届高考数学第一轮总复习 3.8 应 用 举 例课件 文 新人教A版.ppt

第 八 节 应 用 举 例,【知识梳理】 1.三角形中常用的面积公式 (1)S= ah(h表示边a上的高). (2)S= bcsinA= = . (3)S= r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径).,2.实际应用中的常用术语,【考点自测】 1.(思考)给出下列命题： 面积公式中S= bcsin A= absin C= acsin B，其实质就 是面积公式S= ah= bh= ch(h为相应边上的高)的变形; 俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为0, ; 方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点 之间的位置关系;,方位角大小的范围是0,2)，方向角大小的范围一般是 0, ). 其中正确的是( ) A. B. C. D.,【解析】选B.正确.如S= absin C= ah(h=bsin C)，h即为 边a上的高. 错误.俯角是视线与水平线所构成的角. 正确.方位角与方向角均是确定观察点与目标点之间的位置 关系的. 正确.方位角是由正北方向顺时针转到目标方向线的水平角， 故大小的范围为0,2)，而方向角大小的范围由定义可 知为0, ).,2.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站 南偏西40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B 的( ) A北偏东10 B北偏西10 C南偏东80 D南偏西80 【解析】选D.由条件可知，AB40， 又BCD60，所以CBD30，所以 DBA10，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80.,3.如图所示，D，C，B三点在地面的同一直 线上，DCa，从C，D两点测得A点的仰角 分别为60，30，则A点离地面的高度AB 等于( ) 【解析】选B.因为DAC=ACBD=60-30=30， 所以AC=CD=a，在RtABC中，AB=ACsin 60= a.,4某工程中要将一长为100 m,倾斜角为75 的斜坡，改造成倾斜角为30的斜坡，并保 持坡高不变，则坡底需加长( ) 【解析】选A.设坡底需加长x m， 由正弦定理得 解得x=100 .,5.(2014宜昌模拟)甲船在A处观察乙船,乙船在它的北偏东 60的方向,两船相距a海里的B处,乙船正向北行驶,若甲船 是乙船速度的 倍,甲船为了尽快追上乙船,则应取北偏东 (填角度)的方向前进.,【解析】设两船在C处相遇，则由题意ABC 18060120，且 由正弦定理得 又0BAC60，所以BAC30. 答案：30,6.海上有A,B两个小岛相距10nmile,从A岛望C岛和B岛成60的 视角,从B岛望C岛和A岛成75的视角,那么B岛和C岛的距离是 nmile.,【解析】画出示意图如图, 由题意可知,CAB=60,CBA=75, 所以C=45, 由正弦定理得 所以BC=5 . 答案:5,考点1 测量距离问题 【典例1】(1)(2014汕头模拟)如图，为 测量河对岸A，B两点间的距离，在河岸选 取相距40米的C，D两点，测得BCA=60， ACD=30，CDB=45，BDA=60，则A，B间距离为 米.,(2)(2014泰安模拟)如图,A,B是海面上位于东西方向相距 5(3+ )海里的两个观测点,现位于A点北偏东45,B点北偏 西60的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60且 与B点相距20 海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度 为30海里/小时,该救援船到达D点需要多长时间?,【解题视点】(1)观察AB所在的三角形,根据已知条件求出有关的边角再求解. (2)已知速度,要求时间,只要求出路程,即CD的长即可;再观察CD所在的三角形,确定已知条件较集中的三角形求解.,【规范解答】(1)由已知得，BCD=30+60=90,又因为 BDC=45,CD=40米，所以BD=40 米，在ADC中， ADC=60+45=105, 所以CAD=180-105-30=45， 由正弦定理，得 在ADB中，由余弦定理，得AB2=AD2+DB22ADDBcosADB 所以AB= (米). 答案：,(2)由题意知AB5(3 )海里， 因为DAB=90-45=45，DBA=90-60=30， 所以ADB=180-(45+30)=105， 在ADB中，由正弦定理，得 所以 = = (海里)，,又因为DBC=DBA+ABC=30+(90-60)=60， 所以在DBC中，由余弦定理，得 CD2=BD2+BC2-2BDBCcosDBC 所以CD=30(海里)， 所以需要的时间t= =1(小时)， 即救援船到达D点需要1小时.,【互动探究】本例(2)中若不知救援船的速度，其他条件不 变，要求救援船必须在40分钟内到达，则救援船的最小速度 为多少？ 【解析】设救援船的速度为v海里/小时，由例题解析可求得 CD=30海里，由 得v45. 即救援船的最小速度为45海里/小时.,【易错警示】注意开方 本例第(1)题在利用余弦定理时，很容易忽略对最后的结果开方，从而导致结果错误，在应用余弦定理时一定要注意对最后的结果开方. 【规律方法】距离问题的类型及解法 (1)类型：测量距离问题分为三种类型：两点间不可达又不可视、两点间可视但不可达、两点都不可达. (2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正余弦定理求解.,解三角形应用题的两种情形 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解. (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解能求解的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解.,【变式训练】某人在M汽车站的北偏西20的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶.公路的走向是M站的北偏东40.开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米.此时汽车离汽车站的距离是_.,【解析】由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B处. 在ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理，得 则 所以sinMAC = sin(120-C) =sin 120cos C-cos 120sin C =,在MAC中，由正弦定理，得 从而有MB=MC-BC=15(千米), 所以汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站. 答案：15千米,【加固训练】 1.甲船在岛B的正南A处，AB10千米.甲船以每小时4千米的速度向北航行，同时，乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60的方向驶去.当甲船在A，B之间，且甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是( ),【解析】选A.如图，设航行x小时,甲船航行到C处，乙船航行 到D处，在BCD中，BC=10-4x，BD=6x,CBD120，两船相 距S千米,根据余弦定理可得， DC2=BD2+BC2-2BCBDcosCBD =(6x)2+(10-4x)2-26x(10-4x)cos 120， 即S2=28x2-20x+100 所以当 时，S2最小，从而S也最小，即航行 分钟时两船相距最近.故选A.,2.如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯 塔在海轮的北偏东15方向，与海轮相距 20海里的B处，海轮按北偏西60的方向航 行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75的方向，则海轮的速度为 海里/分钟.,【解析】由已知得ACB45，B60， 由正弦定理得 所以 所以海轮航行的速度为 (海里/分钟). 答案：,考点2 测量高度、角度问题 【典例2】(1)(2014湘潭模拟)要测量底部不 能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的 仰角是45，在D点测得塔顶A的仰角是30， 并测得水平面上的BCD120，CD40 m，则电视塔的高度为 m.,(2)在海岸A处,发现北偏东45方向,距A处( -1)n mile的B 处有一艘走私船,在A处北偏西75的方向,距离A处2n mile的 C处的缉私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船.此时,走 私船正以10n mile/h的速度从B处向北偏东30方向逃窜,问缉 私船沿着什么方向能最快追上走私船?,【解题视点】(1)点A与点B,C,D不在同一个平面内,且AB平面BCD,故本题的数学模型为三棱锥,根据已知条件和所求三角形的联系求解. (2)注意到最快追上走私船且两船所用时间相等,若在D处相遇,则可先在ABC中求出BC,再在BCD中求BCD.,【规范解答】(1)如图,设电视塔AB高为xm, 则在RtABC中,由ACB=45,得BC=x. 在RtADB中,ADB=30, 所以BD= x.,在BDC中,由余弦定理,得 BD2=BC2+CD2-2BCCDcos120, 即( x)2=x2+402-2x40cos120, 解得x=40,所以电视塔高为40 m. 答案:40,(2)设缉私船用t h在D处追上走私船， 如图， 则有CD10 t，BD10t， 在ABC中，因为AB 1，AC2，BAC120， 所以由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosBAC 所以BC ，,在ABC中，由正弦定理，得 所以 所以ABC45，所以BC与正北方向垂直. 因为CBD9030120， 在BCD中，由正弦定理，得 所以 所以BCD30. 即缉私船沿北偏东60方向能最快追上走私船.,【规律方法】 1.求解高度问题的三个关注点 (1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键. (2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错. (3)注意竖直线垂直于地面构成的直角三角形.,2.测量角度问题的基本思路 测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解. 提醒：方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角.,【变式训练】(2014大连模拟) 如图，测量 河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水 平面内的两个观测点C与D，测得BCD15， BDC135，CD30 m，并在点C处测得塔顶A的仰角为30，则塔高AB为( ),【解析】选D.在BCD中，CBD180-15-13530， 由正弦定理，得 所以 在RtABC中，ABBCtanACB30 tan 3010 (m).,【加固训练】 1.地面上有两座塔AB，CD，相距120米，一人分别在两塔底测得一塔顶的仰角是另一塔顶仰角的2倍，在两塔底连线的中点O处测得塔顶的仰角互为余角，则两塔的高度分别为( ) A.50米，100米 B.40米，90米 C.40米,50米 D.30米,40米,【解析】选B.设高塔高H，矮塔高h，在矮塔下望高塔仰角为, 在O点望高塔仰角为b. 分别在两塔底部测得一塔顶仰角是另一塔顶仰角的两倍，所以 在高塔下望矮塔仰角为 , 即 根据倍角公式有,在塔底连线的中点O测得两塔顶的仰角互为余角，所以在O点望 矮塔仰角为 即 根据诱导公式有 ， 联立得H=90，h=40. 即两座塔的高度为40米，90米,故选B.,2.在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦 察艇发现在北偏东45方向，相距12 n mile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时 10 n mile的速度沿南偏东75方向前进，若侦察艇以每小时14 n mile的速度沿北偏东45方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值.,【解析】如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的 小艇， 则AC14x，BC10x，ABC120. 根据余弦定理得(14x)2122(10x)2240xcos 120，,解得x2.故AC28，BC20. 根据正弦定理得 解得 所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角的正弦值为 .,考点3 三角形的面积公式的应用 【考情】与三角形的面积有关的问题是高考的热点.在高考中以解答题的形式出现,考查面积的计算、最值,根据面积求边、角等问题.,高频考点 通 关,【典例3】(1)(2013新课标全国卷)ABC的内角A,B,C的对 边分别为a,b,c，已知b=2， 则ABC的面积为( ) (2)(2014宜昌模拟) 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别 是a，b，c，已知c=2， 若ABC的面积等于 ，则a= ，b= .,【解题视点】(1)先由正弦定理求出边c，再由面积公式求解. (2)根据余弦定理及面积构造含有a，b的方程组求解.,【规范解答】(1)选B.因为 所以 由正弦定理得 解得 所以三角形的面积为 因为 所以 选B.,(2)由余弦定理及已知条件，得a2b2ab4， 又因为ABC的面积等于 ， 即 absin C ，所以ab4. 由 解得 答案：2 2,【通关锦囊】,【关注题型】,【通关题组】 1.(2014长沙模拟)在ABC中，BC=1，B= ，ABC的面 积S= ，则sin C=( ),【解析】选D.由已知得S= BCABsin B= 1AB = ，所以AB=4. 由余弦定理得 则 所以,2.(2014厦门模拟)若ABC中，b=3，B= ，则该三角形面 积的最大值为 . 【解析】由b=3，B= 及余弦定理可得 9=b2=a2+c2-2accos =a2+c2-ac2ac-ac=ac， 所以ac9，当a=c=3时，取“=”， 所以 所以SABC的最大值为 当a=b=c=3时取得. 答案：,3.(2011安徽高考)已知ABC 的一个内角为120，并且三 边长构成公差为4的等差数列，则ABC的面积为 . 【解析】设三角形一边长为x，则另两边的长为x-4,x+4,那么 (x+4)2=x2+(x4)22x(x4)cos 120， 解得x=10,所以SABC= 106sin 120= . 答案：,【加固训练】 1. (2011福建高考)若ABC的面积为 ，BC=2，C=60， 则边AB的长度等于 .,【解析】在ABC中，由面积公式，得 S= BCCAsin C= 2ACsin 60 所以AC=2,再由余弦定理，得AB2BC2+AC22ACBCcos C= 22+22222 =4，所以AB=2. 答案：2,2.(2014南昌模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a， b，c，若b2+c2=a2+bc，且 =4，则ABC的面积等于 . 【解析】由余弦定理，得 又0A，所以A= . 又 所以bc=8. 所以 答案：,3.(2012江西高考)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a， b，c.已知3cos(B-C)-1=6cos Bcos C. (1)求cos A. (2)若a=3，ABC的面积为2 ，求b，c.,【解析】(1)3(cos Bcos C+sin Bsin C)-1=6cos Bcos C， 3cos Bcos C-3sin Bsin C=-1， 3cos(B+C)=-1，cos(-A)=- ,则cos A= . (2)由(1)得sin A= , 由面积可得bc=6， 则根据余弦定理cos A= 则b2+c2=13，两式联立可得b=2,c=3或b=3,c=2.,【规范解答6】三角形面积公式的应用 【典例】(12分)(2013新课标全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=