2018_2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质学案.docx

232双曲线的简单几何性质1了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴、虚轴等)2理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程3掌握标准方程中a，b，c及离心率e间的关系4了解直线与双曲线相交的相关问题1双曲线的几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)性质图形焦点F1(c，0)，F2(c，0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2c范围xa或 xa，yRya或 ya，xR对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(a，0)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b离心率e(1，)渐近线yxyx(1)已知双曲线方程为1(a0，b0)，可知双曲线的渐近线方程：令1为0可得0yx，这样便于记忆(2)双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交(3)与双曲线1(a0，b0)有共同渐近线的双曲线的方程可表示为(0)2等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是yx，离心率为e 判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)共渐近线的双曲线的离心率相同()(2)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率e()(3)椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同()(4)双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点()答案：(1)(2)(3)(4) 双曲线1的渐近线方程为()A3x4y0 B4x3y0C9x16y0 D16x9y0答案：A 中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是()A1B1或1C1D1或1答案：B 双曲线1的焦点坐标为_，离心率为_答案：(7，0)探究点1双曲线的几何性质求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程【解】将9y24x236化为标准方程1，即1，所以a3，b2，c因此顶点为A1(3，0)，A2(3，0)，焦点为F1(，0)，F2(，0)，实轴长2a6，虚轴长2b4，离心率e，渐近线方程为yxx(1)由双曲线的标准方程求几何性质的四个步骤(2)求双曲线的离心率，归纳起来有两种方法：由条件寻找a，b，c所满足的关系，用公式e求解依据条件列出含有a，c的齐次方程，利用e转化为含e或e2的方程，解方程即可，注意依据e1对所得解进行取舍 双曲线2x2y28的实轴长是()A2B2C4 D4解析：选C双曲线方程可变形为1，所以a24，a2，从而2a4，故选C探究点2由双曲线的几何性质求标准方程根据以下条件，求双曲线的标准方程(1)过点P(3，)，离心率为；(2)与椭圆1有公共焦点，且离心率e；(3)与双曲线1有共同渐近线，且过点(3，2)【解】(1)由e，知ca，因此ab即所求双曲线为等轴双曲线，设其方程为x2y2(0)，又P(3，)在双曲线上，所以9()2，即4因此双曲线的标准方程为1(2)由椭圆标准方程知c2945，所以双曲线的焦点为F1(，0)，F2(，0)，设双曲线的标准方程为1(a0，b0)由e，且c知a2，所以b2c2a21所以双曲线的标准方程为y21(3)设所求双曲线方程为(0)将点(3，2)代入得，所以双曲线方程为，即1(1)求双曲线的标准方程的方法解决此类问题的常用方法是先定型(焦点在哪个轴上)，再定量(确定a2，b2的值)要特别注意a2b2c2的应用，并注意不要与椭圆中的关系相混淆如果已知双曲线的方程为标准式，但不知焦点所处的位置，也可把双曲线方程设为mx2ny21(m，n同号)，然后由条件求m，n(2)共渐近线的双曲线标准方程的求法与双曲线1具有共同渐近线的双曲线的标准方程可设为(0)，然后再结合其他条件求出的值即可得到双曲线方程 求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；(2)过点(2，0)，与双曲线1离心率相等；(3)以直线2x3y0为渐近线，过点(1，2)解：(1)设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，由题意知2b8，e，从而b4，ca，代入c2a2b2，得a29，故双曲线的标准方程为1(2)当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为(0)，将点(2，0)的坐标代入方程得，故所求双曲线的标准方程为y21；当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为(0)，将点(2，0)的坐标代入方程得0)由题意，得解得因此所求双曲线的标准方程为1探究点3直线与双曲线的位置关系已知直线ykx与双曲线4x2y216当k为何值时，直线与双曲线：(1)有两个公共点；(2)有一个公共点；(3)没有公共点【解】由消去y，得(4k2)x2160(*)当4k20，即k2时，方程(*)无解当4k20时，4(4k2)(16)64(4k2)，当0，即2k2时，方程(*)有两解；当0，即k2时，方程(*)无解；当0，且4k20时，不存在这样的k值综上所述，(1)当2k0，所以直线AB的方程为yx1(2)由消去y得x22x30，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22，x1x23，所以|AB|4，O到AB的距离为d所以SAOB|AB|d421设M为双曲线C：1(a0，b0)右支上一点，A，F分别为双曲线的左顶点和右焦点，且MAF为等边三角形，则双曲线的离心率为()A1 B2C4 D6解析：选C设双曲线的左焦点为F，因为MAF为等边三角形，所以|MF|AF|ac，从而|MF|3ac，在MFF中，由余弦定理可得(3ac)2(ac)24c222c(ac)cos 60，解得e4或e1(舍去)故选C2已知双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0，2)，则双曲线的标准方程为()A1 B1C1 D1解析：选B由题意，得解得a2，b2易知双曲线的焦点在y轴上，所以双曲线的标准方程为13已知双曲线1的离心率e(1，2)，则m的取值范围是()A(12，0) B(，0)C(3，0) D(60，12)解析：选A因为双曲线1的实半轴长a2，虚半轴长为，c为半焦距，所以离心率e，又因为e(1，2)，所以12，解得12m0，b0)因为e2，所以a2所以b2c2a212所以双曲线C的标准方程为1(2)由(1)，知双曲线的渐近线方程为0，即yx 知识结构深化拓展1离心率对双曲线开口大小的影响以双曲线1(a0，b0)为例e，故的值越大，渐近线yx的斜率越大，双曲线的开口越大，e也越大，所以e反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大2双曲线的几何性质主要包括“六点”实轴端点、虚轴端点、焦点；“四线”对称轴、渐近线；“两比率”离心率、渐近线的斜率双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、离心率只与双曲线的形状和大小有关，而与双曲线的位置无关学生用书P115(单独成册)A基础达标1若双曲线1(a0)的离心率为2，则a等于()A2 BC D1解析：选Dc2a23，e24，所以a21，又因为a0，所以a12已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率e，且其右焦点F2的坐标为(5，0)，则双曲线C的方程为()A1 B1C1 D1解析：选B依题意得e，又c5，故a4，所以b3，所以双曲线C的方程为1，故选B3已知ab0，椭圆C1的方程为1，双曲线C2的方程为1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为()Axy0 Bxy0Cx2y0 D2xy0解析：选A依题意得 ，化简得a22b2因此C2的渐近线方程为yxx，即xy0，故选A4若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则它的离心率为()A BC2 D3解析：选B不妨设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则22b2a2c，即b又b2c2a2，则c2a2，所以3c22ac5a20，即3e22e50，注意到e1，得e故选B5如图，双曲线C：1的左焦点为F1，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则|P2F1|P1F1|的值是()A3 B4C6 D8解析：选C设F2为右焦点，连接P2F2(图略)，由双曲线的对称性，知|P1F1|P2F2|，所以|P2F1|P1F1|P2F1|P2F2|2366中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点为直线3x4y120与坐标轴的交点的等轴双曲线方程是_解析：由双曲线的实轴在x轴上知其焦点在x轴上，直线3x4y120与x轴的交点坐标为(4，0)，故双曲线的一个焦点为(4，0)，即c4设等轴双曲线方程为x2y2a2，则c22a216，解得a28，所以双曲线方程为x2y28答案：x2y287(2018宿州高二检测)设F1和F2为双曲线1(a0，b0)的两个焦点，若F1，F2，P(0，2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为_解析：由题设条件可得，所以，所以，所以4，所以e2答案：28过双曲线的右焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1为左焦点，且PF1Q，则双曲线的离心率是_解析：设双曲线方程为1(a0，b0)，焦距为2c，则|PQ|，由题意易知PF1F2是等腰直角三角形，所以2c，所以2acc2a2，所以210，即e22e10，所以e1又因为e1，所以e1答案：19求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)两顶点间的距离是6，两焦点所连线段被两顶点和中心四等分；(2)渐近线方程为2x3y0，且两顶点间的距离是6解：(1)由两顶点间的距离是6，得2a6，即a3由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c4a12，即c6，于是有b2c2a2623227由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为1或1(2)设双曲线方程为4x29y2(0)，即1(0)，由题意得a3当0时，9，36，双曲线方程为1；当0时，9，81，双曲线方程为1故所求双曲线的标准方程为1或110过双曲线C：1(a0，b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P若点P的横坐标为2a，求双曲线C的离心率解：如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为，又直线l过右焦点F(c，0)，则直线l的方程为y(xc)因为点P的横坐标为2a，代入双曲线方程得1，化简得yb或yb(点P在x轴下方，故舍去)，故点P的坐标为(2a，b)，代入直线方程得b(2ac)，化简可得离心率e2B能力提升11已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则C的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx解析：选C由题意知，即，所以，所以所以C的渐近线方程为yx12已知双曲线x2y21和斜率为的直线l交于A，B两点，当l变化时，线段AB的中点M的坐标(x，y)满足的方程是_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则两式相减，得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)因为xx0，M的坐标为(x，y)，所以，又直线l的斜率为，所以，即y2x答案：y2x13已知双曲线E：1(1)若m4，求双曲线E的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；(2)若双曲线E的离心率为e，求实数m的取值范围解：(1)m4时，双曲线方程化为1，所以a2，b，c3，所以焦点坐标为(3，0)，(3，0)，顶点坐标为(2，0)，(2，0)，渐近线方程为yx(2)因为e21，e，所以12，解得5m10，所以实数m的取值范围是(5，10)14(选做题)已知双曲线C1：x21(1)求与双曲线C1有相同的焦点，