届高考数学第一轮总复习 2.9 函数模型及其应用课件 文 新人教A版.ppt

第 九 节 函数模型及其应用,【知识梳理】 1.指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质,单调递增,单调递增,单调递增,y轴,x轴,2.常见的几种函数模型 (1)直线模型:y=_型,图象增长特点是直线式上升 (x的系数k0),通过图象可以直观地认识它,特例是正比例函 数模型y=_. (2)反比例函数模型:y=_型,图象增长特点是y随x的增 大而减小. (3)指数函数模型:y=abx+c(b0,b1,a0)型，图象增长 特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快(底数b 1,a0)，常形象地称为指数爆炸.,kx+b(k0),kx(k0),(k0),(4)对数函数模型:y=mlogax+n(a0,a1,m0)型，图象增长 特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢(底数 a1,m0). (5)幂函数模型:y=axn+b(a0)型，其中最常见的是二次函 数模型:_(a0)，图象增长特点是随着自变量的增 大，函数值先减小，后增大(a0).,y=ax2+bx+c,(6)分段函数模型： 图象特点是每一段自变量 变化所遵循的规律不同.可以先将其当作几个问题，将各段的 变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的 取值范围,特别是端点.,3.建立函数模型解决实际应用问题的步骤 (1)审题：阅读理解、弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，弄清数据的单位等. (2)建模：正确选择自变量，将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型. (3)求模：求解数学模型，得出数学结论. (4)还原：将数学问题还原为实际问题.,以上过程用框图表示如下：,【考点自测】 1.(思考)给出下列命题: 函数y=2x的函数值在(0,+)上一定比y=x2的函数值大; 在(0,+)上,随着x的增大,y=ax(a1)的增长速度会超过并远远大于y=x(0)的增长速度; “指数爆炸”是指数型函数y=abx+c(a0,b0,b1)增长速度越来越快的形象比喻;,幂函数增长比直线增长更快; 指数函数模型,一般用于解决变化较快,短时间内变化量较大的实际问题中. 其中正确的命题是( ) A. B. C. D.,【解析】选D.错误.当x(0,2)和(4,+)时,2xx2,当x(2,4)时,x22x. 正确.由两者的图象易知. 错误.增长越来越快的指数型函数是y=abx+c(a0,b1). 错误.幂函数y=xn(01)的增长速度比直线y=x(x1)的增长速度慢. 正确.根据指数函数y=ax(a1)函数值增长特点知正确.,2.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据.现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是( ) A.y=2x B.y=log2x C.y= (x2-1) D.y=2.61cosx,【解析】选B.由表格知当x=3时,y=1.59,而A中y=23=8,不合要 求,B中y=log23(1,2)接近,C中y= (32-1)=4,不合要求,D中 y=2.61cos30,不合要求,故选B.,3.(2013湖北高考)小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间,后为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是( ),【解析】选C.距学校越来越近则图象下降,交通堵塞时距离不变,后加速行驶,直线变陡.,4.某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y=alog3(x+1),设这种动物第2年有100只,到第8年它们发展到( ) A.200只 B.300只 C.400只 D.500只 【解析】选A.由已知得100=alog3(2+1),得a=100, 则当x=8时,y=100log3(8+1)=200(只).,5.某种储蓄按复利计算利息,若本金为a元,每期利率为r,存期是x,本利和(本金加利息)为y元,则本利和y随存期x变化的函数关系式是 .,【解析】已知本金为a元,利率为r,则 1期后本利和为y=a+ar=a(1+r), 2期后本利和为y=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2, 3期后本利和为y=a(1+r)3, x期后本利和为y=a(1+r)x,xN. 答案:y=a(1+r)x,xN,6.(2014吉首模拟)某工厂生产某种产品固定成本为2 000万 元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K是 单位产品数Q的函数，K(Q)=40Q- Q2，则总利润L(Q)的最大 值是_万元.,【解析】由已知得L(Q)=K(Q)-10Q-2 000 =(40Q- Q2)-10Q-2 000=- (Q-300)2+2 500， 所以当Q=300时，L(Q)max=2 500(万元). 答案：2 500,考点1 用函数图象刻画实际问题中两变量的变化过程 【典例1】(1)(2014三明模拟)如图，下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止.用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的有( ),A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,(2)(2013江西高考)如图,半径为1的半圆O与等边三角形ABC 夹在两平行线l1,l2之间,ll1,l与半圆相交于F,G两点,与三角 形ABC两边相交于E,D两点.设弧FG的长为x(0x), y=EB+BC +CD,若l从l1平行移动到l2,则函数y=f(x)的图象大致是( ),【解题视点】(1)根据实际问题中两变量的变化过程,结合容器中水面的高度h与时间t的关系作出选择. (2)注意到弧FG所对的圆心角为x,可构造y关于x的三角函数,借助于三角函数的图象可解决.,【规范解答】(1)选A.将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来,图应该是匀速的,故下面的图象不正确,中的变化率是越来越慢的,正确;中的变化规律是逐渐变慢再变快,正确;中的变化规律是逐渐变快再变慢,也正确,故只有是错误的.,(2)选D. ABC的高为圆的半径1，可求边长为 弧FG所对 的圆心角为x，所以O到FG的距离为 则 0x，结合余弦函数的图象知选项D正确.,【规律方法】判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象. (2)验证法:当根据题意不易建立函数模型时,则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案.,【变式训练】(2014武汉模拟)如图(1)是反映某条公共汽车线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差)y与乘客量x之间关系的图象.由于目前该条公交线路亏损,公司有关人员提出了两种调整的建议,如图(2)(3)所示.,给出以下说法: 图(2)的建议是:提高成本,并提高票价; 图(2)的建议是:降低成本,并保持票价不变; 图(3)的建议是:提高票价,并保持成本不变; 图(3)的建议是:提高票价,并降低成本. 其中所有正确说法的序号是( ) A. B. C. D.,【解析】选C.对于图(2),当x=0时,函数值比图(1)中的大,表示成本降低,两直线平行,表明票价不变,故正确;对于图(3),当x=0时,函数值不变表示成本不变,当x0时,函数值增大表明票价提高,故正确.,【加固训练】 1.(2013北京模拟)某地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%,经过x年,绿化面积与原绿化面积之比为y,则y=f(x)的图象大致为( ),【解析】选D.设某地区起始年的绿化面积为a, 因为该地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%, 所以经过x年,绿化面积g(x)=a(1+18%)x, 因为绿化面积与原绿化面积之比为y, 则y=f(x)= =(1+18%)x=1.18x, 因为y=1.18x为底数大于1的指数函数,故可排除C, 当x=0时,y=1,可排除A,B,故选D.,2.(2014石家庄模拟)在翼装飞行世界锦标赛中,某翼人空中高速飞行,如图反映了他从某时刻开始的15分钟内的速度v(x)与时间x的关系,若定义“速度差函数”u(x)为时间段0,x内的最大速度与最小速度的差,则u(x)的图象是( ),【解析】选D.由题意可得,当x0,6时,翼人做匀加速运动, v(x)=80+ x,“速度差函数”u(x)= x. 当x6,10时,翼人做匀减速运动,速度v(x)从160开始下降, 一直降到80,u(x)=160-80=80. 当x10,12时,翼人做匀减速运动,v(x)从80开始下降, v(x)=180-10x,u(x)=160-(180-10x)=10x-20. 当x12,15时,翼人做匀加速运动,“速度差函数” u(x)=160-60=100,结合所给的图象,故选D.,3.(2014昆明模拟)如图,有一直角墙角, 两边的长度足够长,在P处有一棵树与两墙 的距离分别是a米(0a12)、4米,不考虑 树的粗细.现在想用16米长的篱笆,借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD.设此矩形花圃的面积为S平方米,S的最大值为f(a),若将这棵树围在花圃内,则函数u=f(a)的图象大致是( ),【解析】选C.设BC=x，则CD=16-x， 由 得ax12. S=x(16-x)=-(x-8)2+64. 当0a8时，f(a)=64， 当8a12时，f(a)=-(a-8)2+64， 即 故选C.,考点2 应用所给函数模型解决实际问题 【典例2】(1)(2014沈阳模拟)一个容器装有细沙acm3,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,tmin后剩余的细沙量为y=ae-bt(cm3),经过8min后发现容器内还有一半的沙子,则再经过 min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.,(2)(2014宜昌模拟)某企业生产A,B两种产品,根据市场调查与预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图1;B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图2(注:利润和投资单位:万元).,分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数关系式. 已知该企业已筹集到18万元资金,并将全部投入A,B两种产品的生产. ()若平均投入生产两种产品,可获得多少利润? ()问:如果你是厂长,怎样分配这18万元投资,才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元?,【解题视点】(1)根据已知条件先确定所给函数模型中待定系数b,进而利用该模型求得所求. (2)结合图象,利用待定系数法求得函数关系式; 根据所求函数模型求解.,【规范解答】(1)依题意有ae-b8= a, 所以 若容器中的沙子只有开始时的八分之一， 则有 解得t=24, 所以再经过的时间为24-8=16(min). 答案：16,(2)设A,B两种产品分别投资x万元,x万元,x0，所获利润分别为f(x)万元、g(x)万元. 由题意可设f(x)=k1x,g(x)= 根据图象可解得f(x)=0.25x(x0). g(x)= (x0). ()由得f(9)=2.25,g(9)= =6. 所以总利润y=8.25 万元.,()设B产品投入x万元,A产品投入(18-x)万元,该企业可获总利润为y万元. 所以当t=4时,ymax= =8.5,此时x=16,18-x=2. 所以当A,B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润,约为8.5万元.,【规律方法】应用所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数. (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数. (3)利用该模型求解实际问题. 提醒：解决实际问题时要注意自变量的取值范围.,【变式训练】(2014三明模拟)已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元,且乙厂在2月份的利润是8万元.若甲、乙两个工厂的利润(万元)与月份x之间的函数关系式分别符合下列函数模型:f(x)=a1x2-4x+6,g(x)=a23x+b2(a1,a2,b2R). (1)求函数f(x)与g(x)的解析式. (2)求甲、乙两个工厂今年5月份的利润. (3)在同一直角坐标系下画出函数f(x)与g(x)的草图,并根据草图比较今年110月份甲、乙两个工厂的利润的大小情况.,【解析】(1)依题意：由f(1)=6,解得:a1=4, 所以f(x)=4x2-4x+6.,(2)由(1)知甲厂在今年5月份的利润为f(5)=86万元，乙厂在今年5月份的利润为g(5)=86万元，故有f(5)=g(5),即甲、乙两个工厂今年5月份的利润相等.,(3)作函数图象如下： 从图中可以看出今年110 月份甲、乙两个工厂的利润： 当x=1或x=5时，有f(x)=g(x); 当1g(x)； 当5x10时，有f(x)g(x).,【加固训练】 1.某工厂产生的废气经过过滤后排放,过滤过程中废气的污染物 数量Pmg/L与时间th间的关系为P=P0e-kt.若在前5个小时消除了 10%的污染物,则污染物减少50%所需要的时间约为 h.( ) A.26 B.33 C.36 D.42,【解析】选B.由题意，前5个小时消除了10%的污染物， 因为P=P0e-kt,所以(1-10%)P0=P0e-5k, 即污染物减少50%需要的时间约为33 h.,2.(2014郑州模拟)某化工厂打算投入一条新的生产线，但需 要经环保部门审批同意方可投入生产.已知该生产线连续生产 n年的累计产量为f(n)= n(n+1)(2n+1)吨，但如果年产量超过 150吨，会给环境造成危害.为保护环境，环保部门应给该厂这 条生产线拟定最长的生产期限是( ) A.5年 B.6年 C.7年 D.8年,【解析】选C.第n年的年产量 因为f(n)= n(n+1)(2n+1), 所以f(1)=3, 当n2时，f(n-1)= n(n-1)(2n-1), 所以f(n)-f(n-1)=3n2. n=1时，也满足上式,所以第n年的年产量为y=3n2, 令3n2150,所以n250, 因为nN,n1, 所以1n7,所以nmax=7.,3.(2014苏州模拟)为了保护环境，发展低碳经济，某单位在 国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处 理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处 理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为 且每处理1吨二氧化碳得到 可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给 予补偿.,(1)当x200,300时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？ (2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？,【解析】(1)当x200,300时，设该项目获利为S， 则S=200x-( x2-200x+80 000) =- x2+400x-80 000 =- (x-400)2, 所以当x200,300时，S0,因此该项目不会获利. 当x=300时，S取得最大值-5 000, 所以国家每月至少补贴5 000元才能使该项目不亏损.,(2)由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为 当x120,144)时， = x2-80x+5 040 = (x-120)2+240, 所以当x=120时， 取得最小值240.,即x=400时， 取得最小值200. 因为200240,所以当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低.,考点3 构建函数模型解决实际问题 【考情】对函数模型应用的考查，以根据已知条件构建函数模型解决实际问题为热点考向，常与二次函数、基本不等式及导数等知识交汇，以解答题为主要形式出现，考查用函数知识解决以社会实际生活为背景的成本最低、利润最高、产量最大、效益最好、用料最省等实际问题.,高频考点 通 关,【典例3】(1)(2013陕西高考)在如图 所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积 最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边 长x为_m.,(2)(2014青岛模拟)已知一家公司生产某种产品的年固定成 本为10万元，每生产1千件该产品需另投入2.7万元，设该公司 一年内生产该产品x千件并全部销售完，每千件的销售收入为 R(x)万元，且 写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式; 年产量为多少千件时，该公司在这一产品的产销过程中所 获利润最大？,【解题视点】(1)根据相似三角形的性质将内接矩形的另一边用x表示，进而构建目标函数求最值. (2)根据利润=收入-成本，其中成本包括固定成本和变化成本，列式得函数解析式，但要分段表示； 在得出式子的基础上选择适当的方法求最值.,【规范解答】(1)设矩形高为y,由三角形相似得: 且x0,y0,x40,y4040=x+y ,当且仅当x=y=20时，矩形的面积S=xy取最大值400. 答案：20,(2)当0x10时，W=xR(x)-(10+2.7x)= 当x10时，W=xR(x)-(10+2.7x)= 所以 (i)当0x10时，由W=8.1- =0，得x=9, 当x(0,9)时，W0;当x(9,10时，W0, 所以当x=9时，W取得最大值，即Wmax=8.19- 93-10=38.6.,(ii)当x10时， 当且仅当 即x= 时，W取得最大值38. 综合(i)(ii)知：当x=9时，W取得最大值为38.6万元， 故当年产量为9千件时，该公司在这一产品的产销过程中所 获利润最大.,【通关锦囊】,【特别提醒】(1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域. (2)对构建的较复杂的函数模型，要适时地用换元法转化为熟悉的函数问题求解.,【通关题组】 1.(2014武汉模拟)如图所示，已知边长 为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其 中AE=4米，CD=6米.为了合理利用这块钢 板，将在五边形ABCDE内截取一个矩形块 BNPM，使点P在边DE上. (1)设MP=x米，PN=y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域. (2)求矩形BNPM面积的最大值.,【解析】(1)作PQAF于Q，所以PQ=8-y，EQ=x-4， 在EDF中， 所以 定义域为x|4x8. (2)设矩形BNPM的面积为S， 则S(x)=xy=x(10- )=- (x-10)2+50, 所以S(x)是关于x的二次函数，且其开口向下，对称轴为x=10, 所以当x4,8时，S(x)单调递增， 所以当x=8时，矩形BNPM面积取得最大值48平方米.,2.(2014厦门模拟)国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，环保节能的产品供不应求.为适应市场需求，某企业投入98万元引进环保节能生产设备，并马上投入生产.第一年需各种费用12万元，从第二年开始，每年所需费用会比上一年增加4万元.而每年因引入该设备可获得年利润为50万元.请你根据以上数据，解决以下问题：,(1)引进该设备多少年后，该厂开始盈利？ (2)若干年后，因该设备老化，需处理老设备，引进新设备，该厂提出两种处理方案： 第一种：年平均利润达到最大值时，以26万元的价格卖出. 第二种：盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.问哪种方案较为合算？,【解析】(1)设引进该设备x年后开始盈利，盈利额为y万元. 则y=50x-98-12x+ 4=-2x2+40x-98,令y0,得 10- x10+ ，因为xN*,所以3x17. 即引进该设备三年后开始盈利.,(2)第一种：年平均盈利为 =12，当且仅当 即x=7时，年平均利润最大，共盈利 127+26=110(万元). 第二种：盈利总额y=-2(x-10)2+102,当x=10时，取得最大值 102,即经过10年盈利总额最大，共计盈利102+8=110(万元)， 两种方案获利相等，但由于方案二时间长，采用第一种方案 较合算.,3.(2014长沙模拟)某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产 能力和技术水平的限制会产生一些次品，根据经验知道，其次 品率p和日产量x(万件)之间大体满足关系：p= (其中c为小于6的正常数). (注：次品率=次品数/生产量，如p=0.1表示每生产10件产品， 有1件为次品，其余为合格品),已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量. (1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T(万元)表示为日产量x(万件)的函数. (2)当日产量为多少时，可获得最大利润?,【解析】(1)当xc时，p= ，所以 当1xc时，p= ， 所以 综上，日盈利额T(万元)与日产量x(万件)的函数关系为：,(2)由(1)知，当xc时，每天的盈利额为0， 当1xc时， 当且仅当x=3时取等号. 所以(i)当3c6时，Tmax=3，此时x=3.,(ii)当1c3时，由T= 知， 函数T= 在1，3）上递增， 所以 ，此时x=c. 综上，若3c6，则当日产量为3万件时，可获得最大利润. 若1c3，则当日产量为c万件时，可获得最大利润.,【加固训练】 1.(2012江苏高考)如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地 平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米某炮位于坐标 原点已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx- (1+k2)x2(k0) 表示的曲线上，其中k与发射方向有关炮的射程是指炮弹落 地点的横坐标,(1)求炮的最大射程. (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由,【解析】(1)令y=0，得kx- (1+k2)x2=0, 由实际意义和题设条件知x0,k0， 故 当且仅当k=1时取等号. 所以炮的最大射程为10千米.,(2)因为a0，所以,炮弹可击中目标存在k0,使 3.2=ka- (1+k2)a2成立. 即关于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根, 所以判别式=(-20a)2-4a2(a2+64)0，解得a6. 所以当a不超过6千米时,可击中目标.,2.(2011山东高考)某企业拟建造如图 所示的容器(不计厚度，长度单位：米)， 其中容器的中间为圆柱形，左右两端均 为半球形，按照设计要求容器的容积为 立方米，且l2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c3)千元.设该容器的建造费用为y千元.,(1)写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域. (2)求该容器的建造费用最小时的r.,【解析】(1)因为容器的体积为 立方米， 由于l2r 因此0r2. 所以圆柱的侧面积为 两端两个半球的表面积之和为4r2, 所以建造费用 定义域为(0,2.,(2)因为y= 0r2，由于c3,所以c-20, 所以令y0得: 令y0得: 2时，即当3c 时，函数y在(0，2)上是单调递 减的，故建造费最小时r=2. 当0 2时，即c 时，函数y在(0，2)上是先减后 增的，故建造费最小时r= .,【规范解答2】利用函数模型解决实际问题 【典例】(12分)(2013重庆高考)某村庄拟修建一个无盖