2018_2019学年高中数学第二章推理与证明2.2.1综合法和分析法学案新人教A版.docx

2.2.1综合法和分析法1.了解直接证明的两种基本方法综合法和分析法.2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题.综合法和分析法综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫做分析法框图表示（P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论）eq x(得到一个明显（Q表示要证明的结论）特点顺推证法或由因导果法逆推证法或执果索因法1.综合法的特点综合法的特点是从“已知”看“未知”，逐步推理，实际上是寻找使结论成立的必要条件. 2.综合法的书写格式从已知条件出发，顺着推证，由“已知”得“推知”，由“推知”得“未知”，逐步推出求证的结论，这就是顺推法的格式，它的常见书面表达是“因为，所以”或“”.3.分析法的特点（1）分析法的特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理的过程，实际上是寻找使结论成立的充分条件.（2）分析法从命题的结论入手，寻求结论成立的条件，直至归结为已知条件、定义、公理、定理等.4.用分析法书写证明过程时的格式“要证，只需证，只需证，由于显然成立（已知，已证），所以原结论成立.”其中的关联词语不能省略. 判断正误（正确的打“”，错误的打“”）（1）综合法是执果索因的逆推证法.（）（2）分析法就是从结论推向已知.（）（3）分析法与综合法证明同一个问题时，一般思路恰好相反，过程相逆.（）答案：（1）（2）（3） 下面对命题“函数f（x）x是奇函数”的证明不是用综合法的是（）A.xR且x0有f（x）（x）f（x），所以f（x）是奇函数B.xR且x0有f（x）f（x）x（x）0，所以f（x）f（x），所以f（x）是奇函数C.xR且x0，因为f（x）0，所以1，所以f（x）f（x），所以f（x）是奇函数D.取x1，则f（1）12，又f（1）12，则f（1）f（1），所以f（x）是奇函数解析：选D.A，B，C选项中的证明过程都是“由因导果”，因此是综合法，而选项D是特值法验证，并不能证明命题. 用分析法证明：要证AB，只需证CD，这里是的（）A.充分条件B.必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析：选B.分析法证明的本质是证明结论的充分条件成立，即是的充分条件，所以是的必要条件. 欲证，只需证（）A.（）2（）2B.（）2（）2C.（）2（）2D.（）2（）2解析：选A.欲证，只需证，只需证（）26abc.【证明】因为a，b，c是正数，所以b2c22bc，所以a（b2c2）2abc.同理，b（c2a2）2abc，c（a2b2）2abc.因为a，b，c不全相等，所以b2c22bc，c2a22ca，a2b22ab三式中不能同时取到“”.所以式相加得a（b2c2）b（c2a2）c（a2b2）6abc.综合法证明问题的步骤 1.如图，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，ABDC，DCAC.（1）求证：DC平面PAC；（2）求证：平面PAB平面PAC.证明：（1）因为PC平面ABCD，所以PCDC.又因为DCAC，且PCACC，所以DC平面PAC.（2）因为ABDC，DCAC，所以ABAC.因为PC平面ABCD，所以PCAB.又因为PCACC，所以AB平面PAC.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAC.2.求证：sin（2）sin 2sin cos（）.证明：因为sin（2）2sin cos（）sin（）2sin cos（）sin（）cos cos（）sin 2sin cos（）sin（）cos cos（）sin sin（）sin .所以原命题成立.探究点2分析法的应用已知ABC三边a，b，c的倒数成等差数列，求证：B为锐角.【证明】要证B为锐角，根据余弦定理，只需证明cos B0，即证a2c2b20.由于a2c2b22acb2，要证a2c2b20，只需证2acb20.因为a，b，c的倒数成等差数列，所以，即2acb（ac）.要证2acb20，只需证b（ac）b20，即b（acb）0，上述不等式显然成立，所以B为锐角.分析法证明数学问题的方法1.当ab0时，求证：（ab）.证明：要证 （ab），只需证（）2，即证a2b2（a2b22ab），即证a2b22ab.因为a2b22ab对一切实数恒成立，所以（ab）成立.2.已知非零向量a，b，且ab，求证： .证明：abab0，要证 ，只需证|a|b| |ab|，只需证|a|22|a|b|b|22（a22abb2），只需证|a|22|a|b|b|22a22b2，只需证|a|2|b|22|a|b|0，即证（|a|b|）20，上式显然成立，故原不等式得证.探究点3分析综合法的应用ABC的三个内角A，B，C成等差数列，其对边分别为a，b，c.求证：（ab）1（bc）13（abc）1.【证明】法一：要证（ab）1（bc）13（abc）1，即证，即证3，即证1.只需证c（bc）a（ab）（ab）（bc），只需证c2a2acb2.因为ABC三个内角A，B，C成等差数列，所以B60.由余弦定理，有b2c2a22cacos 60，即b2c2a2ac，c2a2acb2，此式即分析中欲证之等式，所以原式得证.法二：因为ABC三个内角A，B，C成等差数列，所以B60.由余弦定理，有b2c2a22accos 60，得c2a2acb2，两边同时加abbc，得c（bc）a（ab）（ab）（bc），两边同时除以（ab）（bc），得1，所以3，所以，所以（ab）1（bc）13（abc）1.分析法与综合法是两种思路相反的推理方法，分析法是倒溯，综合法是顺推，分析法容易探路，综合法条理清晰，易于表达，但思路不太好想，因此在选择证明方法时，一定要有“综合性选取”意识，明确数学证明方法不是孤立的，应当善于将两种不同的证明方法结合在一起运用. 1.设a，b（0，），且ab，求证：a3b3a2bab2.证明：法一：（分析法）要证a3b3a2bab2成立，即需证（ab）（a2abb2）ab（ab）成立.又因ab0，故只需证a2abb2ab成立，即需证a22abb20成立，即需证（ab）20成立.而依题设ab，则（ab）20显然成立.由此不等式得证.法二：（综合法）abab0（ab）20a22abb20a2abb2ab.因为a0，b0，所以ab0，所以（ab）（a2abb2）ab（ab）.所以a3b3a2bab2.2.在某两个正数x，y之间插入一个数a，使x，a，y成等差数列，插入两数b，c，使x，b，c，y成等比数列，求证：（a1）2（b1）（c1）.证明：由已知得所以x，y，即xy，从而2a.要证（a1）2（b1）（c1），只需证a1成立.只需证a1即可.也就是证2abc.而2a，则只需证bc成立即可，即证b3c3（bc）（b2bcc2）（bc）bc，即证b2c2bcbc，即证（bc）20成立，上式显然成立，所以（a1）2（b1）（c1）.1.如图所示是解决数学问题的思维过程的流程图，则在此流程图中，两条流程线与“推理与证明”中的思维方式匹配正确的是（）A.综合法，分析法B.分析法，综合法C.综合法，反证法D.分析法，反证法解析：选A.由已知到可知，进而得到结论的应为综合法；由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，故两条流程线对应的思维方式分别为综合法、分析法.2.命题“对于任意角，cos4sin4cos 2”的证明过程为：“cos4sin4（cos2sin2）（cos2sin2）cos2sin2cos 2”，其应用了（）A.分析法B.综合法C.综合法、分析法综合使用 D.类比法解析：选B.从证明过程来看，是从已知条件入手，经过推导得出结论，符合综合法的证明思路.3.设a，b，c成等比数列，而x，y分别是a，b和b，c的等差中项，求证：2.证明：由题知c，x，y，则2，即2.知识结构深化拓展对于一些较为复杂的数学命题，不论是从“已知”推向“未知”，还是由“未知”靠拢“已知”，都有一个比较长的过程，单靠分析法或综合法显得较为困难.为了保证探索方向准确及过程快捷，人们常常把分析法与综合法结合起来使用，形成了分析综合法.（1）思维模式（2）框图表示用P表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q表示所要证明的结论，则分析综合法可用框图表示.A基础达标 1.分析法是从要证的结论出发，逐步寻求结论成立的（）A.充分条件B.必要条件C.充要条件 D.等价条件解析：选A.由分析法的要求知，应逐步寻求结论成立的充分条件.2.要证：a2b21a2b20，只要证明（）A.2ab1a2b20B.a2b210C.1a2b20D.（a21）（b21）0解析：选D.要证：a2b21a2b20，只需证：a2b2a2b210，只需证：（a21）（b21）0，故选D.3.若a，b，cR，且abbcca1，则下列不等式成立的是（）A.a2b2c24 B.（abc）23C.a2b2c23 D.（abc）24解析：选B.因为a，b，cR，所以a2b22ab，b2c22bc，a2c22ac，当且仅当abc时，等号同时成立，所以a2b2c2abbcac1，当且仅当abc时，等号成立，所以（abc）2a2b2c22ab2bc2aca2b2c223，当且仅当abc时，等号成立.4.若P，Q（a0），则P，Q的大小关系是（）A.PQ B.PQC.PQ D.由a的取值确定解析：选C.取a1得P14，所以PQ.证明如下：要证PQ，只需证P2Q2，只需证2a722a72，只需证a27aa27a12，只需证012，因为012成立，所以PQ成立，故选C.5.下列函数f（x）中，满足“对任意x1，x2（0，），当x1x2时，都有f（x1）f（x2）成立”的是（）A.f（x）B.f（x）（x1）2C.f（x）exD.f（x）ln（x1）解析：选A.本题就是找哪一个函数在（0，）上是减函数，A项中，f（x）0，所以f（x）在（0，）上为减函数.6.设a2，b2，则a，b的大小关系为.解析：a2，b2，两式的两边分别平方，可得a2114，b2114，显然， .所以ab.答案：ab7.在ABC中，A60，AC4，BC2，则ABC的面积等于.解析：如图所示，在ABC中，由正弦定理得，解得sin B1，所以B90，所以SABCAB222.答案：28.如图所示，在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件时，有A1CB1D1（注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形）.解析：要证A1CB1D1，只需证B1D1垂直于A1C所在的平面A1C C1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以B1D1C C1，故只需证B1D1A1C1，易知只需证BDAC.答案：BDAC（答案不唯一）9.在ABC中，已知（abc）（abc）3ab，且2cos Asin Bsin C.判断ABC的形状.解：因为ABC180，所以sin Csin（AB）.又2cos Asin Bsin C，所以2cos Asin Bsin Acos Bcos Asin B，所以sin（AB）0.又A与B均为ABC的内角，所以AB.又由（abc）（abc）3ab，得（ab）2c23ab，a2b2c2ab.又由余弦定理c2a2b22abcos C，得a2b2c22abcos C.所以2abcos Cab，cos C，所以C60.又因为AB，所以ABC为等边三角形.10.已知a，b是不等正数，且a3b3a2b2，求证：1aba2abb2得（ab）2ab，又因为ab0，所以ab1，要证ab，即证3（ab）0，所以只需证明3（ab）24（ab），又因为aba2abb2，即证3（ab）20.因为a，b是不等正数，故（ab）20成立.故ab成立.综上，得1ab0；|5；|2，|2.以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，写出你认为正确的命题是（用序号及“”表示）.解析：因为0，|2，|2，所以|222288283225，所以|5.答案：13.如图，几何体EABCD是四棱锥，ABD为正三角形，CBCD，ECBD.（1）求证：BEDE；（2）若BCD120，M为线段AE的中点，求证：DM平面BEC.证明：（1）取BD的中点O，连接CO，EO，则由CBCD知，COBD.又ECBD，ECCOC，所以BD平面OCE，所以BDEO，又O为BD的中点，所以BEDE.（2）取AB的中点N，连接MN，DN，DM.因为M，N分别是AE，AB的中点，所以MNBE.又MN平面BEC，BE平面BEC，所以MN平面BEC.因为ABD为正三角形，所以DNAB.由BCD120，CBCD知，CBD30，所以ABC603090，即BCAB，所以DNBC.又DN平面BEC，BC平面BEC，所以DN平面BEC.又MNDNN，所以平面MND平面BEC，又DM平面MND，故DM平面BEC.14.（选做题）设数列an的前n项和为Sn，已知a11，a26，a311，且（5n8）Sn1（5n2）SnAnB，nN*，其中A、B为常数.（1）求A与B的值；（2）证明：数列an为等差数列.解：（1）由已知得S1a11，S2a1a2