浙江省2020版高考数学第二章不等式第1节不等关系与不等式、一元二次不等式及其解法习题（含解析）.docx

第1节不等关系与不等式、一元二次不等式及其解法考试要求1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型；3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.知 识 梳 理1.两个实数比较大小的方法(1)作差法(2)作商法2.不等式的性质(1)对称性：abba；(2)传递性：ab，bcac；(3)可加性：abacbc；ab，cdacbd；(4)可乘性：ab，c0acbc；ab0，cd0acbd；(5)可乘方：ab0anbn(nN，n1)；(6)可开方：ab0(nN，n2).3.三个“二次”间的关系判别式b24ac000二次函数yax2bxc (a0)的图象一元二次方程ax2bxc0 (a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1x2没有实数根ax2bxc0(a0)的解集Rax2bxc0(a0)的解集x|x1xx2常用结论与易错提醒1.对于不等式ax2bxc0，求解时不要忘记讨论a0时的情形.2.当0(a0)的解集为R还是，要注意区别.基 础 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)abac2bc2.()(2)若不等式ax2bxc0的解集为(x1，x2)，则必有a0.()(3)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R.()(4)不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0且b24ac0.()解析(1)由不等式的性质，ac2bc2ab；反之，c0时，abac2bc2.(3)若方程ax2bxc0(a0的解集为.(4)当ab0，c0时，不等式ax2bxc0也在R上恒成立.答案(1)(2)(3)(4)2.若ab0，cd0，则一定有()A. B.C. D.解析因为cd0，所以0，两边同乘1，得0，又ab0，故由不等式的性质可知0.两边同乘1，得.故选B.答案B3.当x0时，若不等式x2ax10恒成立，则a的最小值为()A.2 B.3C.1 D.解析当a240，即2a2时，不等式x2ax10对任意x0恒成立，当a240，则需解得a2，所以使不等式x2ax10对任意x0恒成立的实数a的最小值是2.答案A4.(2017上海卷)不等式1的解集为_.解析110x0的解集为，则a_，b_.解析由题意知，方程ax2bx20的两根为x1，x2，则解得答案1226.(必修5P80A3改编)若关于x的一元二次方程x2(m1)xm0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_.解析由题意知(m1)24m0.即m26m10，解得m32或m32.答案(，32)(32，)考点一比较大小及不等式的性质的应用【例1】 (1)已知实数a，b，c满足bc64a3a2，cb44aa2，则a，b，c的大小关系是()A.cba B.acbC.cba D.acb(2)(2019衢州二中二模)已知非负实数a，b，c满足abc1，则(ca)(cb)的取值范围为_.解析(1)cb44aa2(2a)20，cb.又bc64a3a2，2b22a2，ba21，baa2a10，ba，cba.(2)因为a，b，c为非负实数，且abc1，则ab1c，0c1，故|(ca)(cb)|ca|cb|c21，即1(ca)(cb)1；又(ca)(cb)c2(1c)cab2.综上，有(ca)(cb)1.答案(1)A(2)规律方法(1)比较大小常用的方法：作差法；作商法；函数的单调性法.(2)判断多个不等式是否成立，常用方法：一是直接使用不等式性质，逐个验证；二是用特殊法排除.【训练1】 (1)已知pa，q，其中a2，xR，则p，q的大小关系是()A.pq B.pq C.p2，故pa(a2)2224，当且仅当a3时取等号.因为x222，所以q4，当且仅当x0时取等号，所以pq.(2)令a2，b，则a4，log2(ab)log2(1，2)，则log2(ab)a.答案(1)A(2)B考点二一元二次不等式的解法多维探究角度1不含参的不等式【例21】 求不等式2x2x30的解集.解化2x2x30，解方程2x2x30得x11，x2，不等式2x2x30的解集为(，1)，即原不等式的解集为(，1).角度2含参不等式【例22】 解关于x的不等式ax222xax(aR).解原不等式可化为ax2(a2)x20.当a0时，原不等式化为x10，解得x1.当a0时，原不等式化为(x1)0，解得x或x1.当a0时，原不等式化为(x1)0.当1，即a2时，解得1x；当1，即a2时，解得x1满足题意；当1，即2a0，解得x1.综上所述，当a0时，不等式的解集为x|x1；当a0时，不等式的解集为；当2a0时，不等式的解集为；当a2时，不等式的解集为1；当a2时，不等式的解集为.规律方法含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论：(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便正确写出解集.【训练2】 已知不等式x22x30的解集为A，不等式x2x60，集合Bx|2x2，则AB等于()A.(1，3) B.(，1)C.(1，1) D.(3，1)解析依题意，可求得A(1，3)，B(，1)，AB(1，1).答案C4.若集合Ax|ax2ax10，则实数a的取值范围是()A.a|0a4 B.a|0a4C.a|0a4 D.a|0a4解析由题意知a0时，满足条件.a0时，由得0a4，所以0a4.答案D5.已知函数f(x)x2axb2b1(aR，bR)，对任意实数x都有f(1x)f(1x)成立，若当x1，1时，f(x)0恒成立，则b的取值范围是()A.(1，0) B.(2，)C.(，1)(2，) D.不能确定解析由f(1x)f(1x)知f(x)的图象关于直线x1对称，即1，解得a2.又因为f(x)开口向下，所以当x1，1时，f(x)为增函数，所以f(x)minf(1)12b2b1b2b2，f(x)0恒成立，即b2b20恒成立，解得b1或b2.答案C6.若实数a，b，c满足对任意实数x，y有3x4y5axbyc3x4y5，则()A.abc的最小值为2B.abc的最小值为4C.abc的最大值为4D.abc的最大值为6解析由题意可得5(a3)x(b4)yc5恒成立，所以a3，b4，5c5，则2abc12，即abc的最小值是2，最大值是12，A正确，C错误；6abc4，则abc的最小值是6，最大值是4，B错误，D错误，故选A.答案A二、填空题7.已知函数f(x)则不等式f(x)3的解集为_.解析由题意知或解得x1.故原不等式的解集为x|x1.答案x|x18.若关于x的不等式axb的解集为，则关于x的不等式ax2bxa0的解集为_.解析由已知axb的解集为，可知a0，且，将不等式ax2bxa0两边同除以a，得x2x0，即x2x0，解得1x，故不等式ax2bxa0的解集为.答案9.不等式a28b2b(ab)对于任意的a，bR恒成立，则实数的取值范围为_.解析因为a28b2b(ab)对于任意的a，bR恒成立，所以a28b2b(ab)0对于任意的a，bR恒成立，即a2ba(8)b20恒成立，由二次不等式的性质可得，2b24(8)b2b2(2432)0，所以(8)(4)0，解得84.答案8，410.(2019杭州高级中学测试)若关于x的不等式(x2a)(2xb)0在(a，b)上恒成立，则2ab的最小值为_.解析要使2ab取得最小值，尽量考虑a，b取负值的情况.因此当a0，与b0矛盾；当a0b时，不等式(x2a)(2xb)0等价于2xb0，即b2x在(a，b)上恒成立，则b2a，即2ab0，此时2ab的最小值为0；当0a0.综上可知2ab的最小值为0.答案0三、解答题11.已知f(x)3x2a(6a)x6.(1)解关于a的不等式f(1)0；(2)若不等式f(x)b的解集为(1，3)，求实数a，b的值.解(1)由题意知f(1)3a(6a)6a26a30，即a26a30，解得32a32.所以不等式的解集为a|32a32.(2)f(x)b的解集为(1，3)，方程3x2a(6a)x6b0的两根为1，3，解得即a的值为3，b的值为3.12.已知1xy4且2xy3，求z2x3y的取值范围.解设z2x3ym(xy)n(xy)，即2x3y(mn)x(mn)y，所以所以由1xy4知2(xy)，由2xy3知5(xy)，得3(xy)(xy)8，即3zb成立的充分而不必要的条件是()A.ab1 B.ab1C.a2b2 D.a3b3解析A项：若ab1，则必有ab，反之，当a2，b1时，满足ab，但不能推出ab1，故ab1是ab成立的充分而不必要条件；B项：当ab1时，满足ab1，反之，由ab1不能推出ab；C项：当a2，b1时，满足a2b2，但ab不成立；D项：ab是a3b3的充要条件，综上所述答案选A.答案A14.(一题多解)已知函数f(x)ax2bxc(a0)，若不等式f(x)0(e是自然对数的底数)的解集是()A.x|xln 3B.x|ln 2xln 3C.x|xln 3D.x|ln 2xln 3解析法一依题意可得f(x)a(x3)(a0)，则f(ex)a(ex3)(a0，可得ex3，解得ln 2x0的解集为，令ex3，得ln 2x0在R上有解；由于a280恒成立，所以方程x2ax20恒有一正一负两根，于是不等式x2ax20在区间1，5上有解的充要条件是f(5)0，即a.答案R16.若关于x的不等式ax23x4b的解集恰好是a，b，则a_，b_.解析令f(x)x23x4(x2)21，其图象对称轴为x2.若a2，则a，b是方程f(x)x的两个实根，解得a，b4，矛盾；若b2，则f(a)b，f(b)a，两式相减得ab，代入可得ab，矛盾；若a22x的解集为(1，3).(1)若方程f(x)6a0有两个相等的根，求f(x)的解析式；(2)若f(x)的最大值为正数，求实数a的取值范围.解(1)f(x)2x0的解集为(1，