2018_2019学年高中数学第四讲用数学归纳法证明不等式二用数学归纳法证明不等式举例练习.docx

二 用数学归纳法证明不等式举例,学生用书P60)A基础达标1用数学归纳法证明不等式1成立时，起始值n0至少应取()A7B8C9 D10解析：选B.1，n16，n7，故n08.2设n为正整数，f(n)1，计算得f(2)，f(4)2，f(8)，f(16)3，f(32)，观察上述结果，可推测出的一般结论为()Af(2n)(n1，nN*)Bf(n2)(n1，nN*)Cf(2n)(n1，nN*)D以上都不对解析：选C.f(2)，f(4)f(22)，f(8)f(23)，f(16)f(24)，f(32)f(25)，依此类推可知f(2n)(n1，nN*)3观察下列不等式：1，11，1，12，1，由此猜测第n(nN)个不等式为()A1B1C1D1解析：选C.因为1，3，7，15，31，的通项公式为an2n1，所以不等式左边应是1.因为，1，2，的通项公式为bn，所以不等式右边应是.4设f(x)是定义在正整数集上的函数，有f(k)满足：当“f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”那么下列命题总成立的是()A若f(3)9成立，则当k1时，均有f(k)k2成立B若f(5)25成立，则当k5时，均有f(k)k2成立C若f(7)49成立，则当k8时，均有f(k)42，因此对于任意的k4，均有f(k)k2成立5对于正整数n，下列说法不正确的是()A3n12n B0.9n10.1nC0.9n1，且x0，n1，nN)判断当x2时，(12)n12n，A正确当x0.1时，(10.1)n10.1n，B正确，C不正确当x0.9时，(10.9)n10.9n，因此D正确6用数学归纳法证明，假设nk时，不等式成立之后，证明nk1时，应推证的目标不等式是_解析：把nk时的不等式中的k换成k1，得.答案：7在ABC中，不等式成立；在四边形ABCD中，不等式成立；在五边形ABCDE中，不等式成立，猜想在n边形A1A2An中，类似成立的不等式为_解析：n3时，不等式为，n4时，不等式为，n5时，不等式为，猜想.答案：8若不等式对大于1的一切自然数n都成立，则自然数m的最大值为_解析：令f(n)，易知f(n)是单调递增的所以f(n)的最小值为f(2).依题意，所以mk3(k1)2，也就是说，当nk1时，ak1(k1)2.由可知ann2对一切nN*都成立10设aR，f(x)是定义在R上的奇函数(1)求a的值；(2)如果g(n)，试比较f(n)与g(n)的大小(nN)解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)0，故a1.(2)f(n)g(n).只要比较2n与2n1的大小当n1，2时，2n2n1，f(n)2n1，f(n)g(n)下面证明，n3时，2n2n1，即f(n)g(n)当n3时，23231，显然成立，假设nk(k3，kN)时，2k2k1，那么nk1时，2k122k2(2k1)2(2k1)2(k1)14k22k32k10(因为k3)，有2k12(k1)1.所以当n1，2时，f(n)g(n)B能力提升1已知xR，不等式x2，x3，可推广为xn1，则a的值为()A2n Bn2C22(n1) Dnn解析：选D.由已知中不等式：x2，xx3，xx4，归纳可得，不等式左边第一项为x，第二项为，右边为n1，故第n个不等式为xn1，故ann，选D.2设a，b均为正实数，nN，已知M(ab)n，Nannan1b，则M，N的大小关系为_(提示：利用贝努利不等式，令x)解析：由贝努利不等式(1x)n1nx(x1，且x0，n1，nN)，当n1时，令x，所以1n，所以1n，即(ab)nannan1b.当n1时，MN，故MN.答案：MN3设xn，yn，n1，2，求证xnxn1，yn1yn.证明：先证xn11，即1，故.故xnxn1.再证yn111，即1，1，即，.故yn1yn.4设数列an满足a10，an1ca1c，nN，其中c为实数(1)证明：an0，1对任意nN成立的充分必要条件是c0，1；(2)设0c，证明：an1(3c)n1，nN.证明：(1)必要性：因为a10，所以a21c.因为a20，1，所以01c1，即c0，1充分性：设c0，1，对nN用数学归纳法证明an0，1当n1时，a100，1假设ak0，1(kN，k1)，则ak1ca1cc1c1，且ak1ca1c1c0，故ak10，1由数学归纳法，知an0，1对所有的nN成立综上，可得an0，1对任意nN成立的充分必要条件是c0，1(2)设0c，当n1时，a10，结论成立当n2时，因为anca1c，所以1anc(1a)c(1an1)(1an1a)因为0