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三角形的重心定理及其证明 积石中学王有华同学们在学习几何时,常常用到三角形的重心定理.但很多同学不会证明这个定理?下面给出三种证明方法,你阅读后想一想,哪一种证明方法最好. 已知:(如图)设中,L、M、N分别是BC、CA、AB的中点. 求证:AL、BM、CN相交于一点G,且图1AGGL= BGGM= CGGN=21. 证明1(平面几何法):(如图1)假设中 线AL与BM交于G,而且假设C与G的连线与AB边交于N,首先来证明N是AB的中点. 现在,延长GL,并在延长线上取点D,使GL=LD 。因为四边形BDCG的对角线互相平分,所以BDCG是平行四边形.从而,BGDC,即GMDC.但M是AC的中点,因此,G是AD的中点. 另一方面,GCBD,即NGBD.但G是AD的中点,因此N是AB的中点. 另外,G是AD的中点,因此AGGL=21.同理可证:BGGM=21, CGGN=21.这个点G被叫做的重心. 证明2(向量法):(如图2)在中,设AB边上的中图2线为CN,AC边上的中线为BM,其交点为G,边BC的中点为L,连接AG和GL,因为B、G、M三点共线,且M是AC的中点,所以向量,所以,存在实数 ,使得,即 所以, = 同理,因为C、G、N三点共线,且N是AB的中点. 所以存在实数,使得 = 所以 = 又因为 、 不共线,所以 所以 ,所以 . 因为L是BC的中点,所以 = =,即,所以A、G、L三点共线.故AL、BM、CN相交于一点G,且AGGL= BGGM= CGGN=21M证明3(向量法)(如图3)在中,BC的中点L对应于,中线AL上的任意一点G,有 .同理,AB的中线CN上的任意点G,求中线AL和CN的交点,就是要找一个和一个,使.因此,我们令,.解之得.所以.由对称性可知,第三条中线也经过点G . 故
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