,表示法:,一、向量的概念,向量:,(又称矢量).,既有大小, 又有方向的量称为向量,向量的模 :,向量的大小,向径 (矢径):,自由向量:,与起点无关的向量.,起点为原点的向量.,单位向量:,模为 1 的向量。,零向量:,模为 0 的向量,注意 一般来讲, 向量与其起点有关。但在数学上只研究其共性：大小和方向, 而不考虑其起点。,向量 a 与 b大小相等, 方向相同.,a 与 b 相等,ab ：,注意 零向量的方向是任意的.,规定: 零向量与任何向量平行 ;,若向量 a 与 b 方向相同或相反,则称 a 与 b 平行,ab ;,与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量,记作,因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称,两向量共线 .,若 k (3)个向量经平移可移到同一平面上 ,则称此 k,个向量共面 .,记作a ;,二、向量的线性运算,1. 向量的加法,三角形法则:,平行四边形法则:,运算规律 :,交换律,结合律,三角形法则可推广到多个向量相加 .,三角形法则可推广到多个向量相加：可明白地看出. 多个向量相加时,用三角形法则明显要方便些. 因为相加的向量只要依次首尾相连.第一个向量的起点为起点, 最后一个向量的终点为终点的向量即是所求的和向量.,2. 向量的减法,三角不等式,3. 向量与数的乘法, 是一个数 ,规定 :,可见, 与 a 的乘积是一个新向量, 记作,总之:,运算律 :,结合律,分配律,因此,定理1.,设 a 为非零向量 , 则,( 为唯一实数), 取 ,且,再证数 的唯一性 .,则,ab,设 ab,取正号, 反向时取负号, a , b 同向时,则 b 与 a 同向,设又有 b a ,则,已知 b a ,b0,a , b 同向,a , b 反向,ab,定理1是建立数轴的理论依据：给定一个点O和一个单位向量 i 就确定了一条数轴.,点P 向量 实数x.,于是,定义x为点P的坐标.,定理1在第5, 6节也会用到.,例1. 设 M 为,解:,三、空间直角坐标系,由三条互相垂直的数轴按右手规则,组成一个空间直角坐标系.,坐标原点,坐标轴,x轴(横轴),y轴(纵轴),z 轴(竖轴),过空间一定点 o ,坐标面,卦限(八个),zox面,1. 空间直角坐标系的基本概念,向径,在直角坐标系下,坐标轴上的点 P, Q , R ;,坐标面上的点 A , B , C,点 M,特殊点的坐标 :,有序数组,(称为点 M 的坐标),原点 O(0,0,0) ;,坐标轴 :,坐标面 :,2. 向量的坐标表示,在空间直角坐标系下,设点 M,则,沿三个坐标轴方向的分向量.,的坐标为,此式称为向量 r 的坐标分解式 ,点M向量,有序三个数M(x,y,z),四、利用坐标作向量的线性运算,设,则,平行向量对应坐标成比例:,向量的起点均移动到坐标原点!,例2.,求解以向量为未知元的线性方程组,解:,2 3 , 得,代入得,例3. 已知两点,在AB直线上求一点 M , 使,解: 设 M 的坐标为,如图所示,及实数,得,即,说明: 由,得定比分点公式:,点 M 为 AB 的中点 ,于是得,中点公式:,五、向量的模、方向角、投影,1. 向量的模与两点间的距离公式,则有,由勾股定理得,因,得两点间的距离公式:,对两点,与,例4. 求证以,证:,即,为等腰三角形 .,的三角形是等腰三角形 .,为顶点,例5. 在 z 轴上求与两点,等距,解: 设该点为,解得,故所求点为,及,思考:,(1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?,(2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?,离的点 .,提示:,(1) 设动点为,利用,得,(2) 设动点为,利用,得,且,2. 方向角与方向余弦(今后要用!),设有两非零向量,任取空间一点 O ,称 =AOB (0 ) 为向量,的夹角.,类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 .,与三坐标轴的夹角 , , ,为其方向角.,方向角的余弦称为其方向余弦.,记作,方向余弦的性质:,例7. 已知两点,和,的模 、方向余弦和方向角 .,解:,计算向量,例8. 设点 A 位于第一卦限,解: 已知,角依次为,求点 A 的坐标 .,则,因点 A 在第一卦限 ,故,于是,故点 A 的坐标为,向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹,3. 向量在轴上的投影(自学),作业 P300 6, 12, 15.,一、两向量的数量积,二、两向量的向量积,三、两向量的混合积(不讲),8.2 第二节数量积向量积*混合积,一、两向量的数量积,沿与力夹角为,的直线移动,1. 定义,设向量,的夹角为 ,称,数量积,(点积) .,几何意义：P302,2. 性质,为两个非零向量,则有,3. 运算律,(1) 交换律,(2) 结合律,(3) 分配律,例1. 证明三角形余弦定理,证:,则,如图 . 设,4. 数量积的坐标表示,设,则,当,为非零向量时,由于,两向量的夹角公式, 得,两向量的数量积=对应坐标乘积之和!,例2. 已知三点, AMB .,解:,则,求,故,二、两向量的向量积,引例. 设O 为杠杆L 的支点 ,有一个与杠杆夹角为,矩是一个向量 M ,M=转动力矩(向量) M=力臂力F:,M的方向垂直于op与力F决定的平面,其指向按右手规则.即当右手的四指从op以不超过的角转向F时握拳时,大拇指的指向.,1. 定义,定义,向量,方向 :,(叉积),记作,且符合右手规则,模 :,向量积 ,称c,引例中的力矩,思考: 右图三角形面积,S,2. 性质,为非零向量, 则,3. 运算律,(2) 分配律,(3) 结合律,(证明略),证明:,4. 向量积的坐标表示式,设,则,向量积的行列式计算法,( 行列式计算见 P339P342 ),(按第一行展开!),例4. 已知三点,角形 ABC 的面积,解: 如图所示,求三,作业 P310 1.,一、曲面方程的概念,二、旋转曲面,三、柱面,8.3 曲面及其方程,四、二次曲面,一、曲面方程的概念,在空间解析几何中, 任何曲面都可以看作点的几何轨迹.,那么, 方程F(x, y, z)0就叫做曲面S的方程, 而曲面S就叫做方程F(x, y, z)0的图形.,(1)曲面S上任一点的坐标都满足方程F(x, y, z)0; (2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(x, y, z)0,曲面方程的定义：,如果曲面S与三元方程 F(x, y, z)0 有下述关系:,下面,我们举例说明.,二、建立空间曲面方程的思想方法:,空间曲面看成动点的轨迹. 而方程看成相应的动点坐标,所满足的等式.以此思想来建立曲面方程的方法如下:,在所求的曲面上任找一动点M(x,y,z),以动点所满足的条件得到等式.,把坐标代入,转化为方程.,故所求方程为,例1. 求动点到定点,特别,当M0在原点时,球面方程为,解: 设所求的曲面上任一动点,依题意,距离为 R 的轨迹方程.,表示上(下)球面 .,球体：,(它是空间闭区域, 其表面是“球面”),这就是以动点所满足的条件得到等式,把坐标代入,转化为方程.,例2 设有点A(1, 2, 3)和B(2, 1, 4), 求线段AB的垂直平分面的方程.,由题意知道, 所求的平面就是与A和B等距离的点的几何轨迹. 设M(x, y, z)为所求平面上的任一点, 则有 |AM|BM|,等式两边平方, 然后化简得 2x6y2z70. 这就是所求的平面的方程.,解,(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时, 建立这曲面的方程; (2)已知坐标x、y和z间的一个方程时, 研究这方程所表示的曲面的形状.,研究曲面的两个基本问题,通过配方, 原方程可以改写成 (x1)2(y2)2z25.,一般地, 三元二次方程 Ax2Ay2Az2DxEyFzG0（A0) 的图形就是一个球面.特点是平方项系数相等.不含交叉项.,例3 方程x2y2z22x4y0表示怎样的曲面？,解,定义2. 一条平面曲线C,二、旋转曲面,绕其平面上一条定直线旋转,一周,所形成的曲面叫做旋转曲面.,该定直线称为旋转,轴 .曲线C称为旋转曲面的母线.,例如 :,建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:,给定 yoz 面上曲线 C:,曲线 C,C,绕 z轴,曲线 C,C,绕 z轴,.,曲线 C,旋转一周得旋转曲面 S,C,S,M,N,z,P,y,z,o,绕 z轴,.,f (y1, z1)=0,M(x,y,z),., S,曲线 C,旋转一周得旋转曲面 S,C,S,M,N,z,P,.,绕 z轴,.,.,f (y1, z1)=0,M(x,y,z),f (y1, z1)=0,f (y1, z1)=0,., S,思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？,例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为,的圆锥面方程.,解: 在yoz面上直线L 的方程为,绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为,两边平方,例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线,分别绕 x,轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.,解:绕 x 轴旋转,绕 z 轴旋转,这两种曲面都叫做旋转双曲面.,所成曲面方程为,所成曲面方程为,三、柱面,引例. 分析方程,表示怎样的曲面 .,的坐标也满足方程,解:在 xoy 面上，,表示圆C,沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆,故在空间,过此点作,柱面.,对任意 z ,平行 z 轴的直线 l ,表示圆柱面,在圆C上任取一点,其上所有点的坐标都满足此方程,定义3.,平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成,的轨迹叫做柱面.,表示抛物柱面,母线平行于 z 轴;,准线为xoy 面上的抛物线.,z 轴的椭圆柱面.,z 轴的平面.,表示母线平行于,(且 z 轴在平面上),表示母线平行于,C 叫做准线, l 叫做母线.,(不含z),N,(x, y, 0),S,曲面S上每一点都满足方程；,曲面S外的每一点都不满足方程,F(x,y)=0表示母线平行于z轴的柱面,点N满足方程，故点M满足方程,一般柱面 F(x,y)=0,(不含x),F(y,z)=0表示母线平行于x轴的柱面,一般柱面 F(y, z)=0,四、二次曲面,三元二次方程,适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅,就几种常见标准型的特点进行介绍 .,研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法,其基本类型有:,椭球面、抛物面、双曲面、锥面,的图形通常为二次曲面.,(二次项系数不全为 0 ),1. 椭圆锥面,在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线 .,可以证明, 椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上.,(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换,得到, 见书 P316 ),用z = t截曲面,截痕为椭圆,截痕法,用z = h截曲面,用y = m截曲面,用x = n截曲面,a,b,c,2. 椭球面,2. 椭球面,(1)范围：,(2)与坐标面的交线：椭圆,与,的交线为椭圆：,(4) 当 ab 时为旋转椭球面;,同样,的截痕,及,也为椭圆.,当abc 时为球面.,(3) 截痕:,为正数),3. 双曲面,(1)单叶双曲面,(2) 双叶双曲面,双曲线,椭圆,双曲线,截痕法,用z = p截曲面,用y = q截曲面,用x = r截曲面,(1). 椭圆抛物面,3. 抛物面,截痕法,用z = p截曲面,用y = q截曲面,用x = r截曲面,(1). 椭圆抛物面,.,2. 抛物面,用z = p截曲面,用y = 0截曲面,用x = q截曲面,截痕法,（马鞍面）,(2). 双曲抛物面,截痕法,.,(2). 双曲抛物面,（马鞍面）,用z = p截曲面,用y = 0截曲面,用x = q截曲面,截痕法,.,(2). 双曲抛物面,（马鞍面）,用z = p截曲面,用y = 0截曲面,用x = q截曲面,一、空间曲线的一般方程,二、 空间曲线的 参数方程,三、空间曲线在坐标面的投影,8.4 空间曲线及其方程,一、空间曲线的一般方程,空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组,例如,方程组,表示圆柱面与平面的交线 C.,又如,方程组,表示上半球面与圆柱面的交线C.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,球面方程:,二、空间曲线的参数方程,将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数:,称它为空间曲线的 参数方程.,例如,圆柱螺旋线,的参数方程为,上升高度, 称为螺距 .,三、空间曲线在坐标面上的投影,设空间曲线 C 的一般方程为,消去 z 得投影柱面,则C 在xoy 面上的投影曲线 C为,消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程,消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程,例如,在xoy 面上的投影曲线方程为,1,.,解,得交线L：,由,.,1,解,L,.,.,.,得交线L：,.,投影柱面,由,加上z=0即可.,例2 设有一立体,由上半球面,求立体在坐标面上的投影是今后研究重积分所必需的基础.,它的求法是:如果求xoy平面的投影,在方程式中把z消去,再,及锥面,围成求其在xoy平面上的投影.,从上面两个方程中消去z就可以得到,为投影柱面,(2)求曲线在xoy平面上的投影曲线为,(3)求所求立体在xoy平面上的投影: 其投影为圆:,在xoy平面上的所围的部分:,内容小结,空间曲线,三元方程组,或参数方程,求投影曲线,(如, 圆柱螺线),思考与练习,P324 题2, 3, 4, 8.,P324 题1,(2),(1),答案:,(3),P324 题2 (1),思考:,交线情况如何?,交线情况如何?,P324 题2(2),P325 题 7,一、平面的点法式方程,二、平面的一般方程,三、两平面的夹角,8.5 平面及其方程,空间直线的方程.,本节和下一节里,我们用向量作为工具,在空间直角坐标,系中讨论最简单的空间图形-平面和直线.建立平面和,一、平面的点法式方程,设一平面通过已知点,且垂直于非零向,称式为平面的点法式方程,求该平面的方程.,法向量.,量,则有,故,例1.求过三点,即,解: 取该平面 的法向量为,的平面 的方程.,利用点法式得平面 的方程,二、平面的一般方程,设有三元一次方程,以上两式相减 , 得平面的点法式方程,此方程称为平面的一般,任取一组满足上述方程的数,则,显然方程与此点法式方程等价,的平面,因此方程的图形是,法向量为,方程.,特殊情形, 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示,通过原点的平面;, 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量,平面平行于 x 轴;, A x+C z+D = 0 表示, A x+B y+D = 0 表示, C z + D = 0 表示, A x + D =0 表示, B y + D =0 表示,平行于 y 轴的平面;,平行于 z 轴的平面;,平行于 xoy 面 的平面;,平行于 yoz 面 的平面；,平行于 zox 面 的平面.,例2. 求通过 x 轴和点( 4, 3, 1) 的平面方程.,例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.,解:,因平面通过 x 轴 ,设所求平面方程为,代入已知点,得,化简,得所求平面方程,(P327 例4 , 自己练习),例2此平面的三点式方程也可写成,一般情况 :,过三点,的平面方程为,说明:,特别,当平面与三坐标轴的交点分别为,此式称为平面的截距式方程.,时,平面方程为,分析:利用三点式,按第一行展开得,即,三、两平面的夹角,设平面1的法向量为,平面2的法向量为,则两平面夹角 的余弦为,即,两平面法向量的夹角(常指锐角)称为两平面的夹角.,特别有下列结论：,因此有,例4. 一平面通过两点,垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 .,解: 设所求平面的法向量为,即,的法向量,约去C , 得,即,和,则所求平面,故,方程为,且,外一点,求,例5. 设,是平面,到平面的距离d .,(点到平面的距离公式),内容小结,1.平面基本方程:,一般式,点法式,截距式,三点式,2.平面与平面之间的关系,平面,平面,垂直:,平行:,夹角公式:,思考：(1)点到直线的距离公式(?)；(见 P336 14) (2)两异面直线间距离(?).(有两直线的方向向量的向量积确定一个平面的法线向量,转换成两平行平面间的距离) 作业 P329 3, 4(偶数), 8(3), 9.,一、空间直线方程,二、线面间的位置关系,三、实例分析,8.6 空间直线及其方程,一、空间直线方程,因此其一般式方程,1. 一般式方程,直线可视为两平面交线，,注:通过直线L的平面有很多个,上面方程 的形式就不少.因此空间直线的方程不是 唯一的.,2. 对称式方程,故有,说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零.,设直线上的动点为,则,此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程),直线方程为,已知直线上一点,例如, 当,和它的方向向量,方向向量?,3. 参数式方程,设,得参数式方程 :,注:不同的t就得到直线上不同的点.,例1.用对称式及参数式表示直线,解:先在直线上找一点.,再求直线的方向向量,令 x = 1, 解方程组,得,交已知直线的两平面的法向量为,是直线上一点 .,故所给直线的对称式方程为,参数式方程为,解题思路:,先找直线上一点;,再找直线的方向向量.,二、线面间的位置关系,1. 两直线的夹角,则两直线夹角 满足,设直线,两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角