面积法在中学数学解题中的巧用.doc

学科代码：070101 学 号： 201421111300034 贵州师范大学成人高等教育(本科)毕 业 论 文1、 论文封面格式不对。请在给出的封面模版上修改相关内容后，作为论文的封面2、 添加原创性说明3、整篇论文不需要页眉题 目：面积法在中学数学解题中的巧用学 院：数学科学学院专 业：数学与应用数学年 级：2014 姓 名：王巧凤指导教师：何莲花邮箱地址：454837737联系电话成时间：2016年9月1 面积法在中学数学解题中的巧用 王巧凤摘 要：在数学学习中，涉及到的相关解题方法是非常多的，如几何法、面积法、三角法等。面积法在中学数学中是非常重要的一个解题方法。本论文对与面积法相关的解题方法及技巧进行了详细的研究。本论文首先采用归纳演绎的方法对面积法的相关概念、常用公式及定理等进行了介绍，接下来，采用举例分析法对面积法在解题中的实际应用进行了论证。本论文选择了几个不同的方面来对面积法在中学数学中解题的巧用进行了研究，希望本论文的研究及分析工作能够为类似数学方面的研究带来一定的指导意义。（整理语言）关键词：面积法；巧用；举例分析法；中学数学解题目 录（放在摘要的前面）摘 要1 前言12 相关理论知识介绍12.1 对面积法的概念进行概述12.2 与面积相关的公式12.3 与面积相关的公理及定理22.3.1 与面积相关的公理22.3.2 与面积相关的定理23 解题中的巧用23.1 面积法证明23.2 面积法求值83.3 面积法求概率12结 论14参考文献15致 谢16II1 贵州师范大学成人高等教育 面积法在中学数学解题中的巧用1 前言（注意各级标题的字体）在中学数学的学习过程中，对于面积法来讲是有着非常广泛的应用，其中，在解析几何问题的时候就常常采用面积法来进行计算与证明，采用该种方法能够把复杂的问题进行简单化，而且计算及证明过程也非常的简单。在中学数学及平面几何的学习过程中，我们是经常采用面积及面积法来对相关问题进行计算及证明的。对于许多中学数学问题而言，从表面上看好像与面积法没有直接的关系，但是，通过对面积法进行灵活的应用，就能够把复杂问题进行简单化或者把没有直接关系的问题变成通过面积法很容易就解决掉的问题。可见，面积是几何学研究的非常重要的内容，也是研究几何问题的有力工具1。（注意逻辑关系，语言要通顺）2 相关理论知识介绍2.1 面积法的概念在中学教材对面积法的定义是：为了使问题变得容易或者得到解决，而采取一定的方法使得面积进行相互转化或者面积与边角关系进行相互转化2。可见，在诸多解题方法中，面积法在中学数学的解题中是使用最多的一种方法，并且它也是最重要的一种方法。在平面几何中，常采用面积法的方法来计算相关的面积问题，也经常采用它来证明平面几何问题，通过对该种方法的灵活使用，往往会起到事半功倍的效果。采用分析法或者归纳法来对平面几何问题进行证明的时候，最麻烦也是最困难的问题在于添加辅助线。而通过采用面积法，把未知及已知各量采用面积公式联系起来，这样不但很容易进行运算，而且也非常快的得到求证的结果。因此，采用面积法来对相关几何问题进行解答是非常方便的，它通过把几何元素转变成数量关系，然后通过简单的运算便可以得到结果。2.2 与面积相关的公式1）三角形的面积公式：2）梯形面积公式：3）矩形面积公式：4）平行四边形面积公式：（1、数学表达式要用数学编辑器输入，而不是用图片的方式粘贴。将数学表示的输入方式改了2、论文的正文部分的所有内容的行距都是固定值20磅）2.3 与面积相关的公理及定理2.3.1 与面积相关的公理1）全等形的面积是相等的；2）对于任何一个图形来讲，它的总面积是与它各个部分的面积之和相等的；2.3.2 与面积相关的定理1）对于相似三角形来讲，它的面积比是与相似比的平方相等的3；2）如果两个三角形的底边和高都相等，那么，这两个三角形的面积是相等的；3）对于梯形、三角形、平行四边形来讲，如果它们的底和高都相等，那么，其面积是相等的；4）对于两个三角形来讲，如果这两个三角形的两边分别对应相等，并且夹角是互补的，那么，这两个三角形的面积是相等的；3、解题中的巧用3.1 面积法证明（？）（例题不需要太多，有一两个说明问题就行啦）例1：如下图3-1，对于矩形ABCD来讲，我们假设BC=b，AB=a，对于点M，把它设为BC的中点，DE与AM是相互垂直的，并且E点是垂足点。求证：图3-1 矩形ABCD证明：采用虚线来连接DM，采用勾股定理得到：例2：对于一个直角三角形来讲，我们假设它的两个直角边分别为a、b，斜边把它设为c，对于斜边上的高把它设为h，下面进行求证：证明： 根据三角形的面积关系得：ab=ch； 即 通过对上面的式子进行整理，得到：例3：如下图3-2所示，我们假设AD为三角形ABC的角平分线，求证：图3-2 三角形ABC证明：过D点，作于E点，作于F点，然后再过A点作于H点；由于DF=DE，则有：即例4：如下图3-3所示的ABC，假设CE为AB边上的高，BD为AC边上的高，并且已知ABAC这个条件，求证：BDCE；图3-3 三角形ABC证明： 即BDCE；例5：如下图3-4ABC所示，已知：我们假定AD为三角形ABC的中线，且与AE交于F点，交AD是延长线于E点。求证： 图3-4 三角形ABC证明:对EC进行连接，再由DC=BD得到，通过对两个式子的两边分别进行相加，得到：所以得到: 例6：如下图3-5所示，对于BCE及ACD来讲，我们把它都假定为等边三角形，并且，C是线段AB上面的一点，而对于直线BD和AE来讲，它们是相交于点O的，求证：图3-5 等边三角形ACD及BCE证明：过点C作它们的垂足分别为点P、点Q；由于BCE及ACD都为等边三角形；所以得到：CE=CB；AC=CD；综上所述，假如要采用面积的可分性来对相关问题进行解决，通常情况之下，是需要把整个三角形分成若干个小三角形，这样做的目的是利用部分之和与整体相等的关系来建立条件和结论的关系式，从而把问题简单化，能够更加快速的把问题解决掉。3.2 面积法求值在诸多几何问题解析法中，面积法是应用到最广泛的一种方法，并且也是非常重要的一种解题方法，通过灵活应用面积法来解题，可以把复杂问题简单化，使不容易被解决的问题变得简捷化。例1：如下图3-6所示的ABC，把AD设为RtABC的斜边BC上面的高，并且，设定AB=45，AC=60，对AD进行求解，即求AD。图3-6 RtABC论文中的例题编号要统一，不能出现重复编号解：通过勾股定理可以得到：例2：如下图3-7所示，已知三角形ABC，设E为AD的中点，通过对BE进行连接，并且把它延长交AC于点F，设BD：CD=2:1，求AF：FC图3-7 三角形ABC解：对CE进行连接，设； 由于AE=DE，可以知道；由BD：CD=2:1，可以知道；由AE=DE，；设则 （1） （2）由（1）和（2）可以得到：把它代入（2）中，得到：例3：如下图3-8所示矩形OABC，把矩形放在直角坐标系中，设定OC=8，OA=6，另外，再将矩形OABC进行折叠，从而使得点O与点B进行重合而得到折痕EF，对EF进行求解，即求折痕EF的长；图3-8 矩形OABC分析：通过对矩形OABC进行折叠之后，从而使得点B与点O重合，故：折痕FE为线段OB的垂直平分线，如上图3-8矩形OABC所示；这样就比较容易证明，从而得到GF=GE；更进一步的可以得出四边形BFOE是为菱形的，接下来，可以采用菱形的面积等于，并且与也相等来进行求解。通过列出相应的方程来对折痕EF的长进行求解。解：如上图3-8所示，连接OE、BF 对矩形OABC进行折叠后，使得点B与O重合了折痕EF为线段OB的垂直平分线 GF=GE 四边形BFOE为菱形假设AE=y，那么，OE=BE=8-y；根据勾股定理便可以得到，解得再次通过勾股定理可以得到，OB=10图3-9 矩形OABC点评：对于该题是有很多解题方法的，如上图3-9所示，通过构造直角三角形，即过点E作然后采用勾股定理便可以求出解等。例4：如下图3-10所示ABC所示，已知：小三角形的相关面积数据，求三角形ABC的面积？图3-10 三角形ABC解：通过上图3-10可知， 又COD与BOD是具有相同的公共顶点，故又知所以得到SABC=120，ABC的面积为120+90=210；（例题不要太多。选一两个有代表性的例题说明问题就行啦）3.3 面积法求概率对于一些简单随机事件所发生的概率，除了采用列表等分析方法来进行求解之外，还可以采用面积法来进行求解。例1：如下图3-11所示，对转盘进行转动，求转盘停止转动的时候，指针指向阴影部分的概率。图3-11 转盘分析：通过对上图3-11进行观察，很明显的可以看出，阴影部分的面积是占整个转盘面积的一半，故P=1/2，P为阴影部分的面积。结 论（删除）本论文首先对面积法的相关概念及公理、定理等进行了概述，接下来，采用举例的方式介绍了面积法的相关应用问题，如采用面积法证明相关问题、采用面积法进行求值、采用面积法进行求概率等。通过对本论文的相关研究及分析工作，使我对数学的相关知识进行了系统巩固，也加深了对相关知识的理解，由于本人能力所限及时间的仓促性，导致本论文的研究还不是很完善，希望在未来的进一步研究中进行改善。参考文献（参考文献的格式不对）1 陈国树等.面积方法的应用探讨J.川北教育学院学报，2004：123-129.2 刘书妹.面积法J.数学教学通讯，2013，（07）:67-75.3 王小勇，李一兵等.关于过三角形中任意一点作线段平分三角形面积问题J.长沙电力学院学报（自然科学版），2014，（3）：23-30.4 刘天学.面积法在几何证题中的应用J.四川教育学院学报，2013，（13）:67-70.5 王多谢.利用“面积法”证题举例J.初中生辅导，2009，（30）：132-135.6 黄启林.面积问题与面积方法J.数学通讯，2011，（09）:33-39.7 黄勇等.巧用面积法解几何题J.语数外学习，2014，（08）：3-10.8 张兆凯等.运用面积法证明几何题J.四川教育学院学报，2011，（06）：:43 -47.9 邢进喜等.一个面积问题的作图法求解J.高等数学研究，2015，（03）：6-10.10 常广平.面积问题中的割补法、极限法与微元法J.数学通报，2012，（10）:78-86.11 高俊元等.阴影面积问题中的常用思想方法J.数理化学习（初中版），2010,（09）：23-29.12 顾方东.浅谈阴影部分面积的解法J.中学生数学，2014，（12）：34-45.致 谢（这部分内容删除） 首先感谢我的老师XXX老师，本论文的分析与研究工作是在XXX老师的悉心的指导下完成的。老师严谨的治学态度、对学术的执着追求的精神、不求回报的工作精神、热爱学生及平易近人的风格都深深吸引着我，并且对我产生了深刻的影响，让我受到鼓舞。 通过贵州师范大学四年来的全面学习，我进一步学习了数学与应用数学方面的专业知识，并且学到了很多该领域的专业知识，并且能够应用于实际的工作中解决问题，通过本论文的设计，使我所学的知识得到巩固，加深了我对所学专业知识的进一步理解。我要感谢所有辛苦培养我的老师，也感谢对我给予帮助的同学！在这里，我要向曾经给我关心和辛勤教育我的老师