浙江2020版高考数学第二章不等式2.5绝对值不等式讲义（含解析）.docx

2.5绝对值不等式最新考纲考情考向分析1.会解|xb|c，|xb|c，|xa|xb|c，|xa|xb|c型不等式2.了解不等式|a|b|ab|a|b|.绝对值不等式的解法，利用绝对值不等式求最值是考查的重点；高考中绝对值不等式和数列、函数的结合是常见题型，解答题居多，难度为中高档.1绝对值三角不等式(1)定理1：如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立2绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解集：不等式a0a0a0|x|a(，a)(a，)(，0)(0，)R(2)|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法：|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.概念方法微思考|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式有哪些解法？各体现了什么数学思想？提示(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；(2)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)|x2|的几何意义是数轴上坐标为x的点到点2的距离()(2)|x|a的解集是x|xa或xa()(3)|ab|a|b|成立的条件是ab0.()(4)若ab0，则|ab|ab|恒成立()题组二教材改编2P20T7不等式3|52x|9的解集为()A2,1)4,7) B(2,1(4,7C(2，14,7) D2,1)(4,7答案D解析由题意得即解得不等式的解集为2,1)(4,73P20T8不等式|x1|x5|2的解集是()A(，4) B(，1)C(1,4) D(1,5)答案A解析当x1时，原不等式可化为1x(5x)2，42，不等式恒成立，x1.当1x5时，原不等式可化为x1(5x)2，x4，1x4，当x5时，原不等式可化为x1(x5)2，42，此时无解综上，原不等式的解集为(，4)题组三易错自纠4(2018浙江源清中学月考)已知a，bR，则“|ab|3”是“|a|b|3”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B解析|ab|a|b|，由|a|b|3可得|ab|3，又当a4，b2时，|ab|3成立，而|a|b|3不成立，故“|ab|3”是“|a|b|3”的必要不充分条件5若存在实数x使|xa|x1|3成立，则实数a的取值范围是()A2,4B1,2C2,4D4，2答案C解析|xa|x1|(xa)(x1)|a1|，要使|xa|x1|3有解，则|a1|3，3a13，2a4.6若不等式|2x1|x2|a2a2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是_答案解析设y|2x1|x2|当x5；当2x时，yx35；当x时，y3x1，故函数y|2x1|x2|的最小值为.因为不等式|2x1|x2|a2a2对任意实数x恒成立，所以a2a2.解不等式a2a2，得1a，故实数a的取值范围为.题型一绝对值不等式的解法1(2018浙江嘉兴七校期中)不等式1|2x1|2的解集为()A.B.C.D(，01，)答案C解析不等式等价于12x12或22x11，解得1xa23a的解集为非空数集，则实数a的取值范围是()A1a2B.aCa2Da1或a2答案B解析(|x1|x3|)max2，a23a2，得a.3不等式|x1|x2|5的解集为_答案x|x3或x2解析方法一要去掉绝对值符号，需要对x与2和1进行大小比较，2和1可以把数轴分成三部分当x2时，不等式等价于(x1)(x2)5，解得x3；当2x1时，不等式等价于(x1)(x2)5，即35，无解；当x1时，不等式等价于x1x25，解得x2.综上，不等式的解集为x|x3或x2方法二|x1|x2|表示数轴上的点x到点1和点2的距离的和，如图所示，数轴上到点1和点2的距离的和为5的点有3和2，故满足不等式|x1|x2|5的x的取值范围为x3或x2，所以不等式的解集为x|x3或x24设不等式|x2|a(aN*)的解集为A，且A，A，则a_.答案1解析A，且A，a，且a，解得a，又aN*，a1.思维升华解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解题型二利用绝对值不等式求最值例1 (1)(2018浙江温州十校联考)对于任意实数a和b(b0)，不等式|ab|ab|b|(|x1|x2|)恒成立，则实数x的取值范围是_答案解析原不等式可化为|x1|x2|恒成立，令m.由|ab|ab|(ab)(ab)|2|b|，得m2，当且仅当(|a|b|)(|a|b|)0，即|a|b|时，取等号，所以有|x1|x2|2，解得x，即实数x的取值范围是.(2)(2018温州联考)记maxp，q设M(x，y)max|x2y1|，|y2x1|，其中x，yR，则M(x，y)的最小值是_答案解析由已知得M(x，y)|x2y1|，M(x，y)|y2x1|，则2M(x，y)|x2y1|y2x1|(x2y1)(y2x1)|x2xy2y2|，则M(x，y).当x，y时，M(x，y)，所以M(x，y)的最小值为.思维升华求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种(1)利用绝对值的几何意义(2)利用绝对值三角不等式，即|a|b|ab|a|b|.(3)利用零点分区间法跟踪训练1 (1)(2018浙江金华一中模拟)若关于x的不等式|xt22|xt22t1|0时，因为|xt22|xt22t1|xt22(xt22t1)|2t1，要使原不等式无解，则需3t2t1，解得0t1.综上所述，实数t的取值范围为(，1，故选C.(2)(2018浙江第二次联盟校联考)定义minx，y已知x是不为2或8的实数，若Smin，则S的最大值为_答案解析由题意可得，因为Smin，所以0S且0S，得|x2|且|x8|，所以|x2|x8|6.当且仅当(x2)(x8)0时等号成立，得S，所以S的最大值为.题型三绝对值不等式的综合应用例2(2018浙江省杭州重点中学期中)已知函数f(x)x|xa|1.(1)当a1时，解不等式f(x)x1；(2)当x(0,1时，f(x)x2恒成立，求实数a的取值范围解(1)当a1时，f(x)x|x1|1，由不等式f(x)x1，得x|x1|x.当x1时，不等式化为x(x1)x，即x22x0，解得1x2.当x1时，不等式化为x(1x)x，即x20，解得x1.综上，不等式的解集是x|x时，|tm|maxm4，即m4m14，即m，不符合题意，综上m的取值范围是m.思维升华(1)恒成立问题可转化为函数的最值问题(2)和绝对值有关的最值可以利用绝对值的性质进行改编或者化为分段函数解决(3)和绝对值不等式有关的范围或最值问题，可利用绝对值的几何意义或绝对值三角不等式进行放缩(4)利用特殊点的函数值可探求范围；若函数解析式中含有绝对值，也可化为分段函数跟踪训练2(2016浙江)已知a3，函数F(x)min2|x1|，x22ax4a2，其中minp，q(1)求使得等式F(x)x22ax4a2成立的x的取值范围；(2)求F(x)的最小值m(a)；求F(x)在区间0,6上的最大值M(a)解(1)由于a3，故当x1时，(x22ax4a2)2|x1|x22(a1)(2x)0，当x1时，(x22ax4a2)2|x1|(x2)(x2a)所以，使得等式F(x)x22ax4a2成立的x的取值范围是2,2a(2)设函数f(x)2|x1|，g(x)x22ax4a2，则f(x)minf(1)0，g(x)ming(a)a24a2，所以，由F(x)的定义知m(a)min，即m(a)当0x2时，F(x)f(x)max2F(2)当2x6时，F(x)g(x)maxmaxmax.当a4时，348a2；当3a2，所以M(a)1不等式|2x1|3的解集是()A(1,2) B(1,2)C(2，1) D(，2)(2，)答案B解析|2x1|332x131x2.2不等式|2x1|x2|0的解集是()Ax|1x1Bx|x1Dx|x1答案A解析方法一原不等式即为|2x1|x2|，4x24x1x24x4，3x23，1x1.方法二原不等式等价于不等式组或或不等式组无解，由得x1，由得1x.综上可得1x1，原不等式的解集为x|1x2(l0)对任意的实数x都成立，则正数l的取值范围为()A(0,2) B(2，)C(0,2 D2，)答案B解析因为|f(x)f(xl)2|f(x)f(xl)|max|2f(x)2|，|2f(xl)2|，所以|2f(x)2|2或|2f(xl)2|2，即f(x)2或f(xl)2的解集为R，解f(x)2得x，当x时，有f(xl)2，解得xl，因为l0，所以由数形结合知l，l2.所以正数l的取值范围为(2，)8(2018金华十校调研)若a，b，cR，且|a|1，|b|1，|c|1，则下列说法正确的是()A.B.C.D以上都不正确答案A解析由题意知，1abbcca3，对于选项A，显然不等式成立，对a，b，c分别取特殊值，取a1，b1，c0，排除选项B，取a1，b0，c1，排除选项C，故选A.9若关于x的不等式|x|xa|0)的最小值为，则实数a_.答案解析f(x)2x2a2x2a2x2a2x2a22a42a.当且仅当2x，即x1时，等号成立由42a，解得a.经验证，当x1，a时，即两处不等号取等条件相同11(2018嘉兴市基础测试)当1x3时，|3a2b|a2b|a|对任意的实数a，b都成立，则实数m的取值范围是_答案解析当a0时，不等式恒成立；当a0时，原问题可转化为当1x3时，x1对任意的实数a，b都成立，因为4，所以当1x3时，x3，即mx(3x)恒成立设f(x)x(3x)(x1,3)，易得f(x)max，所以只需mf(x)max，即m.综上，实数m的取值范围是.12(2018浙江十校联盟适应性考试)对任意的x，yR，|x1|x|y1|y1|的最小值为_；若正实数x，y，z满足x22y2z21，则txyyzxz的最大值是_答案3解析由绝对值不等式的性质得|x1|x|y1|y1|(1x)x|(1y)(1y)|3，1x22y2z2x2y2y2z2x2z22xy2yz2xz，当且仅当xyz时等号成立，1，即txyyzxz的最大值为.13(2018金丽衢十二校模拟)设实数a，b，则“|ab2|ba2|1”是“22”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析22a2ab2ba2ab2b1b2aa2b1，令b2ax，a2by，|x|y|xy|xy，|x|y|1xy1，而反之xy1|x|y|1，故是充分不必要条件，故选A.14(2018浙江六校协作体联考)已知函数f(x)x1，若|f(x)1|a0对任意的xR且x2恒成立，则实数a的取值范围为_；不等式|f(2x)|5|f(2x1)|的解集为_答案(，2)解析因为|f(x)1|a0对任意的xR且x2恒成立，所以|f(x)1|a对任意的xR且x2恒成立，令y|f(x)1|，因为y|f(x)1|x2|2，当且仅当|x2|，即x1或x3时等号成立，所以实数a的取值范围为(，2)不等式|f(2x)|5|f(2x1)|等价于|2x1|5|2x2|，等价于|2x1|2x2|5，等价于或或解得x或x1或10，若集合AxZ|2x2xa2|2x2xa2|2a0中的元素有且仅有2个，则实数a的取值范围为_答案1,2)解析因为|2x2xa2|2x2xa2|(2x2xa2)(2x2xa2)|2a，当且仅当a2x2x2a时等号成立，所以集合A中有且仅有两个元素等价于不等式a2x2x2a有且仅有两个整数解因为函数f(x)2x2x222的图象关于直线x对称，又f(2)8，f(1)1，f(0)2，