2019年高考数学总复习专题函数的单调性与最值导学案理.docx

第二节函数的单调性与最值最新考纲1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.知识梳理1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数yf(x)的单调区间.2.函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M(3)对于任意xI，都有f(x)M；(4)存在x0I，使得f(x0)M结论M为最大值M为最小值3.利用定义判断函数单调性的步骤任取；作差；化简；判断；结论4.函数单调性的常用结论(1)对任意x1，x2D(x1x2)，0f(x)在D上是增加的，0)的递增区间为(，和，)，递减区间为，0)和(0， 典型例题考点一确定函数的单调性(区间)【例1】（1）(2016北京卷)下列函数中，在区间(1,1)上为减函数的是()Ay BycosxCyln(x1) Dy2x【答案】D【解析】函数y，yln(x1)在(1,1)上都是增函数，函数ycosx在(1,0)上是增函数，在(0,1)上是减函数，而函数y2x()x在(1,1)上是减函数，故选D.（2）已知函数f(x)x22ax3在区间1,2上具有单调性，则实数a的取值范围为_【答案】(，12，) 【解析】函数f(x)x22ax3的图象开口向上，对称轴为直线xa，画出草图如图所示由图象可知函数在(，a和a，)上都具有单调性，因此要使函数f(x)在区间1,2上具有单调性，只需a1或a2，从而a(，12，)（3）已知偶函数f(x)在0，)上单调递减，f(2)0.若f(x1)0，则x的取值范围是_【答案】(1,3)【解析】由题意，得函数f(x)的草图如图所示因为f(x1)0，所以|x1|2，所以2x12，所以1x0，则x2.函数ylog (x23x2)的定义域为(，1)(2，)又ux23x2的对称轴x，且开口向上 ux23x2在(，1)上是单调减函数，在(2，)上是单调增函数而ylogu在(0，)上是单调减函数，ylog (x23x2)的单调递减区间为(2，)，单调递增区间为(，1).设ux2x，则yu.u在上为减函数，在上为增函数，又yu为减函数，yx2x在上为增函数，在上为减函数y6x.定义域为(0，)，由y0，得x1，增区间为(1，)由y0，得0x0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1，1)上递减；当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1，1)上递增.【解析】法一设1x1x21，f(x)aa，f(x1)f(x2)aa，由于1x1x20，x110，x210时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1，1)上递减；当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)0时，f(x)0，函数f(x)在(1，1)上递减；当a0，函数f(x)在(1，1)上递增.规律方法判断函数单调性的方法(1)定义法：取值，作差，变形，定号，下结论(2)利用复合函数关系：若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数，若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”(3)图象法：从左往右看，图象逐渐上升，单调递增；图象逐渐下降，单调递减(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性【变式训练1】(1)下列四个函数中，在(0，)上为增函数的是()Af(x)3x Bf(x)x23xCf(x) Df(x)|x|【答案】C【解析】(1)当x0时，f(x)3x为减函数；当x时，f(x)x23x为减函数；当x时，f(x)x23x为增函数；当x(0，)时，f(x)为增函数；当x(0，)时，f(x)|x|为减函数(2)函数f(x)log(x24)的单调递增区间为()A.(0，) B.(，0)C.(2，) D.(，2)【答案】D（3）若函数f(x)x22ax与g(x)(a1)1x在区间1,2上都是减函数，则a的取值范围是()A(1,0)B(1,0)(0,1C(0,1)D(0,1【答案】D【解析】f(x)x22ax的对称轴为xa，要使f(x)在1,2上为减函数，必须有a1，又g(x)(a1)1x在1,2上是减函数，所以a11，即a0，故0a1.(4)已知函数f(x)若f(x)在(，)上单调递增，则实数a的取值范围为_【答案】(2,3【解析】要使函数f(x)在R上单调递增，则有即解得20)在(0，)上的单调性，并给出证明.【答案】f(x)在(0，上是减函数，在，)上是增函数.【证明】法一设x1，x2是任意两个正数，且0x1x2，则f(x1)f(x2)(x1x2a).当0x1x2时，0x1x2a，又x1x20，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在(0，上是减函数.当x1a，又x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)0)在(0，上是减函数，在，)上为增函数.法二f(x)1，令f(x)0，则10，解得x或x(舍).令f(x)0，则10，解得x0，0xf()，则a的取值范围是_.【答案】【解析】f(x)在R上是偶函数，且在区间(，0)上单调递增，f(x)在(0，)上是减函数，则f(2|a1|)f()f()，因此2|a1|2，又y2x是增函数，|a1|，解得a0，易知f(x)在2，)是减函数，f(x)maxf(2)12.4. (2017郑州模拟)函数y的递增区间为()A(1，) B.C. D.【答案】B【解析】易知函数yt为减函数，t2x23x1的递减区间为.函数y的递增区间是.5.函数y(x3)|x|的递增区间是_【答案】【解析】y(x3)|x|作出该函数的图像，观察图像知递增区间为.6若定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x2对称，且f(x)在(，2)上是增函数，则()Af(1)f(3)Cf(1)f(3) Df(0)f(3)【答案】A【解析】依题意得f(3)f(1)，且112，于是由函数f(x)在(，2)上是增函数，得f(1)f(1)f(3)选A.72015天津卷已知定义在R上的函数f(x)2|xm|1(m为实数)为偶函数，记af(log0.53)，bf(log25)，cf(2m)，则a，b，c的大小关系为()AabcBacbCcabDcba【答案】C【解析】由f(x)2|x m|1是偶函数可知m0，所以f(x)2|x|1.所以af(log0.53)2|log0.53|12|log23|12，bf(log25)2|log25|12|log25|14，cf(0)2|0|10，所以ca0，则x的取值范围是_【答案】 (1,3)【解析】由题可知，当2x0.f(x1)的图象是由f(x)的图象向右平移1个单位长度得到的，若f(x1)0，则1x0时，2x0，得x1，f(x)0，得12，解得a1.12. 判断并证明函数f(x)ax2(其中1a3)在1,2上的单调性【解析】函数f(x)ax2(1a3)在1,2上是增加的【证明】法一：设1x1x22，则f(x2)f(x1)axax(x2x1)，由1x1x22，得x2x10,2x1x