弹塑性力学——物理方程.ppt

物 理 方 程,应力只取决于应变状态，与达到该状态的过程无关 x= x(x，y，z，xy，yz，zx) y= y (x，y，z，xy，yz，zx) . zx= zx (x，y，z，xy，yz，zx),一般表示,对于线性弹性材料，应力与应变是线性关系 x =c11x+ c12y+ c13z+ c14xy+ c15yz+ c16zx y =c21x+ c22y+ c23z+ c24xy+ c25yz+ c26zx z =c31x+ c32y+ c33z+ c34xy+ c35yz+ c36zx xy =c41x+ c42y+ c43z+ c44xy+ c45yz+ c46zx yz =c51x+ c52y+ c53z+ c54xy+ c55yz+ c56zx zx =c61x+ c62y+ c63z+ c64xy+ c65yz+ c66zx 系数cmn共36个 取决于材料弹性性质，与坐标系选取有关,张量形式表示 ij =Cijklkl 其中Cijkl称为四阶弹性张量，共81个分量。 同样也取决于坐标系， 服从四阶张量的坐标变换定律 弹性张量的对称性 （1）根据应力张量和应变张量的对称性 Cijkl= Cjikl （2）根据应力张量和应变张量的对称性 Cijkl= Cijlk 独立的分量也是36个。,（3）应变能存在，则弹性张量关于ij和kl也应对称 Cijkl= Cklij 独立的弹性常数共有21个 两种表示方式之间的关系 弹性系数c的下标 1、 2、 3、 4、 5、6 对应于张量C的指标11、22、33、12、23、31 例如： c11C1111 c12C1122 c13C1133 c14C1112 弹性系数cmn也应具有对称性 cmncnm,材料对称性,弹性对称面 该面对称的两个方向具有相同的弹性关系,以最后一个方程为例 zx 反号，而x，y，z和xy不变， c61c62c63c640 x =c11x+ c12y+ c13z+ c14xy y =c12x+ c22y+ c23z+ c24xy z =c13x+ c23y+ c33z+ c34xy xy =c14x+ c24y+ c34z+ c44xy yz = c55yz+ c56zx zx = c56yz+ c66zx,正交各向异性材料 具有三个相互正交的弹性对称面。独立弹性常数减少到9个 x =c11x+ c12y+ c13z y =c12x+ c22y+ c23z z =c13x+ c23y+ c33z xy = c44xy yz = c55yz zx = c66zx 各种增强纤维复合材料和木材等属于这类材料,横观各向同性材料 存在一个弹性对称轴，在垂直该轴的平面内材料各向同性 将x，y轴互换时，材料弹性关系不变 c11=c22， c13=c23， c55=c66 将坐标系绕z轴旋转450，剪切应力应变关系不变， c44=(c11 c12) x =c11x+ c12y+ c13z y =c12x+ c11y+ c13z z =c13x+ c13y+ c33z xy =(c11 c12) xy yz = c55 yz zx = c55 zx 独立的弹性常数减少到5个。例如：层状结构的岩体。,各向同性弹性体,广义Hooke定律 将x轴与z轴互换，或将y轴与z轴互换时，材料弹性关系不变， c11=c33， c12=c13， c55=c66=(c11 c12) 于是，独立的弹性常数减少到2个 x =c11x+ c12y+ c12z y =c12x+ c11y+ c12z z =c12x+ c12y+ c11z xy =(c11 c12) xy yz =(c11 c12) yz zx =(c11 c12) zx,令 c12=， c11 c12=2G 、G称为Lame弹性常数 x=2Gx + xy =Gxy y=2Gy + yz = Gyz z=2Gz + zx = Gzx =x + y + z 是体积应变,广义Hooke定律的张量形式 ij=kkij +2Gij ij =Cijklkl Cijkl=ijkl+G(ikjl+iljk) 式中ij是二阶单位张量 某个面上的剪切应力为零时，剪应变也为零 应力的主方向与应变的主方向重合,体积应力与体积应变关系 将等式对应相加，可得平均应力与体积应变的关系： 30=(2G+3) 式中0=(x+ y+z)/3是平均应力。 0=K 式中 K = (3+2G)/3 是体积变形模量。,偏应力与偏应变关系 x=2Gx + sx+0=2G(ex + )+ 将体应力与体应变关系代入： sx=2Gex 同理可得： sy=2Gey sz=2Gez 张量形式表示为 sij = 2Geij 在线弹性范围内，偏应力只产生偏应变，即只产生形状改变， 体积应力只产生体应变，即只产生体积改变。,弹性常数之间的关系,单轴拉伸 使用物理关系，有： x = 2Gx+(x+y+z) 0 = 2Gy+(x+y+z) y = z,纯剪实验 使用物理方程，xy = 2Gxy， G是剪切模量。 G、K、E和共5个弹性常数，但只有2个独立,由应力表示应变,正应力只产生正应变；剪应力只产生剪应变。 每个应变等于各个应力单独作用时产生的应变之和。,弹性应变能,一维情况 一细长杆，长度L，横截面积S，两端受拉力P作用，伸长量为L， 外力功为 由于应力x=P/S，x=L/L，上式可写成,单位体积的应变能W为 求应变能相对应变的偏导,三维情况 考察微小六面体，作用的应力分量ij，由此产生的应变分量ij 各应力分量ij都只在指标与它相同的应变分量ij上做功，,根据能量平衡，单位体积的应变能应是 所以 dW=ijdij 对于弹性体，应变能只取决于状态，而与达到该状态的路径无关 是应变状态的单值函数W=W(ij)，应变能增量dW必须是全微分 =ijdij 上式对于任意的应变增量dij都应成立，,可导出如下对称性 Cijkl= Cklij 将物理方程ij =Cijklkl代入dW=ijdij，考虑对称性，则 W= Cijklijkl = ijij,应变能分解 应变能可分解为体积改变能和形状改变能。 W = ijij = (sij +0ij)(eij + kkij)= 0kk+ sije