浙江省高考数学第三章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第6节幂函数、指数函数、对数函数习题（含解析）.docx

第6节幂函数、指数函数、对数函数考试要求1.了解幂函数的概念，掌握幂函数yx，yx2，yx3，y，yx的图象和性质；2.理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用；3.理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用.知 识 梳 理1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如yx的函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数.(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质2.指数函数及其性质(1)概念：函数yax(a0且a1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.(2)指数函数的图象与性质a10a0时，y1；当x0时，0y1当x1；当x0时，0y0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，).(2)对数函数的图象与性质a10a1时，y0；当0x1时，y1时，y0；当0x0在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数4.反函数指数函数yax(a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数，它们的图象关于直线yx对称.常用结论与易错提醒1.幂函数满足三个条件：(1)幂底是单自变量；(2)指数为常数；(3)系数为1.类似地指数函数、对数函数也分别满足三个条件.2.(1)幂函数图象的分布规律：作一直线xT1，与幂函数交点在上面的幂函数的指数大；(2)指数函数图象的分布规律：作一直线xT0，与指数函数交点在上面的指数函数的底数大；(3)对数函数图象的分布规律：作一直线yk0，与对数函数交点在右边的对数函数的底数大.基 础 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)幂函数yx0与常值函数y1图象相同.()(2)函数y2x是幂函数.()(3)y2x1是指数函数，yloga(x21)(a0，且a1)是对数函数.()(4)函数yln 与yln(x1)ln(x1)的定义域相同.()解析(1)错误，y1的图象去掉点(0，1)才是yx0的图象；(2)错误，因为x的系数不是1；(3)错误，y2x12x，2x前面的系数不为1，yloga(x21)(a0且a1)，真数为x21而不是单自变量x.(4)错误，yln 的定义域为(，1)(1，)，而yln(x1)ln(x1)的定义域为(1，)，故函数的定义域不同.答案(1)(2)(3)(4)2.函数yaxa1(a0，且a1)的图象可能是()解析函数yax是由函数yax的图象向下平移个单位长度得到，A项显然错误；当a1时，01，平移距离小于1，所以B项错误；当0a1，平移距离大于1，所以C项错误，故选D.答案D3.(一题多解)已知函数yloga(xc)(a，c为常数，其中a0，且a1)的图象如图，则下列结论成立的是()A.a1，c1B.a1，0c1C.0a1D.0a1，0c1解析法一由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0a0，即logac0，所以0c0，且a1时，函数f(x)ax32必过定点_，其值域为_.解析函数f(x)ax32的图象是将函数yax的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到的.故函数f(x)ax32必过定点(3，1)，其值域为(2，).答案(3，1)(2，)考点一幂函数【例1】 (1)幂函数yf(x)的图象过点(4，2)，则幂函数yf(x)的图象是()(2)已知幂函数f(x)(n22n2)xn23n(nZ)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，则n的值为()A.3 B.1 C.2 D.1或2解析(1)设f(x)x(R)，则42，因此f(x)x，根据图象的特征，C正确.(2)幂函数f(x)(n22n2) xn23n在(0，)上是减函数，n1，又n1时，f(x)x2的图象关于y轴对称，故n1.答案(1)C(2)B规律方法(1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.【训练1】 (1)已知幂函数f(x)kx的图象过点，则k等于()A. B.1 C. D.2(2)已知a2，b3，c25，则()A.bac B.abcC.bca D.ca(m2m1)，则实数m的取值范围是()A. B.C.(1，2) D.解析(1)由幂函数的定义知k1.又f，所以，解得，从而k.(2)因为a24，b3，c5，又yx在(0，)上是增函数，所以cab.(3)因为函数yx的定义域为0，)，且在定义域内为增函数，所以不等式等价于解得即m2.答案(1)C(2)A(3)D考点二指数函数【例2】 已知函数f(x).(1)若a1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值；(3)若f(x)的值域是(0，)，求a的值.解(1)当a1时，f(x)，令ux24x3(x2)27.在(，2)上单调递增，在(2，)上单调递减，而y在R上单调递减，所以f(x)在(，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，即函数f(x)的递增区间是(2，)，递减区间是(，2).(2)令h(x)ax24x3，y，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值1，因此必有解得a1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.(3)由f(x)的值域是(0，)知，ax24x3的值域为R，则必有a0.规律方法(1)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.(2)比较指数式的大小的方法是：能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小；当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论.【训练2】 (1)(2019杭州二中检测)已知0ab(1a)b B.(1a)b(1a)C.(1a)a(1b)b D.(1a)a(1b)b(2)设函数f(x)则使得f(x)3成立的x的取值范围是_.(3)若曲线|y|2x1与直线yb没有公共点，则b的取值范围是_.解析(1)因为0ab1，所以01b1a(1a)b(1b)b，故选D.(2)当x8时，f(x)x3，x27，即8x27；当x8时，f(x)2ex83恒成立，故x0，得x22x0，解得x2，所以函数的定义域为(，0)(2，)，结合图象可得函数的单调递减区间为(2，)，单调递增区间为(，0).(2)令g(x)ax2x，则函数g(x)的图象为开口向上、对称轴为x的抛物线，当0a0，即此不等式组无解.当a1时，要使函数f(x)在区间2，4上是增函数，则g(x)ax2x在2，4上单调递增，且g(x)min0，即解得a，又a1，所以a1，综上可得a1.实数a的取值范围为(1，).规律方法(1)确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行.(2)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.(3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.【训练3】 (1)(2018天津卷)已知alog2e，bln 2，clog，则a，b，c的大小关系为()A.abc B.bacC.cba D.cab(2)(一题多解)当0x时，4x1，bln 2(0，1)，cloglog23log2ea1，所以cab，故选D.法二loglog23，如图，在同一坐标系中作出函数ylog2x，yln x的图象，由图知cab，故选D.(2)法一由题意得，当0a1时，要使得4xlogax，即当0x时，函数y4x的图象在函数ylogax图象的下方.又当x时，42，即函数y4x的图象过点.把点代入ylogax，得a.若函数y4x的图象在函数ylogax图象的下方，则需a1时，不符合题意，舍去.所以实数a的取值范围是.法二当0x时，14x2，要使4xlogax，必须2logax，即对0x恒成立，解得a1.(3)由题意知函数f(x)的图象关于直线x10对称，且x1x4x2x3210，ln x1ln x2，ln(20x3)ln(20x4)，所以x1x2x3x440，x1，20x3，化简得x1x21，x3x420(x3x4)3990，故选C.答案(1)D(2)B(3)C基础巩固题组一、选择题1.已知1，1，2，3，则使函数yx的值域为R，且为奇函数的所有的值为()A.1，3 B.1，1C.1，3 D.1，1，3解析因为函数yx为奇函数，故的可能值为1，1，3.又yx1的值域为y|y0，函数yx，yx3的值域都为R.所以符合要求的的值为1，3.答案A2.(2019绍兴质检)若loga2logb20，则()A.0ab1 B.0bab1 D.ba1解析由loga20，logb20得0a1，0b1，此时由loga2b，所以0babc B.bacC.cba D.cab解析log log3151log35，因为函数ylog3x在(0，)上为增函数，所以log35log3 log331，因为函数y在(，)上为减函数，所以ab.故选D.答案D4.若函数f(x)a|2x4|(a0，且a1)，满足f(1)，则f(x)的单调递减区间是()A.(，2 B.2，)C.2，) D.(，2解析由f(1)，得a2，解得a或a(舍去)，即f(x).由于y|2x4|在(，2上递减，在2，)上递增，所以f(x)在(，2上递增，在2，)上递减.答案B5.若函数f(x)logax(0a1)在a，2a上的最大值是最小值的3倍，则a的值为()A. B. C. D.解析因为0a1，所以f(x)在a，2a上是减函数.所以f(x)maxf(a)logaa1，f(x)minf(2a)loga(2a)1loga2，由题意知13(1loga2)，即loga2，所以a.答案C6.(2019宁波十校适应性考试)若a2a2(a0，且a1)，则函数f(x)loga(x1)的图象大致是()解析因为a2a2(a0且a1)，所以0a1，则函数f(x)loga(x1)的图象可以看作是由函数yloga x的图象向右平移一个单位长度得到的，观察各选项，只有C选项符合，故选C.答案C7.已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)xf(x).若ag(log25.1)，bg(20.8)，cg(3)，则a，b，c的大小关系为()A.abc B.cbaC.bac D.bc0时，f(x)0，从而g(x)xf(x)是R上的偶函数，且在0，)上是增函数，ag(log25.1)g(log25.1)，20.82，又45.18，则2log25.13，所以020.8log25.13，g(20.8)g(log25.1)g(3)，所以bab0B.若ln aln ba3b，则0ab0D.若ln aln b3ba，则0a0，b0，所以ln aaln b3bln bb，设f(x)ln xx，则易得函数f(x)ln xx在(0，)上单调递增，所以ab0，C正确，故选C.答案C二、填空题10.(2018全国卷)已知函数f(x)log2(x2a).若f(3)1，则a_.解析由f(3)1得log2(32a)1，所以9a2，解得a7.答案711.方程2x2x的解的个数是_.解析方程的解可看作函数y2x和y2x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图).由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解.答案112.已知maxa，b表示a，b两数中的最大值.若f(x)maxe|x|，e|x2|，则f(x)的最小值为_.解析f(x)当x1时，f(x)exe(x1时，取等号)，当xe，因此x1时，f(x)有最小值f(1)e.答案e13.设f(x)lg是奇函数，则使f(x)0的x的取值范围是_.解析由f(x)是奇函数可得a1，f(x)lg，定义域为(1，1).由f(x)0，可得01，1x0.答案(1，0)14.已知函数f(x)则f(f(2)_，不等式f(x3)1，即x4时，5，当x31，即x4时，x3，解得x，综上所述不等式f(x3)ln |y|，则下列关系式中恒成立的是()A.2yC.sin xsin y D.解析由题意知x|y|0.所以y0，xyy，所以2x2y，故B正确；C中，当x，y时，不等式不成立；D中，当x2，y时，不等式不成立，故选B.答案B17.(2019嵊州适考)已知函数f(x)|ln x|x，若f(x1)f(x2)，其中x1x2，则()A.x1x22C.2解析根据题意不妨设0x11x2，则由f(x1)f(x2)，得ln x1x1ln x2x2，即ln x2ln x1ln(x1x2)x1x20，所以0x1x22，所以2，故选D.答案D18.已知函数f(x)loga(8ax)(a0，且a1)，