2018_2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2第2课时椭圆方程及性质的应用练习.docx

2.2.2 第2课时 椭圆方程及性质的应用A基础达标1点A(a，1)在椭圆1的内部，则a的取值范围是()AaBaC2a2D1a1解析：选A由题意知1，解得ab0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则椭圆E的方程为()A1 B1C1 D1解析：选D设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程，有1，1，两式相减得，因为线段AB的中点坐标为(1，1)，所以因为右焦点为F(3，0)，c3，所以a218，b29，所以椭圆E的方程为16椭圆y21被直线xy10 所截得的弦长|AB|_解析：由得交点为(0，1)，则|AB| 答案：7过椭圆1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为_解析：将椭圆与直线方程联立：解得交点A(0，2)，B设右焦点为F，则SOAB|OF|y1y2|1答案：8已知椭圆的方程为1(m0)如果直线yx与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰为椭圆的右焦点F，则椭圆的离心率为_解析：焦点在x轴上，由题意知，M又因为点M在yx上，所以，解得m2，所以e答案：9已知椭圆1(ab0)截直线yx1所得弦的长度为，且离心率为，求这个椭圆的方程解：因为e，所以 ，所以a24b2代入椭圆方程，得4x2y24b20将yx1代入，得5x22x14b20(*)设直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2为方程(*)的两个相异实根，所以420(14b2)0，即b2由弦长公式得，解得b2，所以a21，所以所求椭圆的方程为y2110已知椭圆4x2y21及直线yxm(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程解：(1)由得5x22mxm210因为直线与椭圆有公共点，所以4m220(m21)0，解得m (2)设直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)知5x22mxm210，由根与系数的关系，得x1x2，x1x2(m21)所以弦长d ，所以当m0时，d最大，此时直线方程为yxB能力提升11(2018广东肇庆期末)已知动直线yk(x1)与椭圆C：x23y25相交于A、B两点，点M的坐标为，则的值是()A BC D解析：选D将yk(x1)代入x23y25中得(13k2)x26k2x3k250，所以36k44(3k21)(3k25)48k2200，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，所以y1y2k2(x11)(x21)(1k2)x1x2(x1x2)k2(1k2)k2k2故选D12F1、F2为椭圆的两个焦点，以F2为圆心作圆，已知圆F2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于M点，若直线MF1恰与圆F2相切，则该椭圆的离心率e_解析：易知圆F2的半径为c，又直线MF1恰与圆F2相切，所以F1MF2是直角，因为|F1F2|2c，|MF2|c，|F1M|2ac，所以在直角三角形F1MF2中，有(2ac)2c24c2，化简得c22ac2a20，即220，所以e1(负值舍去)答案：113设F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|5|F1N|，求a，b解：(1)根据c及题设知M，2b23ac将b2a2c2代入2b23ac，解得，2(舍去)故C的离心率为(2)由题意知，原点O为F1F2的中点，MF2y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点，故4，即b24a由|MN|5|F1N|，得|DF1|2|F1N|设N(x1，y1)，由题意知y1b0)的右顶点为A，上顶点为B，M为线段AB的中点，若MOA30，则该椭圆的离心率为_解析：如图所示，因为MOA30，由直角三角形知识得BAO30所以tanBAO，所以ab，即a23b2，又a2b2c2，所以a2a2c2，所以a2c2，所以e答案：14(2018新乡高二检测)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)的离心率为，直线yx被椭圆C截得的线段长为，则椭圆C的方程为_解析：由题意知，可得a24b2椭圆C的方程可简化为x24y2a2将yx代入可得x，因此，可得a2因此b1所以椭圆C的方程为y21答案：y21三、解答题15求满足下列条件的椭圆的标准方程(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3，2)；(2)离心率为，且椭圆上一点到两焦点的距离之和为26解：(1)由焦距是4可得c2，又焦点在y轴上，则焦点坐标为(0，2)，(0，2)由椭圆的定义，知2a8，所以a4，所以b2a2c216412所以椭圆的标准方程为1(2)由题意，知2a26，即a13，又e，所以c5，所以b2a2c213252144，因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为1或116设F1，F2分别是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|3|BF1|(1)若|AB|4，ABF2的周长为16，求|AF2|；(2)若cosAF2B，求椭圆E的离心率解：(1)由|AF1|3|F1B|，|AB|4，得|AF1|3，|F1B|1因为ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a16，|AF1|AF2|2a8故|AF2|2a|AF1|835(2)设|F1B|k，则k0，且|AF1|3k，|AB|4k由椭圆定义可得|AF2|2a3k，|BF2|2ak在ABF2中，由余弦定理可得|AB|2|AF2|2|BF2|22|AF2|BF2|cosAF2B，即(4k)2(2a3k)2(2ak)2(2a3k)(2ak)，化简可得(ak)(a3k)0，而ak0，故a3k于是有|AF2|3k|AF1|，|BF2|5k因此|BF2|2|F2A|2|AB|2，可得F1AF2A，故AF1F2为等腰直角三角形从而ca，所以椭圆E的离心率e17已知椭圆C：y21(1)求椭圆C的离心率；(2)已知定点E(1，0)，若直线ykx2(k0)与椭圆交于A，B两点，则是否存在实数k，使得以AB为直径的圆过点E？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由解：(1)由题意，知a23，b21，则a，c，所以椭圆C的离心率为(2)假设存在实数k满足条件，由，得(13k2)x212kx90，所以(12k)236(13k2)0，即k1或k1设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，而y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)4要使以AB为直径的圆过点E(1，0)，只需AEBE，即0，即y1y2(x11)(x21)0，所以(k21)x1x2(2k1)(x1x2)50将代入，解得k，满足题意综上，存在k，使得以AB为直径的圆过点E18如图，椭圆E：1(ab0)的离心率是，点P(0，1)在短轴CD上，且1(1)求椭圆E的方程；(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点，是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由解：(1)由已知，点C，D的坐标分别为(0，b)，(0，b)又点P的坐标为(0，1)，且1，于是解得a2，b所以椭圆E的方程为1(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykx1，点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)联立直线与椭