2019春九年级数学下册相似小专题（二）利用相似三角形的性质解决几何问题课时作业.docx

小专题(二)利用相似三角形的性质解决几何问题相似三角形是一种最简单的相似图形,相似三角形有以下几个重要性质:(1)相似三角形的对应角相等,对应边成比例;(2)相似三角形对应线段的比等于它们的相似比,即相似三角形对应边、对应中线、对应角平分线、对应高、对应周长的比都等于相似比;(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方.类型1利用相似三角形求线段的长度1.如图,在ABC中,AB=AC,BD=CD,CEAB于点E.(1)求证:ABDCBE;(2)若BD=3,BE=2,求AC的值.解:(1)AB=AC,BD=CD,ADBC.CEAB,ADB=CEB=90.B是公共角,ABDCBE.(2)AC=9.2.如图,在ABC中,AC=4,D为BC边上的一点,CD=2,且ADC与ABD的面积比为13.(1)求证:ADCBAC;(2)当AB=8时,求AD的长度.解:(1)易知BD=3CD=6,BC=BD+CD=8,在ADC与BAC中,ACD=BCA,ACBC=CDAC=12,ADCBAC.(2)ADCBAC,ADCD=ABAC.又AB=8,AC=4,CD=2,AD=284=4.3.如图,在正方形ABCD中,M为BC上一点,F是AM的中点,EFAM,垂足为F,交AD的延长线于点E,交DC于点N.(1)求证:ABMEFA;(2)若AB=12,BM=5,求DE的长.解:(1)四边形ABCD是正方形,AB=AD,B=90,ADBC,AMB=EAF.又B=AFE,ABMEFA.(2)AM=122+52=13,AD=12.F是AM的中点,AF=12AM=6.5.ABMEFA,BMAF=AMAE,即56.5=13AE,AE=16.9,DE=AE-AD=4.9.类型2利用相似三角形证明线段成比例4.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,BEDC,垂足为E,交AC于点F.求证:(1)ABFBED;(2)ACBE=BDDE.证明:(1)四边形ABCD是菱形,ACBD,ABCD,ABFCEF.BEDC,FEC=BED.DBE+BDE=FCE+BDE=90,DBE=FCE,BEDCEF,ABFBED.(2)ABCD,AFAC=BFBE,ACBE=AFBF.ABFBED,BDDE=AFBF,ACBE=BDDE.5.如图,AB为O的直径,点C在O上,ADCD于点D,且AC平分DAB.求证:(1)直线DC是O的切线;(2)AC2=2ADAO.解:(1)连接OC.OA=OC,OAC=OCA.AC平分DAB,OAC=DAC,DAC=OCA,OCAD.又ADCD,OCDC,DC是O的切线.(2)连接BC.AB为O的直径,AB=2AO,ACB=90.ADDC,ADC=ACB=90.又DAC=CAB,DACCAB,ACAB=ADAC,即AC2=ABAD.AB=2AO,AC2=2ADAO.6.如图,在ABC中,点D,G分别在边AB,BC上,ACD=B,AG与CD相交于点F.(1)求证:AC2=ADAB;(2)若ADAC=DFCG,求证:CG2=DFBG.证明:(1)ACD=B,CAD=BAC,ACDABC,ACAB=ADAC,AC2=ADAB.(2)ACDABC,ADF=ACG.ADAC=DFCG,ADFACG,DAF=CAF,过点C作CHAB,交AG的延长线于点H,DAF=H,CAF=H,AC=CH.由CHAB得CHGBAG,CHAB=CGBG,ACAB=CGBG,DFCG=CGBG,CG2=DFBG.类型3利用相似三角形求图形的面积7.如图,已知ACBD,AB和CD相交于点E,AC=6,BD=4,F是BC上一点,SBEFSCEF=23.(1)求EF的长;(2)如果BEF的面积为4,求ABC的面积.解:(1)ACBD,ACEBDE,CEDE=ACBD.AC=6,BD=4,CEDE=64=32.BEF和CEF同底,且SBEFSCEF=23,CFBF=32,CEDE=CFBF,CECD=CFBC.又ECF=DCB,ECFDCB,CEF=D,EFBD,EFBD=CFBC,EF4=35,EF=125.(2)ACBD,EFBD,EFAC,BEFBAC,SBEFSABC=BFBC2=252.SBEF=4,SABC=25.类型4利用相似三角形解决实际问题8.某社区拟筹资金2000元,计划在一块上、下底分别是10米、20米的梯形空地上种植花木(如图所示),他们想在AMD和BMC地带种植单价为10元/米2的太阳花,当AMD地带种满花后,已经花了500元,请你预算一下,若继续在BMC地带种植同样的太阳花,资金是否够用?并说明理由.解:资金不够用.理由:梯形ABCD中,ADBC,AMDCMB.AD=10,BC=20,SAMDSBMC=10202=14.SAMD=50010=50(m2),SBMC=200 m2,还需要资金20010=2000(元).又剩余资金为2000-500=15002000,资金不够用.9.如图,小亮在晚上由路灯A走向路灯B,当他走到点P时,发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部;当他向前再步行12米到达点Q时,发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部.已知小亮的身高是1.6米,两个路灯的高度都是9.6米,求两个路灯之间的距离.解:在APM和ABD中,DAB是公共角,APM=ABD=90,AMPADB,APMP=ABDB,AB-1221.6=AB9.6,解得AB=18.即两个路灯之间的距离为18米.10.为了测量校园内水平地面上的一棵树的高度,小明在距树5米处立了一根高为3米的标杆,然后小明前后调整自己的位置,当小明与标杆相距1米时,小明眼睛A、标杆顶端F、树的顶端E在同一直线上,已知小明的眼睛距地面1.5米,求树的高度.解:如图,过点A作