江苏省2019届高三数学备考冲刺140分问题08由复杂递推关系式求解数列的通项公式问题（含解析）.docx

问题8由复杂递推关系式求解数列的通项公式问题一、考情分析递推公式是给出数列的一种重要方法,常出现在客观题压轴题或解答题中，难度中等或中等以上.利用递推关系式求数列的通项时,通常将所给递推关系式进行适当的变形整理,如累加、累乘、待定系数等,构造或转化为等差数列或等比数列,然后求通项. 二、经验分享(1) 已知Sn，求an的步骤当n1时，a1S1；当n2时，anSnSn1；(3)对n1时的情况进行检验，若适合n2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式(2)已知数列的前几项，写出数列的通项公式，主要从以下几个方面来考虑：如果符号正负相间，则符号可用(1)n或 (1)n1来调节.分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系来解决.对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决.此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差、等比或其他特殊数列)等方法来解决.(3)已知数列的递推关系求通项公式的典型方法当出现anan1m时，构造等差数列；当出现anxan1y时，构造等比数列；当出现anan1f(n)时，用累加法求解；当出现f(n)时，用累乘法求解三、知识拓展若数列满足，则数列都是公差为a的等差数列，若数列满足，则数列都是公比为b的等比数列.四、题型分析(一) 用累加法求数列的通项【例1.】在数列中, , ,则该数列的通项公式= 【分析】题目已知条件是,且）形式,用叠加原理求解.【解析】因为,所以运用累加法即可得到：,所以,故应填【点评】当,且）满足一定条件时,可用来求通项,这种方法通常叫累加法. 本题用到裂项相消求和,相消时应注意消去的项规律,及消去哪些项,保留哪些项,于是前项的和变成首尾若干少数项之和.还有不少同学会出现的错误,认为或是常数,实际上或是个变量,变化随之改变.【小试牛刀】数列an满足a11,a22,an22an1an2.(1)设bnan1an,证明bn是等差数列；(2)求an的通项公式【解析】(1)证明：由an22an1an2得,an2an1an1an2,即bn1bn2.又b1a2a11.所以bn是首项为1,公差为2的等差数列(2)由(1)得bn12(n1),即an1an2n1.于是 (ak1ak) (2k1),所以an1a1n2,即an1n2a1.又a11,所以an的通项公式为ann22n2.【点评】本例是典型的由数列的递推公式求通项公式的问题第(1)问中要注意对数列an1an的整体把握第(2)问中用的是累加法注意切忌忽略对a1的验证 (二) 利用累乘法求数列的通项【例2】设是首项为1的正项数列,且,则 .【分析】观察已知的递推式,用十字交叉法分解因式,可求得与的关系式,再用累乘法求解.【解析】,由于得各项为正,即,将以上各式相乘得,又,.【点评】形如型的递推公式常用累乘法.当为常数且不等于0时,数列为等比数列,；当为函数时, . 本题可思考为常数数列.【小试牛刀】数列中，前项和为， (1)求数列的通项公式；(2)令，证明：.【解析】(1) ，两式相减得：，整理得：，（叠乘法）因为，所以， ， ，相乘得，且当=1、2时，满足此式，所以. (2) ，因为 ，所以；.(三) 用构造法求数列的通项【例3】【江苏省泰州中学2018届高三12月月考2】已知数列满足： ，（ ），则数列的通项公式为_【分析】变形为,构造新数列求解.【答案】【解析】由得： ，变形得：，所以是以2为公比的等比数列，所以，所以.【点评】数列是一种特殊的函数,通过递推公式写出数列的前几项再猜想数列的通项时,要验证通项的正确性. 易出现的错误是只考虑了前3项,就猜想出.用构造法求数列的通项,要仔细观察递推等式,选准要构造的新数列的形式,再确定系数.【小试牛刀】已知数列满足, ,则 【答案】【解析】且, ,又,是首项为,公差为的等差数列, ,故应填(四) 利用与的关系求数列的通项【例4】【江苏省南通市基地学校2019届高三3月联考】已知数列的各项均不为0，其前n项和为若，（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）若数列满足，求证：数列是等差数列【分析】（1）将代入，可求得；（2）由可求得，进而，两式作差可得，进而推得，可得数列及数列均为等差数列，进而求得通项；（3）由与关系可得：，即，两式作差可得：，进而推得，即，则证明结束.【解析】（1）时，由得解得（2）时，由，得则因为，所以所以-得所以，两式相减得即数列及数列都成公差为的等差数列由，得，可求得所以数列的通项公式为（3）由，得所以因为，所以所以两式相减得，即所以两式相减得所以因为，可得所以所以数列是等差数列【点评】由Sn和an的关系求通项的注意问题：(1)应重视分类讨论的思想,分n1和n2两种情况讨论当n1时,a1不适合an的情况要分开写,即an(2)要注意an和Sn互化具有双向性,既可由an化为Sn,也可由Sn求an.【小试牛刀】已知数列为单调递增数列，为其前项和，.（1）求的通项公式；（2）若，为数列的前项和，证明：.【解析】（）当n1时，2S12a1a1，所以(a11)20，即a11，又an为单调递增数列，所以an1 由2Snan得2Sn1an1，所以2Sn12Snaa1，整理得2an1aa1，所以a(an11)2所以anan11，即an1an1，所以an是以1为首项，1为公差的等差数列，所以ann （）bn 所以Tn()() (五) 递推公式为（其中,均为常数）.解法一（待定系数迭加法）:【例5.】数列：, ,求数列的通项公式.【分析一】解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为其中s,t满足.【分析二】(特征根法)：对于由递推公式,给出的数列,方程,叫做数列的特征方程. 若是特征方程的两个根,当时,数列的通项为,其中A,B由决定（即把和,代入,得到关于A、B的方程组）；当时,数列的通项为,其中A,B由决定（即把和,代入,得到关于A、B的方程组）.【解法一】（待定系数迭加法）:由,得,且.则数列是以为首项,为公比的等比数列,于是.把代入,得, , ,.把以上各式相加,得.【解法二】（特征根法）：数列：,的特征方程是：.,.又由,于是 故.【小试牛刀】【江苏省常州市2019届高三上学期期末】已知数列中，且. （1）求证：是等比数列，并求数列的通项公式；（2）数列中是否存在不同的三项按照一定顺序重新排列后，构成等差数列？若存在，求满足条件的项；若不存在，说明理由.【解析】（1）因为，所以，因为，所以数列是以2为首项，以-3为公比的等比数列，所以，即；（2）假设存在三项按一定顺序重新排列后成等差.若，则，整理得，两边同除以，可得，等式右边是-3的整数倍，左边不是-3的整数倍，故等式不成立.若，则，整理得，两边同除以，可得，等式右边是-3的整数倍，左边不是-3的整数倍，故等式不成立.若，则，整理得，两边同除以，可得，等式左边是-3的整数倍，右边不是-3的整数倍，故等式不成立；综上，不存在不同的三项符合题意.五、迁移运用1【江苏省泰州中学2018届高三12月月考】已知数列满足： ，（ ），则数列的通项公式为_【答案】【解析】由得： ，变形得：，所以是以2为公比的等比数列，所以，所以.2【江苏省前黄高级中学、如东高级中学、姜堰中学等五校2018届高三上学期第一次学情监测】设数列的首项，且满足与，则数列的前20项和为_【答案】2056【解析】考查数列的奇数项，结合递推关系有：，且，则数列构成首项为公比为的等比数列，令：，则：，即：，而，据此可得：数列的前20项和为.3【江苏省淮安市盱眙中学2018届高三第一次学情调研】设函数满足且，则_【答案】【解析】满足，各式相加可得， ，故答案为.4【2019年3月2019届高三第一次全国大联考（江苏卷)】已知数列对任意满足（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求使得成立的正整数的最小值【解析】（1）因为，所以，两式相减，得，所以又当时，得，不满足上式所以数列的通项公式为（2）由（1）知，所以不成立，当时， ，由，得令，则为增函数，又因此要使成立，只需，故使成立的正整数的最小值为75【江苏省南京市、盐城市2019届高三第二次模拟】已知数列各项为正数，且对任意，都有.（1）若，成等差数列，求的值；（2）求证：数列为等比数列；若对任意，都有，求数列的公比的取值范围.【解析】（1）因为，所以，因此，成等比数列.设公比为，因为，成等差数列，所以，即，于是，解得或，所以或.（2）因为，所以，两式相除得，即，由，得，两式相除得，即，所以，即，由（1）知，所以，因此数列为等比数列.当时，由时，可得，所以，因此，所以满足条件.当时，由，得，整理得.因为，所以，因此，即，由于，因此，与任意恒成立相矛盾，所以不满足条件.综上，公比的取值范围为.6【江苏省如皋市2018-2019学年高三年级第一学期期末】已知等差数列的前n项和为Sn，若为等差数列，且（1）求数列的通项公式；（2）是否存在正整数， 使成等比数列？若存在，请求出这个等比数列；若不存在，请说明理由；（3）若数列满足，且对任意的，都有，求正整数k的最小值【解析】（1）设等差数列的公差d，则，又是等差数列，所以，即，解得d2此时，符合数列是等差数列，所以 （2）假设存在，使得，成等比数列则，由（1）可知，代入上式，得，整理得（*）法一： 令，x1则，所以在上单调增，所以在上至少有一个根又，故是方程（*）的唯一解所以存在，使得，成等比数列，且该等比数列为3，9，27 法二：，即，所以方程（*）可整理为因为，所以无解，故 所以存在，使得，成等比数列，且该等比数列为3，9，27 （3）由可知，又，故，所以依题意，对任意恒成立，所以，即，故 若，据，可得当，时，由及可得所以，当，时，即故当，时，故不合题意 若，据，可得，即所以，当，时，当时，得，所以当，时，所以，故故当时，对任意都成立所以正整数k的最小值为37【江苏省南通市三县（通州区、海门市、启东市)2019届高三第一学期期末】已知数列的首项，其前n项和为，对于任意正整数，都有.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足.若，求证：数列是等差数列；若数列都是等比数列，求证：数列中至多存在三项.【解析】（1）令，则由，得因为，所以， 当时，且当n=1时，此式也成立.所以数列的通项公式为 （2）【证法一】因为，所以. 由得，所以，所以，所以，所以，所以数列是等差数列.【证法二】 因为所以所以. 所以，所以，记，两式相减得，所以，所以，当时，由得，所以，当时，当n=1时，上式也成立，所以，(iii)所以数列是等差数列.【证法三】因为所以，（i）所以，（ii）（i）-（ii）得，（iii）所以，（iv）（iii）-（iv）得，所以.由知.所以，所以数列是等差数列不妨设数列超过三项，令，由题意，则有，即，代入，整理得 （*），若p=q=1，则，与条件矛盾；若，当n=1时，当n=2时，得，p=q，代入（*）得b=c，所以，与条件矛盾.故这样的数列至多存在三项.8【江苏省泰州市2019届高三上学期期末】已知数列的前n项和为Sn，且对任意的nN*，n2都有。（1）若0，求r的值；（2）数列能否是等比数列？说明理由；（3）当r1时，求证：数列是等差数列。【解析】（1）令n2，得：，即：，化简，得：，因为，所以，解得：r1.（2）假设是等比数列，公比为，则，且，解得或，由，可得，所以，两式相减，整理得，两边同除以，可得，因为，所以，所以上式不可能对任意恒成立，故不可能是等比数列.（3）时，令，整理得，又由可知，令，可得，解得，由（2）可知，所以，两式相减，整理得，所以，两式相减，可得，因为，所以，即，又因为，所以数列是以为首项，2为公差的等差数列.9【江苏省镇江市2019届高三上学期期末】设数列是各项均为正数的等比数列，数列满足：对任意的正整数，都有（1）分别求数列与的通项公式；（2）若不等式对一切正整数都成立，求实数的取值范围；（3）已知，对于数列，若在与之间插入个2，得到一个新数列设数列的前项的和为，试问：是否存在正整数，使得？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由【解析】（1）因为是等比数列，且各项均为正数，所以，解得，公比，所以，因为，所以，两式相减，得，所以当时，因为当时，所以，符合，所以；（2）因为，所以当时，原不等式成立，当时，原不等式可化为，设，则，则，所以，即数列单调递减，所以，解得，综上，；（3）由题意可知，设在数列中的项为，则由题意可知，所以当时，设，易解得，当时，因为，且，所以当时，.10【江苏省南师大附中2019届高三年级第一学期期中】已知，都是各项为正数的数列，且，对任意的正整数n，都有，成等差数列，成等比数列（1）求数列和的通项公式；（2）若存在p0，使得集合M恰有一个元素，求实数的取值范围【解析】（1）根据题意，2bn2anan1 ， an1bnbn1 ，于是a23，b2，2bn12an1an2bnbn1bn1bn2，又因为bn0，上式可化简为:2bn1bnbn2对任意nN*恒成立，所以数列bn是以b1为首项，b2b1为公差的等差数列，所以数列bn的通项公式bn (n1)， 把上式代入，则an1，特别地，当a11也符合上式，故数列an的通项公式ann(n1) （2）令