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第四章 微振动 微振动：很常见的一种物理现象 定义：振动是指系统对平衡位形(势能有极小值的位 形)的某种周期性偏离。 1.4.1 一个自由度的微振动 一、自由振动 平衡位置：系统势能U(q)具有最小值的位置。 (此时：系统最稳定),例：长为 l 的单摆的拉格朗日函数为 其中 平衡位置： 微振动：质点对平衡位置的偏离不大 在平衡位置附近对L作泰勒展开，得到,推广：对一个有平衡位置的一维系统，设q为广义坐标， 则系统的拉格朗日函数为,设：q0 系统的平衡位置，则,对U 在q0附近作泰勒展开，只保留到二阶小量，有 二阶小量 (势能：平滑不陡峭； 若 大，则单位时间运动的距离大 振动不是微振动) 则 a(q)只需展开到零阶小量，即,略去对运动方程无关的常数项“-U(q0)”(物理上相当于 选新的零势能点，数学上：拉格朗日函数的非唯一性)， 且令 则 由拉格朗日方程,得到运动方程 注：参见理论物理基础教程P383388“量子谐振子” 二、自由振动方程的解 自由振动：无强迫力、无阻尼的振动 方程 的解为 积分常数：A振幅； 角频率； 初相位。其中振幅和初相位由初始条件确定，角频率由系统确定。,由位置与时间的函数 ，分别得到速度和加速度 由质点的位置、速度和加速度的表达式可见，它们均与 有关，因此定义 为相位。 关于相位的讨论： 1. 对于同一振动系统，相位不同，则振动状态不同。 如：对于振动 ， 和 时，它们的振动状态就不同。,2. 对于以下两个同频率的简谐振动系统 当 时，振动同时到达最大位置，同时到达平 衡位置，同时到达反方向最大位置 (步调一致)； 当 时，振动1到达正方向最大位置时， 振动2到达反方向最大位置，反之亦然 (步调相反) 。 通过相位，我们可以比较两个不同振动的振动状 态：振动超前、振动同步、振动落后。,3. 相平面与相速度 (注意：波动与振动密切相关) 等相面：空间中相位相同的点所组成的曲面。 若电磁波的等相面为平面，则称该电磁波为平面电磁波；若电磁波的等相面为球面，则称该电磁波为球面电磁波。 例：平面电磁波 ，其等相面为 相速度定义为 则 当 k 与 vp 共线时，有,平面方程,于是 即相速度为 4. 非相干波的叠加、波的群速度 频率单一的波叫做单色波。真正单色波的波列必须 是无穷长的，而有限长的波列是许多单色波的叠加。由 这样一群单色波组成的波列叫做“波包”。为了讨论方便， 设有振幅相等、波长和频率都相近的两列波组成的波包， 它们的角频率和波数分别为 和 ，且有,二者叠加后，可得,、 ，即,在前式中，右边第二个余弦项表示高频的波动，而 第一个余弦项可视为低频传播的振幅。叠加所得的某瞬 时波形如上图所示，称高频波受到低频波的调制 (如图 中绿色的线包络线)。式中高频波的传播速度(即相速) 为 ，而低频波向前传播的速度(群速度)为 。 当两列波的频率差无限小时，波数差也无限小，在此极 限情况下有,附：关于色散的概念 牛顿于1666年用三棱镜把太阳光分成彩色光带，即将 复色光分解为单色光而形成光谱，这种现象叫做光的色散。 如右图所示。 色散的原因：复色光进入 棱镜后，由于它对各种频率的 光具有不同折射率(即光速随波 长而变)，各种色光的传播方向 有不同程度的偏折，在离开棱镜时就各自分散，形成光谱。,在物理学中把“色散”的概念推而广之，凡波速与 波长有关的现象都叫做色散，与 k 的依赖关系称为色 散关系。 根据色散关系，可以对相速度和群速度进行比较。 因为,所以，对于色散介质，有,而对于无色散介质，则群速度等于相速度。,凡是一个物理系统对输入物理量的不同频率成分有不同的响应，往往就称为“色散”,这是借用光学术语。,自由振动系统：保守系 能量守恒 即 方程解的复数形式(指数形式)： 令 ，则： 思考：为什么用复数形式？什么条件下用复数形式？ 数学上： 1. 对指数因子进行运算比对三角函数因子进行运算,更简单，因为对指数微分并不改变它们的形式； 2. 进行线性运算(相加、乘以常系数、微分、积分等) 时，可先用复数形式运算，运算完后再取实部； 3. 反例：非线性运算。 例：电磁场中坡印廷矢量 ，不是 另外的例子：见P58,三、受迫振动 设：振子受到一个随时间变化的外场力Ue (x,t)的作用 则 在平衡位置附近展开Ue (x,t)，有 上式中，Ue (x,t)只是t的函数，对方程无贡献，略去。,(确定平衡位置时，不考虑外场),令 ，则,由拉格朗日方程，得到运动方程,因,令,关于X的一阶微分方程 上式的解法： 由F(t)=0得到与上式对应的齐次方程 再通过变易系数法解得非齐次方程的解,讨论： 若外力场为周期性外场 则 选t0，使 ，则积分下限为零。 令,按本征频率 的振动和按强迫力频率 的振动 的叠加 四、拍 1. 当强迫力的频率 =本征频率 共振现象，(I) 式不能用 (待讨论)。 2. 当 和 接近相等时，设 共振区。 (I)式的指数形式为,在一个本征振动周期 内， 改变很少 (对 求微分) (II)式中： 振幅(随t变化)； 频率 设 ，则 振幅A在 与 之间变化；变化的频率是强迫力的频率与本征振动频率之差 拍现象。,1. 4. 2 阻尼振动 共振 一、无阻尼的共振 出发点 改写为 注意：此处的 不同于第一式的 。,当 时： 则 共振时，振动的振幅将随时间的增长而无限增大 讨论： 1.振幅增到一定程度，微振动的假设已不再成立； 2.实际运动存在阻尼，振幅不会随时间无限增大。,二、阻尼振动 说明： 所谓“阻尼”是指消耗系统能量的因素，它主要分两类：一类是摩擦阻尼，例如单摆运动时的空气阻力等；另一类是辐射阻尼，当系统引起周围质点的振动时，系统的能量逐渐向四周辐射出去，变为波的能量。例如音叉发声时，一部分机械能随声波辐射到周围空间，导致音叉振幅减小，最后音叉的振动会停止下来。,实际的振动：存在阻尼。 阻尼的作用：使机械运动的能量耗散，转化为热能，使 机械运动停止(无外力时)。 此时： 1.对振动系统，不再是保守系，不能引入势能函数； 2.不能肯定运动物体的状态只是该瞬时它的坐标和速度 的函数(因为此时要考虑介质本身的运动、介质和物 体内部的热状态)。,力学中的运动方程不存在(因为前面已假定，只要同时给定坐标和速度就能完全确定力学系统的状态)。 但：在某些情况振动频率比介质中的内耗过程的 特征频率小，即振动周期比内耗过程的周期长 认为：在物体上作用着只依赖于它的速度的“阻力”。 办法：在运动方程中加进阻力项。 若速度又很小，则按速度的方次来展开阻力，有 ( ：较小) 考虑到阻力和运动方向相反，有,运动方程 解的形式： 特征方程： 其中,：弹力阻力； ：弹力阻力 通解为,三、有阻尼情况下的共振 有阻尼情况下强迫振动的运动方程为,频率为而振幅按指数衰减的振动,备忘：当 时，解为,该方程的复数形式为 通解为 其中 ：初始条件决定 由通解，可以看到，长时间后，系统以本征频率的 振动衰减，只剩下第二项。,即： 1.有阻尼的受迫振子，经过足够长时间后，完全按强迫 力的频率振动，振动的相位落后于强迫力的相位(因 为 )； 2.当 时，振幅c取极大值，发生共振(并不 随t的增长而 无限增长)。 四、通过共振时的相位变化和能量吸收率 接近共振时，令,( 很小 小量) 共振时： 远离共振时 ：,由低到高( 由负到正)通过共振频率时，振动的相 位改变 共振点相位： 振动达到稳定(振幅不再随时间变化)时，有 振子的能量不再变化克服阻尼所消耗的能量通过吸收外力源能量来补充。 单位时间从外力源吸收的能量I=克服阻力 在单位时间内做的功，即,一个周期( )内能量的平均值为 吸收对频率的依赖关系(色散),：平均能量吸收率 当共振时 ，有 达到极大值： 共振吸收 当 时， 降到最大值的一半 若用S表示与 类似的某一物理量，它依赖与外来 频率 。设S在 时达到共振，则 布雷特维格纳分布(共振曲线的普遍分布),一维阻尼振动方程另外的推导方法 定义耗散函数： 瑞利耗散函数 由此得到 而 这样，广义力可以写为,对于主动力中既有保守力，又有非保守力的系统， 广义力为 由基本形式的拉格朗日方程,得到耗散系统的拉氏方程 上式中的L包含了系统的总动能及保守力的势能。 例子：对于一维阻尼振子系统，所受主动力有弹簧的弹 力 (保守力) 和阻力 (非保守力)。若阻力为 时， 则瑞利耗散函数为 。而系统 的拉格朗日函数为 ，则由耗散系统的拉 氏方程，得到一维阻尼振子系统的运动方程,1.4.3 多自由度的耦合振动 一、弱耦合的二振子系统 (两个自由度) 设：两个振子 m，k；m，k。两个振子之间用一软弹簧 连接实现两个振子的耦合 k：弱耦合 (将软弹簧换为硬弹簧或刚性杆会如何?) 又设：滑块 1、滑块 2 的平衡位置为坐标原点，作两轴 o1 x1、 o2 x2，则势能为,系统的拉格朗日函数为 (思考：将两个方程相加或相减，会出现什么结果？) 设：解的形式为 两个滑块以同一频率振动,由拉格朗日方程得到运动方程, 关于 C1、 C2 的齐次方程组 非零解条件为 C1、 C2 的两组解： (具体值由初始条件定),(久期方程),C1、 C2 矩阵形式的解为 显然，它们是相互正交的，即 归一化：令 ，有,满足正交归一条件： 耦合振子系统有两个振动频率：1、2 。与1、 2 对应，有如下两种确定的集体振动模式 一般情况下，振动是以上两种振动模式的叠加，即,选新的广义坐标：Q1、Q2，令 则 Q1、Q2 分别表示两种独立的集体振动模式。这样 从而得到新旧坐标之间的变换关系,新坐标系下的拉格朗日函数 耦合项消失(退耦)，此时相互耦合 的二振子系统变成两个独立的振子系统。 定义：Q1、Q2 为耦合振子系统的简正坐标。,二、对称矩阵的本征值与本征矢(参见p320) 为将二耦合振子系统推广到任意 S 个耦合振子系统，将前面关于 C1、 C2 的方程改写成矩阵形式，有 令,则,一列二行矩阵 U 可看成一个二维空间中的矢量。 一般：22 对称矩阵 S 作用在一个任意二维空间矢量 上，会改变它的大小和方向，即 SU 和 U 一般 不平行。 但： SU =U 表明此式中的矢量 U 受到 S 的作用后， 不改变方向，而只是乘上一个常数。 定义： U矩阵 S 的本征矢，与本征矢 U 对 应的本征值，SU =U 对称矩阵 S 的本征 方程。,这样，求耦合二振子系统的集体振动模式归结为求解矩阵 S 的本征值方程。 将以上方法推广到三维空间，对此空间中的矢量 写成矩阵形式，得到 于是，33 的矩阵 S 的本征值方程为,或写为 如果 ，则称矩阵 S 为对称矩阵。 对于对称矩阵有如下定理： 定理一 33 的对称矩阵 S 有3个独立的本征矢。与本 征矢对应的本征值为实数。,证： SU =U 可写为 其中 I 为单位矩阵 将 SU U = (S I) U = 0 写成矩阵形式,上式是关于3个未知数 u1, u2, u3 的齐次方程组。非零解 条件为 由以上条件，可得的3个根 = a (a=1,2,3)。与每 个根相对应，可得到一个解 ，这就是和本 征值a 对应的本征矢。 假定：S 为实对称矩阵，即,本征值方程又可写成 取其复共轭 将 ，并利用 ，得到 将上式左右两边同时乘以 uj ，并对 j 求和，得到,将本征值方程的左右两边同时乘以 ，并对 i 求和，有 因此 ，即为实数。 讨论：当为实数时，由本征值方程得到的解 u1, u2, u3 也是实数，可以组成有物理意义的矢量。对于 33 的 对称矩阵有3个实本征值，相应的有3个独立本征矢。,注意：本征值方程是齐次方程，它的解可以乘上任意 常数。因此，和本征值对应的只是本征矢的方 向，而相应的本征矢的长度不确定。此时可以 将本征矢“归一化” 成单位长度，即通过乘上 一个常数使得 ui (i =1,2,3) 满足 上式的矩阵形式 其中 是 U 的转置矩阵。,定理二 对称矩阵对应于不同本征值的本征矢相互正交。 证：和 、 对应的本征值方程分别为 将上两式分别乘上 和 并对 i 求和，得到,对上两式中的第一式的左边交换求和指标 ，有 又 ，所以 即 因 ，所以 ，即 。,从定理一和定理二可知，33 的对称矩阵有三个独立本征矢，对应于三个本征值。如果这三个本征值互不相等，则对应的三个本征矢相互垂直。 几何上，可画出三个本征矢，其长度分别为对应的本征值，用它们为主轴作一个椭球。这一椭球就是对称矩阵的几何表示，称之为对称矩阵的本征椭球。 用本征椭球的三个主轴 (对称矩阵的三个本征矢) 作为坐标架基矢作一个笛卡尔坐标系，则在此坐标系中，对称矩阵有对角形式,在以本征椭球的三个 主轴为坐标轴的坐标系下， 本征矢量的矩阵表达式分 别为 (1，0，0)、(0，1， 0)、(0，0，1),备忘：矢量 A 可用复数来表示，如图。在Oxy和Oxy 坐标 系下，有 z = x+i y、z = x+i y ； ，因此,：代表转动。,当坐标系转动时，矢量 U 变成 U ，它的三个分量 ui (i =1,2,3)是 U 的三个分量 ui (i =1,2,3) 的线性组合 上式的矩阵形式 U = AU 其中矩阵 A 应满足一定的条件，以保证归一化的矢量 在转动以后仍然归一化，即有 由 A 的任意性(坐标系可任意选取)，有 或,满足以上条件的矩阵称为正交矩阵。注意，代表物 理量的矩阵 S 是对称矩阵，即 ；而坐标转动矩 阵 A 则是正交矩阵，即 。 由于坐标系的转动，使得表示物理量的矩阵S 也发生变化。变化后的矩阵 S 与 S 的关系的推导： 原坐标系中，将 S 作用到 U，得另一矢量 V，有 SU=V； 坐标系转动后，这一关系仍然应成立，即 S U = V 由U的任意性，有 S A = AS 。,而 ，所以 。 可以证明：在坐标转动下，代表物理量的矩阵S的本 征值和本征矢不变。 注：当坐标系变换到另一坐标系时，对称矩阵的各个 分量都要发生变化，矩阵不再是对角的了，但是 物理量的本征值和本征矢不因坐标系的变换而变 化，因而相应的本征椭球在空间中的位置和形状 不变。,定理三 如果对称矩阵 S 的两个本征值相等a= b = ， 则和它们对应的本征矢 ua 和 ub 的线性组合 也是 S 的对应于同一个本征值 的本 征矢。 证：本征值方程为 将两式分别乘上 和 并相加，得,上式表明： 也是 S 的对应于同一个本征值 的本征矢。 两个独立矢量 ua 和 ub 的线性组合形成一个平面。 因此定理三表明，和两个相等本征值对应的不是两个 特定的本征矢量，而是一个平面，在这一平面中的任 意矢量都是和这一本征值对应的本征矢。此时，对应 的椭球有两个主轴长度相同，是一个旋转椭球。沿这 两个主轴作的椭球的截面是一个圆。这一截面上的任 意矢量都可以看成椭球的主轴。可以从中选两个相互,垂直的矢量作为椭球的主轴。所以，对于任意一个 33 对称矩阵 S，总可以找到三个相互垂直的方向，当矢量 u 沿这三个方向时，S 作用到矢量 u 上不改变它的方向。,x,y,z,x,z,当实对称矩阵 S 的三个本征值相等时，其特征多项式为 其中 对 S () 分别求一阶导数和二阶导数，得,将上式代入 S () 的一阶导数表达式，有 化简得 由于 S 是矩阵，所以,而 因此 这样由 S 的本征值方程 SU =0U 得 SU =0 IU =0U 即当实对称矩阵 S 的三个本征值相等时，其本征矢 方向是任意的，对于电磁介质而言，这说明介质是 各向同性的。,推广： S 维矢量的定义 定义一 一组 S 个实数 ui (i =1,2,S) 称为 S 维空间中 的矢量，每个 ui 称为这一矢量的分量。 定义二 两个矢量的对应分量相乘并求和 ，此 和称为它们的标积。 说明：对于实矢量，标积的另一种形式 其中,定义三 如果两个矢量的对应分量成正比 ui = c vi ，就称 它们相互平行。 定义四 如果两个矢量 (非零矢量) 的标积 等于零， 就称它们相互正交。 SS 的矩阵 S 的本征值方程成为 或者,定理四 SS 的对称矩阵 S 有 S 个独立的本征矢。对应的 本征值为实数。当这 S 个本征值各不相等时，对应的 S 个 本征矢相互正交。可以将它们归一化成为一组 S 个正交 归一的 S 维矢量 。当在 S 个本 征值中有 m 个本征值相等时，对应的 m 个独立本征矢的 线性组合形成一个 m 维线性子空间 (m 维