2019年高考数学三轮冲刺专题05导数的简单应用专项讲解与训练.docx

第5讲导数的简单应用导数的几何意义1导数的几何意义函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率kf(x0)，相应的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)2四个易误导数公式(1)(sin x)cos x；(2)(cos x)sin x；(3)(ax)axln a(a0，且a1)；(4)(logax)(a0，且a1，x0) (1)曲线yx2在点(1，2)处的切线方程为_(2)曲线yx2a在x处的切线与曲线yex相切，则a_【答案】(1)yx1(2)【解析】(1)因为y2x，所以在点(1，2)处的切线方程的斜率为y|x1211，所以切线方程为y2x1，即yx1.(2)由yx2a，得y2x.所以ky|x1，且当x时，ya，所以切线方程为y(a)x.即yxa.设切线与曲线yex相切于(x0，ex0)，由yex，得yex，所以ex01，x00，则切线与曲线yex的切点为(0，1)，所以1a，即a.(1)利用导数的几何意义求曲线的切线问题的基本思路设曲线在(x0，y0)处的切线为l，则根据 (2)过点P与曲线相切的切线问题设出切点坐标(x0，f(x0)，先求出在xx0处的切线方程，然后用所过点的坐标代入即求出x0，从而得出切线方程 (2)若a0，则f(x)e2x，所以f(x)0.若a0，则由(1)得，当xln a时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln a)a2ln a从而当且仅当a2ln a0，即a1时，f(x)0.若a0，右侧f(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极小值(2)设函数yf(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在a，b上必有最大值和最小值，且在极值点或端点处取得 (1)(2017高考全国卷)若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则f(x)的极小值为()A1B2e3C5e3 D1(2)(2018唐山二模)已知函数f(x)ln xnx(n0)的最大值为g(n)，则使g(n)n20成立的n的取值范围为()A(0，1) B(0，)C. D.【答案】(1)A(2)A【解析】(1)因为f(x)(x2ax1)ex1，所以f(x)(2xa)ex1(x2ax1)ex1x2(a2)xa1ex1.因为x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，所以2是x2(a2)xa10的根，所以a1，f(x)(x2x2)ex1(x2)(x1)ex1.令f(x)0，解得x1，令f(x)0，解得2x0，n0)，当x时，f(x)0，当x时，f(x)0，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，所以f(x)的最大值g(n)fln n1.设h(n)g(n)n2ln nn1.因为h(n)10，所以h(n)在(0，)上单调递减又h(1)0，所以当0nh(1)0，故使g(n)n20成立的n的取值范围为(0，1)，选A.利用导数研究函数极值、最值的方法(1)若求极值，则先求方程f(x)0的根，再检查f(x)在方程根的左右函数值的符号(2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f(x)0根的大小或存在情况来求解(3)求函数f(x)在闭区间a，b的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值 【对点训练】1已知函数f(x)(aR)曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为yx1，则f(x)的最大值为_【答案】：【解析】：f(x)(x0)因为曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为yx1，所以f(1)1，解得a0.所以f(x)，f(x)，当xe时，f(x)0，此时函数f(x)单调递减；当0x0，此时函数f(x)单调递增所以函数f(x)的最大值为f(e).2已知函数f(x)ln xa(1x)(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a2时，求a的取值范围【解析】：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)a.若a0，则f(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递增若a0，则当x时，f(x)0；当x时，f(x)0.所以f(x)在上单调递增，在上单调递减(2)由(1)知，当a0时，f(x)在(0，)上无最大值；当a0时，f(x)在x处取得最大值，最大值为flnaln aa1.因此f2a2等价于ln aa10. 令g(a)ln aa1，则g(a)在(0，)上单调递增，g(1)0.于是，当0a1时，g(a)0；当a1时，g(a)0.因此，a的取值范围是(0，1)课时作业 基础达标1函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是()【答案】D.【解析】原函数先减再增，再减再增，且x0位于增区间内，故选D.2若函数exf(x)(e2.718 28是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质下列函数中具有M性质的是()Af(x)2xBf(x)x2Cf(x)3x Df(x)cos x 【答案】A【解析】.对于选项A，f(x)2x，则exf(x)ex，因为1，所以exf(x)在R上单调递增，所以f(x)2x具有M性质对于选项B，f(x)x2，exf(x)exx2，exf(x)ex(x22x)，令ex(x22x)0，得x0或x2；令ex(x22x)0，得2x0，所以函数exf(x)在(，2)和(0，)上单调递增，在(2，0)上单调递减，所以f(x)x2不具有M性质对于选项C，f(x)3x，则exf(x)ex，因为0)，由g(t)00at0t(0，1)，于是g(t)ln t1(0t1)，所以g(t)0(0tg(1)1.所以当a0时，f(x)的最小值的取值集合为(1，)能力提升1(2019福州综合质量检测)已知函数f(x)aln xx2ax(aR)(1)若x3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间；(2)求g(x)f(x)2x在区间1，e上的最小值h(a)【解析】：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)2xa，因为x3是f(x)的极值点，所以f(3)0，解得a9，所以f(x)，所以当0x或x3时，f(x)0；当x3时，f(x)0.所以x3是f(x)的极小值点，所以f(x)的单调递增区间为(0，)，(3，)，单调递减区间为(，3)(2)g(x)2.当1，即a2时，g(x)在1，e上为增函数，h(a)g(1)a1；2(2018成都第二次诊断性检测)已知函数f(x)(a)ln xx，其中a0.(1)若f(x)在(0，)上存在极值点，求a的取值范围；(2)设a(1，e，当x1(0，1)，x2(1，)时，记f(x2)f(x1)的最大值为M(a)那么M(a)是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由【解析】：(1)f(x)(a)1，x(0，)当a1时，