高中数学第一章基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）学案.docx

12.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)1.理解函数的和、差、积、商的求导法则2.能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数3能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导1导数的运算法则设两个函数分别为f(x)和g(x)两个函数的和的导数f(x)g(x)f(x)g(x)两个函数的差的导数f(x)g(x)f(x)g(x)两个函数的积的导数f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)两个函数的商的导数(g(x)0)2.复合函数复合函数的概念一般地，对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数yf(u)和ug(x)的复合函数，记作yf(g(x)复合函数的求导法则复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积1.对导数运算法则的理解(1)导数的加(减)法法则推广：即u(x)v(x)w(x)u(x)v(x)w(x) (2)函数积的求导法则特例：当g(x)c时，cf(x)cf(x)(c为常数)；af(x)bg(x)af(x)bg(x)(a，b为常数)(3)函数商的导数：，当f(x)1时，.(4)复合函数的求导：只研究yf(axb)型的复合函数的求导2复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)ex.()(2)函数f(x)sin(x)的导数为f(x)cos x()(3)ycos 3x由函数ycos u，u3x复合而成()答案：(1)(2)(3) 已知函数f(x)cos xln x，则f(1)的值为()A1sin 1 B1sin 1Csin 11 Dsin 1解析：选A.因为f(x)cos xln x，所以f(x)sin x，所以f(1)1sin 1. 函数ysin xcos x的导数是()Aycos2xsin2xBycos2xsin2xCy2cos xsin xDycos xsin x解析：选B.因为ysin xcos x，所以y(sin xcos x)(sin x)cos xsin x(cos x)cos2xsin2x. 若f(x)，则f(x)_解析：f(x).答案：探究点1利用导数运算法则求导数求下列函数的导数(1)y3x2xcos x；(2)ylg x；(3)y(x23)(exln x)；(4)ysin4cos4.【解】(1)y6xcos xx(cos x)6xcos xxsin x.(2)y(lg x)(x2).(3)y(x23)(exln x)(x23)(exln x)2x(exln x)(x23)ex(x22x3)2xln xx.(4)因为y2sin2cos21sin21cos x，所以ysin x.利用导数运算法则求导数的求解策略(1)分析求导式符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则基本公式(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等(3)利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导 1.设f(5)5，f(5)3，g(5)4，g(5)1，当h(x)满足下列条件时，求h(5)，h(5)的值(1)h(x)3f(x)2g(x)；(2)h(x)f(x)g(x)1；(3)h(x).解：(1)h(5)3f(5)2g(5)352423.因为h(x)3f(x)2g(x)，所以h(5)3f(5)2g(5)332111.(2)h(5)f(5)g(5)154121.因为h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)，所以h(5)f(5)g(5)f(5)g(5)345117.(3)h(5).因为h(x)，所以h(5).2求下列函数的导数：(1)yexcos x；(2)yx2tan x；(3)y2x3cos x.解：(1)因为yexcos x，所以y(ex)cos xex(cos x)excos xexsin x.(2)因为yx2，所以y(x2)2x2x.(3)y2(x3)()(cos x)6x2sin x.探究点2求复合函数的导数求下列函数的导数：(1)y；(2)ycos x2；(3)ysin；(4)y.【解】(1)令u13x，则yu4，所以yu4u5，ux3.所以yxyuux12u5.(2)令ux2，则ycos u，所以yxyuuxsin u2x2xsin x2.(3)令u2x，则ysin u，所以yxyuuxcos u22cos.(4)令u1x2，则yu，所以yxyuuxu2xxu .对复合函数求导的步骤 求下列函数的导数(1)y(x24)2；(2)ylog2(2x23x1)；(3)yesin(axb)解：(1)y2(x24)(x24)2(x24)2x4x316x.(2)ylog2(2x23x1)(2x23x1).(3)yesin(axb)esin(axb)sin(axb)esin(axb)cos(axb)(axb)acos(axb)esin(axb)探究点3与切线有关的综合问题已知函数f(x)ax2bx3(a0)，其导函数f(x)2x8.(1)求a，b的值；(2)设函数g(x)exsin xf(x)，求曲线g(x)在x0处的切线方程【解】(1)因为f(x)ax2bx3(a0)，所以f(x)2axb，又知f(x)2x8，所以a1，b8.(2)由(1)可知g(x)exsin xx28x3，所以g(x)exsin xexcos x2x8，所以g(0)e0sin 0e0cos 02087，又知g(0)3，所以g(x)在x0处的切线方程为y37(x0)即7xy30.解决有关切线问题的关注点(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点 曲线y在点(1，1)处的切线方程为()Ayx2 By3x2Cy2x3 Dy2x1解析：选D.由题知，点(1，1)在该曲线上，又y，所以曲线在点(1，1)处的切线的斜率k2，故所求切线的方程为y12(x1)，即y2x1.1已知f(x)x2ex，则f(x)()A2xexBex2xCx(x2)ex Dxex解析：选C.f(x)(ex)x2ex(x2)exx2ex2xx(x2)ex.2已知f(x)，则f(x)()A. B.1C1ln x D.解析：选D.f(x)，所以选D.3f(x)e2x2x，则_解析：f(x)(e2x)(2x)2e2x22(e2x1)所以2(ex1)答案：2(ex1)4已知曲线f(x)x33x，过点A(0，16)作曲线f(x)的切线，求曲线的切线方程解：设切点为(x0，y0)，则由导数定义得切线的斜率kf(x0)3x3，所以切线方程为y(3x3)x16，又切点(x0，y0)在切线上，所以y03(x1)x016，即x3x03(x1)x016，解得x02，所以切线方程为9xy160. 知识结构深化拓展1.应用运算法则时的注意点解决函数求导的问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则，对较为复杂的求导运算，在求导之前应先将函数化简，然后求导，以减少运算量2复合函数求导法则的三个关注点(1)分析复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成，适当选定中间变量(2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量(3)根据基本函数的求导公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数. A基础达标1函数y(x1)2(x1)在x1处的导数等于()A1 B2C3 D4解析：选D.y(x1)2(x1)(x1)2(x1)2(x1)(x1)(x1)23x22x1，所以y|x14.2函数ycos(x)的导数是()Acos x Bcos xCsin x Dsin x解析：选C.法一：cos(x)sin(x)(x)sin(x)sin x.法二：ycos(x)cos x，所以cos(x)(cos x)sin x.3(2018郑州高二检测)若f(x)x22x4ln x，则f(x)0的解集为()A(0，) B(1，0)(2，)C(2，) D(1，0)解析：选C.因为f(x)2x2，又x0，所以f(x)0即x20，解得x2.4对于函数f(x)ln x，若f(1)1，则k等于()A. B.C D解析：选A.因为f(x)，所以f(1)e12k1，解得k，故选A.5已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2exf(1)3ln x，则f(1)()A3 B2eC. D.解析：选D.因为f(1)为常数，所以f(x)2exf(1)，所以f(1)2ef(1)3，所以f(1).6若f(x)log3(2x1)，则f(2)_解析：因为f(x)log3(2x1) (2x1)，所以f(2).答案：7已知函数f(x)ax4bx2c，若f(1)2，则f(1)_.解析：法一：由f(x)ax4bx2c，得f(x)4ax32bx.因为f(1)2，所以4a2b2，即2ab1.则f(1)4a2b2(2ab)2.法二：因为f(x)是偶函数，所以f(x)是奇函数，所以f(1)f(1)2.答案：28已知f(x)，若f(x0)f(x0)0，则x0的值为_解析：因为f(x)(x0)所以由f(x0)f(x0)0，得0.解得x0.答案：9求下列函数的导数：(1)ycos(1x2)；(2)ysin2；(3)yln(2x2x)；(4)yx.解：(1)设u1x2，ycos u，所以yxyuux(cos u)(1x2)sin u2x2xsin(1x2)(2)设yu2，usin v，v2x，则yxyuuvvx2ucos v24sin vcos v2sin 2v2sin.(3)设u2x2x，则yxyuux(ln u)(2x2x)(4x1).(4)yxx().先求t的导数设u2x1，则tu，txtuuxu(2x1)2 .所以y .10已知抛物线yax2bxc通过点P(1，1)，且在点Q(2，1)处与直线yx3相切，求实数a、b、c的值解：因为曲线yax2bxc过点P(1，1)，所以abc1.因为y2axb，所以4ab1.又因为曲线过点Q(2，1)，所以4a2bc1.联立，解得a3，b11，c9.B能力提升11等比数列an中，a12，a84，函数f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)，则f(0)()A26 B29C212 D215解析：选C.因为f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)(xa1)(xa2)(xa8)x(xa1)(xa2)(xa8)(xa1)(xa2)(xa8)x，所以f(0)(0a1)(0a2)(0a8)0a1a2a8.因为数列an为等比数列，所以a1a8a2a7a3a6a4a58，所以f(0)84212.12给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f(x)存在，且导函数f(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f (x)(f(x).若f(x)0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数以下四个函数在上不是凸函数的是()Af(x)sin xcos x Bf(x)ln x2xCf(x)x32x1 Df(x)xex解析：选D.若f(x)sin xcos x，则f(x)sin xcos x，在x上，恒有f(x)0；若f(x)ln x2x，则f(x)，在x上，恒有f(x)0；若f(x)x32x1，则f(x)6x，在x上，恒有f(x)0，不是凸函数13已知曲线ye2xcos 3x在点(0，1)处的切线与直线l的距离为，求直线l的方程解：因为y(e2x)cos 3xe2x(cos 3x)2e2xcos 3x3e2xsin 3x，所以y|x02，所以经过点(0，1)的切线方程为y12(x0)，即y2x1.设符合题意的直线方程为y2xb，根据题意，得，解得b6