高等数学课件第1章 微积分-函数.ppt

微积分-函数,1,经济类高等数学,微积分,线性代数,概率论与数理统计,微积分：,极限论,一元微分学,一元积分学,多元积分学,多元微分学,级数论,微积分-函数,2,微积分是关于运动和变化的数学。,英国Newton(1642-1727)和德国Leibniz(1646-1716)各自独立地创立了微积分。微分学处理变化率问题，使人们能够计算运动物体的速度和加速度、定义曲线上一点处切线的斜率、预测何时行星靠得最近或离得最远。积分学处理从函数变化率的信息决定函数自身的问题。它使人们能够从物体现在的速度和作用在物体上的力计算该物体的位置、求变力所做的功、任意空间物体的体积、质量等等,经济系统是开放、运动的系统，定量分析，即建立数学模型，能更好地把握经济运行规律，近年来诺贝尔经济学奖获奖成果大都与经济数学模型有关。微积分是建立数学模型的重要基本工具之一，已成为现代人开启科学之门的钥匙。同时，微积分也是经济类专业的重要基础课后继专业课程如西方经济学、计量经济学中，大家会有所体会。,微积分-函数,3,3.不规则立体的体积,4.曲线上任意一点的切线的斜率,5.最大值、最小值问题,教学目的：,培养逻辑思维能力、空间想象能力、正确的运算能力、应用数学解决实际问题的能力。,微积分研究的基本方法：极限方法,微积分可以解决的一些问题：,2. 平面上任意曲线所围成的平面图形的面积,微积分-函数,4,怎样学习微积分？,中学数学学习了计算数、化简代数式，对平面和空间点、线、面的一些基本关系和基本量进行计算和推理,以上述内容为基础，微积分还在更深刻的层次上发展和应用了其它的方法和技巧。但方法和技巧只是数学概念、数学思想和理论的载体，对概念、定理的准确理解是学习与掌握各种方法的前提。不能陷入对概念与方法不加深入理解就机械模仿、寻找解题套路的题海战术中。单纯模仿只能导致就题论题、死记硬背。建议：,(1)坚持预、复习: 认真阅读教材，仔细体会概念、定理及例题的叙述.理解定理和例题中用到的概念和思想方法.,(2)认真听讲，作必要的课堂笔记，了解概念的背景，把握知识发展的主线，理清概念之间的关系.,微积分-函数,5,(3)认真完成作业，做适量的课外习题.遇到困难或出现错误，分析原因所在；常常思考相关题目的区别和联系.,(4)可借助函数图象帮助理解有关概念、定理及分析、解答某些问题.,(5)及时作章节小结，理清知识结构，小结解题思想方法,(6)同学之间、师生之间的讨论和交流对提高学习效果的作用不可忽视.欢迎同学们积极提出并参与讨论问题.,教学安排及要求,作业:作业纸对折、抄题、过程、题间空行、上交时间. 辅导答疑时间:待定.,微积分-函数,6,第1章 函数,微积分-函数,7,一、实数与实数的绝对值,1.1 实 数,1.实数与数轴,实数,实数集：全体实数组成的集合，记 R,数轴：具有原点、正方向和单位长度的直线,全体实数 数轴上的全体点( ),微积分-函数,8,2.实数的性质,1)连续性(充满数轴，无空隙) 2)稠密性(任两不等实数间既有有理数,又有无理数) 3)有序性(有大小顺序) 4)对四则运算封闭,3.实数的绝对值,1)定义：,2)几何意义：,表示点a到原点o的距离；,表示点a与点b间的距离。,微积分-函数,9,4)运算性质：,3)基本性质：,微积分-函数,10,1.2 常用实数集,1. 自然数集N;,整数集Z;,有理数集Q;,实数集R,2.区间:,称为开区间,称为闭区间,称为半开区间,记作,有限区间,无限区间,微积分-函数,11,3.邻域:,记作：,即: 到点x0的距离小于d的点的集合,x0的左邻域,x0的右邻域,微积分-函数,12,在某过程中数值保持不变的量称为常量，常用字母a,b,c 等表示； 而数值变化的量称为变量，常用字母x, y, t 等表示。,注意,常量与变量是相对“过程”而言的.,一、常量与变量,1.3 函数,二、函数概念,1.定义:,非空实数集D,每一个x,法则 f,唯一实数y,称f 为定义在实数集D上的一个函数.,定义域,值域,自变量,因变量,习惯上称yf (x)为x的函数.,(因为常通过函数值的变 化研究函数f 的性质),微积分-函数,13,定义域D与对应法则 f.,2.函数的两要素：,两函数相同 两要素均相同,3.求函数的定义域使算式有意义的自变量所有取值(实数值)。实际问题中的函数，其定义域还应考虑变量的实际意义。,三、函数表示法,1.解析法(公式法):用数学表达式表示对应法则。便于运算和分析，用得最多。,2.图示法:在直角坐标系中用曲线表示对应法则。直观.,3.表格法:自变量与因变量的一些对应值列成表格。如平方表、对数表。,三种表示法各有优点，常结合使用。,微积分-函数,14,在定义域不同范围内，对应法则用不同解析式表示的函数。,四、分段函数,注意：不能将其中每一个解析式看作一个函数，他们合起来是一个函数。,分段函数是本节的一个重点及难点。注意后面例题中有关分段函数的定义域、作图等问题。,题型I （函数概念）,1.下列各组函数是否为同一函数？,(x与的取值范围相同),五、例题,微积分-函数,15,解,故f(x)与g(x)是同一函数,f(x)与g(x)的定义域都是1,+)，且由,微积分-函数,16,2.求函数的定义域,1)分母； 2)偶次方根； 3)对数的真数； 4)对数的底数； 5)正、余切函数；6)反正(余)弦函数,微积分-函数,17,微积分-函数,18,题型(作图),画出下列函数的图形,1)绝对值函数:y=ABS(x),2)符号函数：,微积分-函数,19,3)取整函数：y为不超过x的最大整数。记,yINT(x) x,微积分-函数,20,解：定义域D0,+),注：有的函数的图象无法描绘出来.如,按照定义,它的图象是存在的,但无法画出来.,值域 Z0,+),微积分-函数,21,当x1x2时，f(x1)f(x2)，则称f(x)在实数集I内严格单增。,当x1x2时，f(x1)f(x2)，则称f(x)在实数集I内单调递增。,思考:1)y=f(x)能否既单增又单减? 2)y=f(x)能否既严格单增又严格单减?,一、单调性,1.4 函数的基本特性,掌握：1.定义，2.图形，3.判定(证明),微积分-函数,22,有界,无界,二、函数的有界性,定义1:,m1f(x)m2,微积分-函数,23,例：函数,都是有界函数.,函数,在区间(1, 2)上有界,在区间(0, 1)上无界但有下界.,函数 f (n)n(1)n1, nN,是无界函数.,微积分-函数,24,三、函数的奇偶性,偶函数图形关于y轴对称,奇函数图形关于原点对称,f (x)f (x)，称f (x)为偶函数；,f (x) f (x)，称f (x)为奇函数.,设D关于原点对称，对于 xD，有,微积分-函数,25,判定下列函数的奇偶性,解(3):定义域,R,故 f(x)为奇函数.,26,四、函数的周期性,（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.,思考：是否所有的周期函数都有最小正周期？,周期为任意实数,周期为任意有理数,微积分-函数,27,证明f(x)xsinx不是周期函数 (P9例),证明 设f(x)以T 为周期，则,取x1有,因此f(x)xsinx不是周期函数。,思考题,解答,取x0有,时上式不可能成立.,而T0,微积分-函数,28,小结,基本概念 集合, 区间, 邻域, 常量与变量, 绝对值.,函数的概念,函数的特性 有界性,单调性,奇偶性,周期性.,微积分-函数,29,练习：,微积分-函数,30,作业：,P6：1-1 (3)(4) 1-4 (1) P9：1-6 (1)(4) 1-9 (4) 思考：1-8(2)(做在 笔记本上，待评讲),证明f(x)xsinx在(0,)上无界.,且,备用题,证明,证: 令,则,由,消去,得,时,其中,a, b, c 为常数,且,为奇函数 .,为奇函数 .,1. 设,2 . 设函数,的图形与,均对称, 求证,是周期函数.,证:,由,的对称性知,于是,故,是周期函数 ,周期为,微积分-函数,33,P9:1-8(2) 证明f(x)xsinx在(0,)上无界.,证：任给整数M0，取,则,故 f(x)xsinx在(0,)上无界,复习,f (x)在X上无界,f (x)在X上有界,微积分-函数,34,定义:,习惯记作:,互为反函数,函数与其反函数的定义域、值域互换.,2) yf (x)与yf 1(x)图像关于yx对称,3) yf(x)存在反函数,yf(x)一一对应,严格单调函数必存在反函数,1.5 反函数(invers functions),微积分-函数,35,例,反三角函数：,正、余弦函数、正、余切函数不一一对应，故不存在反函数，但限制自变量取值范围，使之成为一一对应，则可定义出它们的反函数。一般找关于原点对称的单调区间，若不存在关于原点对称的单调区间，则在原点右侧找。 仅以反正弦函数为例：,记yarcsinx，,称为反正弦函数.,理解其含义，如sin(arcsinx),ysinx，取 ，则x、y一一对应，存在反函数,x,微积分-函数,36,ysinx,yarcsinx,37,例1 求,的反函数及其定义域.,解:,当,时,则,当,时,则,当,时,则,反函数,定义域为,微积分-函数,38,一、基本初等函数,1.6 基本初等函数,熟练掌握其图形及性质(P11-15)!,微积分-函数,39,x,一、复合函数,例：,定义:,y,u,复合函数的定义域,则可确定y与x的函数yf g (x) ，称为复合函数.,u中间变量.,复合函数的定义域?,1.7 初等函数(elementary functions),微积分-函数,40,注：1.并非任何两个函数均能复合.,2.复合函数可由两个以上的函数复合构成.,例2 判断下列各组函数可否复合成复合函数,41,例5 设 ，求f (x1),解,例3 设 ，求,解,42,例6,解,因此,微积分-函数,43,例8 指出下列函数的复合过程,x,x,则x(t1)2,从而f(t)(t1)2,由外向内,逐层分解.,：ye u，ux lnx.,(幂指函数),微积分-函数,44,定义：由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次复合，并在其定义域内具有统一的解析表达式，称这样的函数为初等函数。,说明：分段函数一般不是初等函数，因很难满足 “具有统一的解析表达式”的条件。,二、初等函数,微积分-函数,45,三、隐函数(补充),限定： y 0,可以显化,一般地，称形如y=f(x)的函数为显函数.,微积分-函数,46,思考题 方程 能确定隐函数吗？,结论:能确定x(0, +)上的隐函数,为非初等函数.,微积分-函数,47,小结,函数的分类:,函数,初等函数,非初等函数(一般分段函数、有无穷多项等函数),代数函数,超越函数,有理函数,无理函数,有理整函数(多项式函数),有理分函数(分式函数),1.8 极坐标自学，第6章 6.7节再介绍,微积分-函数,一、成本函数、收入函数和利润函数,Counter：本钱，资本,Reap：收获，从中获得利润,1.9 简单的经济函数,C(x) R(x),成本C、收入R、,利润L、产量或销量x,线性函数时: Cabx,C固定成本C0可变成本,R(x)线性函数时:R(x)px,注：价格p常为变量，随x而变,盈亏转折点：,C(x)R(x),C,R,保本 最低生产量,盈利的 最高生产量,L(x)R(x)C(x),微积分-函数,49,例9 设某商店以每件a元的价格出售某种商品，但若顾客一次购买50件以上，则超出部分以每件0.9a元的价格出售。试将一次成交的销售收入R表示成销售量x的函数。,解 由题意可知,一次售出50件以内的收入为,而一次售出50件以上时,收入为,所以,一次成交的收入与销售量的函数关系是,且x为整数,微积分-函数,50,白领公寓,解,例10 某房地