2016新课标三维人教B版数学选修4-51.5不等式证明的基本方法.doc

15不等式证明的基本方法15.1比较法读教材填要点1定义要证ab，只需要证ab0；要证ab，只需证abb0时，1，0，则1；当ba0时，01，1.综上可知，当a，b(0，)时，aabb(ab) 成立(1)比较法证明不等式的过程中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少(2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法(3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用判别式法判断符号有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对差式进行分类讨论1已知x1，求证：1.证明：x1，1x0，0.(1)(x1)21(1)20，1.比较法的实际应用例2甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走如果mn，问甲、乙二人谁先到达指定地点？思路点拨本题考查比较法在实际问题中的应用，解答本题需要设出从出发点到指定地点的路程s，甲、乙二人走完这段路程各自需要的时间t1、t2，然后利用作差法比较t1，t2的大小即可精解详析设从出发地点至指定地点的路程为s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1、t2，依题意有：mns，t2.t1，t2.t1t2.其中s，m，n都是正数，且mn，t1t20，即t1t2.从而知甲比乙先到达指定地点应用不等式解决问题时，关键是如何把等量关系不等量关系转化为不等式的问题来解决，也就是建立数学模型是解应用题的关键，最后利用不等式的知识来解解答不等式问题，一般可分为如下步骤：阅读理解材料；建立数学模型；讨论不等式关系；作出问题结论2某人乘出租车从A地到B地，有两种方案第一种方案：乘起步价为10元，超过规定里程后每千米1.2元的出租车；第二种方案：乘起步价为8元，超过规定里程后每千米1.4元的出租车按出租车管理条例，在起步价内，不同型号的出租车行驶的路程是相等的，则此人从A地到B地选择哪一种方案比较合适？解：设A地到B地的距离为m千米起步价内行驶的路程为a千米显然当ma时，选起步价为8元的出租车比较合适当ma时，设max(x0)，乘坐起步价为10元的出租车费用为P(x)元乘坐起步价为8元的出租车费用为Q(x)元，则P(x)101.2x，Q(x)81.4x.P(x)Q(x)20.2x0.2(10x)当x10时，P(x)Q(x)，此时选择起步价为10元的出租车较为合适当xQ(x)，此时选择起步价为8元的出租车较为合适当x10时，P(x)Q(x)，两种出租车任选，费用相同对应学生用书P18 一、选择题1下列关系中对任意ab0的实数都成立的是()Aa2b2Blgb21 Da2b2解析：ab0，ab0.(a)2(b)20.即a2b20.1.又lg b2lg a2lglg 10.lg b2lg a2.答案：B2已知P，Qa2a1，那么P、Q的大小关系是()APQ BPp BmnpCnmp Dnmp解析：由已知，知m，n，得ab0时mn，可否定B、C.比较A、D项，不必论证与p的关系取特值a4，b1，则m4，n213，mn.可排除D.答案：A4若a，b为不等的正数，则(abkakb)(ak1bk1)(kN)的符号()A恒正 B恒负C与k的奇偶性有关 D与a，b大小无关解析：(abkakb)ak1bk1bk(ab)ak(ba)(ab)(bkak)a0，b0，若ab，则akbk，(ab)(bkak)0；若ab，则akbk，(ab)(bkak)0.答案：B二、填空题5若xy0，M(x2y2)(xy)，N(x2y2)(xy)，则M，N的大小关系为_解析：MN(x2y2)(xy)(x2y2)(xy)(xy)(x2y2)(xy)22xy(xy)xy0，xy0，xy0，MN0.即MN.答案：MN6设0xa2，a0，b0，得ba.又cb(1x)0，得cb，知c最大答案：c7如果a0，b0，则下列两式的大小关系为lg(1)_lg(1a)lg(1b)(填不等关系符号)解析：(1a)(b1)1abab，lg(1a)lg(1b)lg .(1)2()22(ab)，又ab2，2(ab)0.lg(1)lg(1a)lg(1b)答案：8一个个体户有一种商品，其成本低于元如果月初售出可获利100元，再将本利存入银行，已知银行月息为2.5%，如果月末售出可获利120元，但要付成本的2%的保管费，这种商品应_出售(填“月初”或“月末”)解析：设这种商品的成本费为a元月初售出的利润为L1100(a100)2.5%，月末售出的利润为L21202%a，则L1L21000.025a2.51200.02a0.045，a，L1L2，月末出售好答案：月末三、解答题9已知a1，求证，证明：()()0，.10设a，b是非负实数，求证：a3b3(a2b2)证明：由a，b是非负实数，作差得a3b3(a2b2)a2()b2()()()5()5当ab时，从而()5()5，得()()5()50；当ab时，从而()50.所以a3b3(a2b2)11设mR，ab1，f(x)，比较f(a)与f(b)的大小解：f(a)f(b).ab1，ba0，b10，0时，0，f(a)f(b)；当m0，f(a)f(b)；当m0时，0，f(a)f(b)15.2综合法和分析法读教材填要点1综合法从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理，逐步推导，从而最后导出要证明的命题，这种方法称为综合法2分析法从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，利用已知的一些定理，逐步探索，最后达到命题所给出的条件(或者一个已证明过的定理或一个明显的事实)，这种证明方法称为分析法小问题大思维1如何理解分析法寻找的是使要证命题成立的充分条件？提示：用分析法证题时，语气总是假定的，常用“欲证A只需证B”表示，说明只要B成立，就一定有A成立，所以B必须是A的充分条件才行，当然B是A的充要条件也可2用综合法和分析法证明不等式有怎样的逻辑关系？提示：综合法：AB1B2BnB(逐步推演不等式成立的必要条件)，即由条件出发推导出所要证明的不等式成立分析法：BB1B2BnA(步步寻求不等式成立的充分条件)，总之，综合法与分析法是对立统一的两种方法用综合法证明不等式例1已知a，b，c均为正实数，且互不相等，又abc1.求证：.思路点拨本题考查用综合法证明不等式，解答本题可从左到右证明，也可从右到左证明由左端到右端，应注意左、右两端的差异，这种差异正是我们思考的方向左端含有根号，脱去根号可通过0，b0，求证a(b2c2)b(c2a2)4abc.证明：因为b2c22bc，a0，所以a(b2c2)2abc.又因为c2a22ac，b0，所以b(c2a2)2abc.因此a(b2c2)b(c2a2)4abc.用分析法证明不等式例2a，b均为正实数，且2cab.求证：cac.思路点拨本题考查分析法在证明不等式中的应用解答本题需要对原不等式变形为ac0，y0，求证：(x2y2)(x3y3).证明：要证明(x2y2)(x3y3)，只需证(x2y2)3(x3y3)2，即证x63x4y23x2y4y6x62x3y3y6，即证3x4y23x2y42x3y3.x0，y0，x2y20.即证3x23y22xy.3x23y2x2y22xy，3x23y22xy成立(x2y2)(x3y3).分析法与综合法的综合应用例3已知a，b，c均为正实数，且b2ac.求证：a4b4c4(a2b2c2)2.思路点拨本题考查综合法与分析法的综合应用解答本题可先采用分析法将所要证明的不等式转化为较易证明的不等式，然后再用综合法证明精解详析欲证原不等式成立，只需证a4b4c4a4b4c42a2b22a2c22b2c2，即证a2b2b2c2a2c20，b2ac，故只需证(a2c2)aca2c20.a、c0，故只需证a2c2ac0，又a2c22ac，a2c2ac0显然成立原不等式成立(1)通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式易于证明(2)有些不等式的证明，需要一边分析一边综合，称之为分析综合法，或称“两头挤”法，如本例，这种方法充分表明了分析与综合之间互为前提，互相渗透，相互转化的辩证统一关系3已知abc，求证：0.证明：法一：要证明0，只需要证明.abc，acab0，bc0，0，成立0成立法二：若令abx，bcy，则acxy，abc，x0，y0，证明0，只要证明：0，也就是要证：0，即证：0，x0，y0，xy0，x2y2xy0，上式成立，即0，故0.对应学生用书P20 一、选择题1设a，b均为正实数，A，B，则A、B的大小关系是()AABBABCAB DAB解析：用综合法()2a2b，所以A2B20.又A0，B0，AB.答案：C2已知xyz，且xyz0，下列不等式中成立的是()Axyyz BxzyzCxyxz Dx|y|z|y|解析：由已知得3xxyz0，3z0，zxz.答案：C3若a0，b0，下列不等式中不成立的是()A.2 Ba2b22abC.ab D.2解析：由(0，)且(0，)，得2，所以A成立，B显然成立，不等式C可变形为a3b3a2bab2(a2b2)(ab)0.答案：D4已知a、b、c为三角形的三边且Sa2b2c2，Pabbcca，则()AS2P BPSP DPS2P解析：a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，a2b2c2abbcca，即SP.又三角形中|ab|c，a2b22abc2.同理b22bcc2a2，c22aca2b2，a2b2c22(abbcca)即S0，y0，且5x7y20，则xy的最大值是_解析：xy(5x7y)22.当且仅当5x7y10即x2，y时取等号答案：7已知a0，b0，若P是a，b的等差中项，Q是a，b的正的等比中项，是，的等差中项，则P、Q、R按从大到小的排列顺序为_解析：由已知P，Q，即R，显然PQ，又，QR.PQR.答案：PQR8若不等式0在条件abc时恒成立，则的取值范围是_解析：不等式可化为.abc，ab0，bc0，ac0，恒成立2224.证明：法一：由左式推证右式abc1，且a，b，c为互不相等的正数，bcacab(基本不等式).法二：由右式推证左式a，b，c为互不相等的正数，且abc1，.10已知ab0，求证：.证明：要证，只要证ab2，即证2()22，即证0，即证2，即证121，即证1b0，所以1，1，故1，1成立所以有成立11已知实数a、b、c满足cba，abc1，a2b2c21.求证：1ab.证明：abc1，欲证结论等价于11c，即c0.又a2b2c21，则有abc2c.由ab1c.由得a、b是方程x2(1c)xc2c0的两个不等实根，从而(1c)24(c2c)0，解得c1.cba，(ca)(cb)c2c(ab)abc2c(1c)c2c0，解得c0或c(舍)c0，即1ab.15.3反证法和放缩法读教材填要点1反证法首先假设要证明的命题是不正确的，然后利用公理，已有的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件(或已证明过的定理，或明显成立的事实)矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而原来结论是正确的，这种方法称为反证法2放缩法在证明不等式时，有时需要将所需证明的不等式的值适当放大(或缩小)使它由繁化简，达到证明目的，这种方法称为放缩法小问题大思维1用反证法证明不等式应注意哪些问题？提示：用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法(3)推导出来的矛盾可以是多种多样的，有的与已知条件相矛盾，有的与假设相矛盾，有的与定理、公理相违背，有的与已知的事实相矛盾等，但推导出的矛盾必须是明显的2运用放缩法证明不等式的关键是什么？提示：运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小)要适当如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们把分母放大时相应分式的值就会缩小；反之，如果把分母缩小，则相应分式的值就会放大有时也会把分子、分母同时放大，这时应该注意不等式的变化情况，可以与相应的函数相联系，以达到判断大小的目的，这些都是我们在证明中的常用方法与技巧，也是放缩法中的主要形式用反证法证明否定性结论例1设a，b，c，d都是小于1的正数，求证：4a(1b)，4b(1c)，4c(1d)，4d(1a)这四个数不可能都大于1.思路点拨本题考查反证法的应用解答本题若采用直接法证明将非常困难，因此可考虑采用反证法从反面入手解决精解详析假设4a(1b)1,4b(1c)1,4c(1d)1，4d(1a)1，则有a(1b)，b(1c)，c(1d)，d(1a).，.又，.将上面各式相加得22，矛盾4a(1b)，4b(1c)，4c(1d)，4d(1a)这四个数不可能都大于1.(1)当证明的结论中含有“不是”，“不都”，“不存在”等词语时，适于应用反证法，因为此类问题的反面比较具体(2)用反证法证明不等式时，推出的矛盾有三种表现形式与已知相矛盾，与假设矛盾，与显然成立的事实相矛盾1已知数列an的前n项和为Sn，且满足anSn2.(1)求数列an的通项公式；(2)求证数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列解：(1)当n1时，a1S12a12，则a11.又anSn2，所以an1Sn12，两式相减得an1an，所以an是首项为1，公比为的等比数列，所以an.(2)反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap1，aq1，ar1(pqr，且p，q，rN)，则2，所以22rq2rp1.又因为pq0，且(x1)2(y1)2(z1)0abc0这与abc0矛盾因此，a，b，c中至少有一个大于0.(1)在证明中含有“至少”、“至多”、“最多”等字眼时，或证明否定性命题、惟一性命题时，可使用反证法证明在证明中常见的矛盾可以与题设矛盾，也可以与已知矛盾，与显然的事实矛盾，也可以自相矛盾(2)在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾2实数a，b，c，d满足abcd1，acbd1.求证：a，b，c，d中至少有一个是负数证明：假设a，b，c，d都是非负数，即a0，b0，c0，d0，则1(ab)(cd)(acbd)(adbc)acbd.这与已知中acbd1矛盾，原假设错误，故a，b，c，d中至少有一个是负数.用放缩法证明不等式例3求证：12(nN*且n2)思路点拨本题考查放缩法在证明不等式中的应用，解答本题要注意欲证的式子中间是一个和的形式，但我们不能利用求和公式或其他方法求和，因此可考虑将分母适当放大或缩小成可以求和的形式，进而求和，并证明该不等式精解详析k(k1)k2k(k1)，.即(kN且k2)分别令k2,3，n得1，将这些不等式相加得1，即1.1111.即12(nN且n2)成立(1)放缩法证不等式主要是根据不等式的传递性进行变换，即欲证ab，可换成证ac且cb，欲证ab，可换成证ac且cb.(2)放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察常用的放缩方法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等比如：舍去或加上一些项：22；将分子或分母放大(缩小)：，(kR，k1)等3设n是正整数，求证：1.证明：由2nnkn(k1,2，n)，得.当k1时，；当k2时，；当kn时，1.对应学生用书P23 一、选择题1否定“自然数a、b、c中恰有一个为偶数”时正确的反设为()Aa、b、c都是奇数Ba、b、c都是偶数Ca、b、c中至少有两个偶数Da、b、c中至少有两个偶数或都是奇数解析：三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、二偶一奇、二奇一偶”4种，而自然数a、b、c中恰有一个为偶数包含“二奇一偶”的情况，故反面的情况有3种，只有D项符合答案：D2设M，则()