圆锥曲线知识点总结.doc

本资料来自于资源最齐全的世纪教育网圆锥曲线知识点小结主备人：袁家英 记录人：陈兆兴 2011年12月21号圆锥曲线在高考中的地位：圆锥曲线在高考数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点。通过以圆锥曲线为载体，与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合，结合数学思想方法，并与高等数学基础知识融为一体，考查学生的数学思维能力及创新能力，其设问形式新颖、有趣、综合性很强。(1).重视圆锥曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。 (2).重视圆锥曲线性质与数列的有机结合。(3).重视解析几何与立体几何的有机结合。高考再现：2011年（文22）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+ y2 = 1.如图所示，斜率为k（k0）且不过原点的直线l交椭圆C于A、B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x = -3于点D（-3，m）.（1）求m2 + k2的最小值；（2）若OG2 =ODOE, 求证：直线l过定点； 试问点B、G能否关于x轴对称？若能，求出此时ABG的外接圆方程；若不能，请说明理由.（理22）已知动直线l与椭圆C：+ = 1相交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两个不同点，且OPQ的面积SOPQ =，其中O为坐标原点（1）证明：+ 和+ 均为定值； （2）设线段PQ的中点为M，求OMPQ的最大值；（3）椭圆C上是否存在三点D, E, G，使得SODE = SODG = SOEG =？若存在，判断DEG的形状；若不存在，请说明理由 (2009年山东卷)设mR,在平面直角坐标系中,已知向量a=(mx,y+1),向量b=(x,y-1),ab,动点M(x,y)的轨迹为E. （1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; （2）已知m=1/4,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且OAOB(O为坐标原点),并求出该圆的方程;(3)已知m=1/4,设直线l与圆C:x2+y2=R2(1R2)相切于A1,且l与轨迹E只有一个公共点B1,当R为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值. 一.圆锥曲线的定义：椭圆：平面内与两个定点的距离之和等于定长（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。数学语言：常数2a=，轨迹是线段；常数2a，轨迹不存在；常数2a=0,轨迹是的中垂线。抛物线平面内与一个定点 F和一条定直线 l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点 F叫做抛物线的焦点，定直线 l叫做抛物线的准线（注：F不在l上）当F在l上时是过F点且垂直于l的一条直线。定义中要重视“括号”内的限制条件(1)定点，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中，是椭圆的是( ) A B C D（2）方程表示的曲线是_二、圆锥曲线的标准方程椭圆：焦点在轴上时： 焦点在轴上时： 注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上。双曲线：焦点在轴上时： 焦点在轴上时：注：是根据项的正负来判断焦点所在的位置。抛物线的标准方程：图形标准方程焦点坐标准线方程（1）已知方程表示椭圆，则的取值范围为_（2）已知方程表示双曲线，求m取值范围。（3）已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是( )（4）抛物线y2mx(m0)的焦准距p为-，焦点坐标是-，准线方程是-三、椭圆与双曲线的性质分析范围a、b、c关系标准方程图形定义双曲线椭圆分类平面内与两个F1，F2的距离之和等于常数（大于|F1F2）的点的轨迹平面内与两个F1，F2的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2）的点的轨迹a是长半轴长，b是短半轴长，c是半焦距a是实长半轴长，b是虚短半轴长，c是半焦距a、b、c的意义渐近线对称性顶点 离心率 焦点坐标 椭圆双曲线关于x轴和y轴对称，也关于原点对称关于x轴和y轴对称，也关于原点对称无分类抛物线几何性质：xyOFxyOFxyOFxyOF标准方程图 象范 围x0x0y0y0焦点坐标F（，0）F（，0）F（0，）F（0，）顶点坐标O（0，0）O（0，0）O（0，0）O（0，0）离 心 率e1e1e1e1对 称 轴x轴x轴y轴y轴焦 半 径|PF|x0|PF|x0|PF|y0|PF|y0准线方程xxyyp的几何意义抛物线的焦点到准线的距离，p越大张口就越大通 径过焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线两交点间的线段叫做抛物线的通径，其长为2p（1）椭圆若椭圆的离心率，则的值是_（2）双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率等于_（3）若该抛物线上的点到焦点的距离是4，则点的坐标为_（4）设双曲线（a0,b0）中，离心率e,2,则两条渐近线夹角的取值范围是_ (5)设，则抛物线的焦点坐标为_（6）双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，则该双曲线的方程_（7）设中心在坐标原点，焦点、在坐标轴上，离心率的双曲线C过点，则C的方程为_（8）已知抛物线方程为，若抛物线上一点到轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于_；（9）抛物线上的两点A、B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到轴的距离为_四、点和椭圆（）的关系：p点在椭圆上。p点在椭圆内。p点在椭圆外。对于双曲线和抛物线与点的位置关系可以此类推。五、直线与圆锥曲线的位置关系：（在这里我们把圆包括进来）(1).首先会判断直线与圆锥曲线是相交、相切、还是相离的 a.直线与圆：一般用点到直线的距离跟圆的半径相比(几何法)，也可以利用方程实根的个数来判断(解析法).b.直线与椭圆、双曲线、抛物线一般联立方程，判断相交、相切、相离c.直线与双曲线、抛物线有自己的特殊性(2).a.求弦长。公式：弦长其中为直线的斜率，是两交点坐标b.求弦所在的直线方程c.根据其它条件求圆锥曲线方程(3).已知一点A坐标，一直线与圆锥曲线交于两点P、Q，且中点为A，求P、Q所在的直线方程（点差法）(4).已知一直线方程，某圆锥曲线上存在两点关于直线对称，求某个值的取值范围（或者是圆锥曲线上否存在两点关于直线对称）（1）若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是_（2）直线ykx1=0与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是_（3）过双曲线的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若AB4，则这样的直线有_条.（4）过双曲线1外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：（5）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。（6）过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有_（7）过点(0,2)与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率取值范围为_（8）过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，若4，则满足条件的直线有_条（9）对于抛物线C：，我们称满足的点在抛物线的内部，若点在抛物线的内部，则直线：与抛物线C的位置关系是_（10）过抛物线的焦点作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是、，则_（11）求椭圆上的点到直线的最短距离（12）直线与双曲线交于、两点。当为何值时，、分别在双曲线的两支上？当为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？1、求弦长问题：（1）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，那么|AB|等于_（2）过抛物线焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则ABC重心的横坐标为_2、圆锥曲线的中点弦问题：（1）如果椭圆弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 （2）已知直线y=x+1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x2y=0上，则此椭圆的离心率为_（3）试确定m的取值范围，使得椭圆上有不同的两点关于直线对称xyABOMP特别提醒：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验！3、直线恒过定点问题：（1）A、B是抛物线y22px（p0）上的两点，且OAOB（O为坐标原点）求证：直线AB经过一个定点；（2）抛物线y22px（p0）上有两个动点A、B及一定点M（p，p），F为焦点；若|AF|、|MF|、|BF|成等差数列，求证：线段AB的垂直平分线过定点。例3图xyBOAMF4、焦点三角形问题：（1）短轴长为，离心率的椭圆的两焦点为、，过作直线交椭圆于A、B两点，则的周长为_（2）设P是等轴双曲线右支上一点，F1、F2是左右焦点，若，|PF1|=6，则该双曲线的方程为 （3）双曲线的虚轴长为4，离心率e，F1、F2是它的左右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且是与等差中项，则_（4）已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且，求该双曲线的标准方程。5、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：若抛物线的方程为y22px（p0），过抛物线的焦点F（，0）的直线交抛物线与A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则(1) y1y2p2；x1x2；(2)| AB|x1x2p；通径=2P(3)；(4) 过A、B两点作准线的垂线，垂足分别为A/、B/，F抛物线的焦点，则A/FB/900；(5) 以弦AB为直径的圆与准线相切。(6) 设A， B是抛物线y22px上的两点，O为原点， 则OAOB的充要条件是直线AB恒过定点(2p，0) 证明：(1)当直线过焦点且垂直于x轴时，A（，p）、B（，p），因此y1y2p2成立； 当直线过焦点且不与x轴垂直时，显然直线的斜率k0，直线AB的方程为：yk（x）；由此的x；把x代入y22px消去x得：ky22pykp20，y1y2p2A（x1，y1）、B（x2，y2）两点都在抛物线y22px（p0）上，y122px1，y222px2；两式相乘得(y1y2)22px12px2p44p2x1x2；从而x1x2(2)过A、B两点作准线x的垂线，垂足分别为A/、B/，xyOAA/B/BF题图则|AB|AF|BF|AA/|BB/|x1x2x1x2p (3)A（x1，y1）、B（x2，y2）(4)过A、B两点分别作准线的垂线，垂足分别为A/、B/， 由于点A、B是抛物线上的点，F是抛物线的焦点，根据抛物线的定义可知，|AF|AA/|，|BF|BB/|xyOAA/B/BF题图NN/ B/BF18002B/FB，A/AF18002A/FA 由AA/BB/ B/BFA/AF1800 即：18002B/FB18002A/FA1800B/FBA/FA900（5） N为线段AB的中点，过A、B、N分别作准线的垂线， 垂足分别为A/、B/、N/，N为线段AB的中点，则|NN/| 以AB为直径的圆与准线相切。（6）设A， B是抛物线y22px上的两点，O为原点， 则OAOB的充要条件是直线AB恒过定点(2p，0)六你了解下列结论吗？(1)与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线方程为_(2) 中心在原点，一个焦点为(3，0)，一条渐近线方程2x-3y=0的双曲线方程是-例8图xyPFOLANPN七、圆锥曲线中的最值问题 （1）如图所示，若A（3，2），F为抛物线y22x的焦点，求|PF|PA|的最小值，以及取得最小值时点P的坐标。变式：若A（3，5）呢？（2）.定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线上移动，求AB中点到轴距离的最小值，并求此时AB中点M的坐标。（3）若，且，则的最大值是_，的最小值是 （4）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为_八动点轨迹方程问题：1、直接法21世纪教育网当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法.例1点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，求点的轨迹方程式，并说明轨迹是什么图形变式：已知动点P到定点F(1,0)和直线的距离之和等于4，求P的轨迹方程2、待定系数法：已知轨迹是什么图形，先设出其标准方程，再求出参数。例2、 已知椭圆的焦点坐标为和，且经过点，求椭圆的标准方程。变式：抛物线的顶点在原点，以轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为的直线，被抛物线截得的弦长为8，试求抛物线的方程。3、定义法：定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.例3、求与圆及都外切的动圆圆心的轨迹方程解：设动圆的半径为r，则由动圆与定圆都外切得，又因为，由双曲线的定义可知，点M的轨迹是双曲线的一支所求动圆圆心的轨迹是双曲线的一支，其方程为：变式：（1）、一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程式，并说明它是什么曲线（2 、 已知的底边BC长为12，且底边固定，顶点A是动点，使，求点A的轨迹分析：首先建立坐标系，由于点A的运动规律不易用坐标表示，注意条件的运用，可利用正弦定理将其化为边的关系，注意有关限制条件解：以底边BC 为轴，底边BC的中点为原点建立坐标系，这时，由得,即 所以，点A的轨迹是以为焦点，2=6的双曲线的左支 其方程为：（3）动点到点(3，0)的距离比它到直线x2的距离大1，则动点的轨迹是( )A椭圆 B双曲线 C双曲线的一支 D抛物线解析：由题意可知，动点到点(3，0)的距离等于它到直线x3的距离，由抛物线定义知动点的轨迹是抛物线答案：D4、代入法当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点的坐标来表示，再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法.例4：点A位于双曲线上，是它的两个焦点，求的重心G的轨迹方程 分析：要求重心的轨迹方程，必须知道三角形的三个顶点的坐标，利用相关点法进行求解 注意限制条件 解：设的重心G的坐标为，则点A的坐标为因为点A位于双曲线上，从而有，即所以，的重心G的轨迹方程为 yQOxNP变式：如图，从双曲线上一点引直线的垂线，垂足为，求线段的中点的轨迹方程.解：设，则.在直线上， 又得即.联解得.又点在双曲线上，化简整理得：，此即动点的轨迹方程.5、参数法 参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到间的直接关系式，即得到所求轨迹方程.例5 过抛物线（）的顶点作两条互相垂直的弦、，求弦的中点的轨迹方程.解：设，直线的斜率为，则直线的斜率为.直线OA的方程为，由解得，即，同理可得.由中点坐标公式，得，消去，得，此即点的轨迹方程. 6、交轨法求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法.xA1A2OyNMP例6 如右图，垂直于轴的直线交双曲线于、两点，为双曲线的左、右顶点，求直线与的交点的轨迹方