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第二学期高等数学试题解答(一)一、填空题(每小题3分，共15分)1 设u=x4+y4-4x2y2 ，则u x x=12x2-8y2 2 设u=xy+y/x，则u y= x+1/x 3 函数z=x2+4xy-y2+6x-8y+12的驻点是 (1, -2) 4 设幂级数的收敛半径是4，则幂级数的收敛半径是 R=2 5 设是柱面x2+y2=4介于1z3之间部分曲面，它的法向指向含oz轴的一侧，则= 0 二、单选(每小题2分，共8分)1、函数在点处连续是它在该点偏导数存在的：(A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件；(C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件。答（A）2、微分方程满足条件y(2)=1, y(2)=1的解是(A) y=(x-1)2 (B) y=(x+1/2)2-21/4(C) y=1/2(x-1)2+1/2(D) y=(x-1/2)2-5/4 答（C）3、若方程的系数p+qx=0，则该方程有特解(A) y=x(B) y=e x (C) y=e x (D) y=sin x答（A）4、微分方程的一个特解应具有形式答（D）(A) Asin x(B) Acos x(C) Asin x +Bcos x (D) x(Asinx+Bcosx)三、解答下列各题1 (本小题6分)利用二重积分计算由曲面z=x2+y2，y=1，z=0，y=x2所围成的曲顶柱体的体积。2、(本小题7分)证明极限不存在。证明：取不同的直线路径y=kx 沿不同的路径极限不同，故由定义二重极限不存在。3、(本小题5分)验证：y1=cosx，y=sinx都是微分方程y+2y=0的解，并写出该方程的通解。验证：y1=-sinx, y1=- 2cosx代入方程左端-2cosx+2cosx=0满足方程。y2=cosx, y2=- -2sinx代入方程左端-2sinx+2sinx=0满足方程。故y1 、y2皆是微分方程的解。又y1 /y2=(cosx)/( sinx)常数，故y1与y2线性无关 。方程的通解为y=C1cosx+C2sinx4、(本小题5分)设若s(x)是以2为周期的函数f(x)的Fourier级数之和函数，求S(-3)。解：S(-3)=- /2四、解答下列各题：1、(本小题6分)更换积分次序：2、(本小题6分)求曲线在t=1处的切线及法平面方程。解：切线方程：法线方程五、解答下列各题：1、(本小题6分)已知是z=x2+y2上 z1的部分曲面，计算:2、(本小题6分)计算，其中光滑曲面围成的的体积为V。解：由高斯公式，原积分=3V六、解答下列各题1、(本小题5分)判别级数的敛散性。解：因为当n趋于时，一般项u n的极限为1，其极限不为0，故级数发散。2、(本小题5分)级数是否收敛，是否绝对收敛？解：原级数=原级数绝对收敛。3、(本小题5分)试求幂级数的收敛半径。解4、(本小题5分)试将函数y=1/(4-x4)展开为x的幂级数解：七、(本大题10分)已知上半平面内一曲线y=y(x) (x0)过点(0,1)，且曲线 上任一点M(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴，y轴，直线x=x0所围成的面积与该点纵坐标之和，求此曲线方程。解：特征方程：r2-r-1=0 通解： 初始条件：y(0)=1 , y(0)=1 解得：C1=，C2=特解是：第二学期高等数学重修1解答一、 计算下列各题(每小题6分，共30分)1设。解：2. 设求:d z。解：3. 设。解：原式两端对x求偏导 解出 得 再对x求偏导得：4. 设。解： 5。解：原式对 x, 求偏导， 解得：同理可得：， 二、解下列各题 (每小题6分，共24分)1更换积分次序：2. 求在点P（1,2,3）沿分别与坐标轴正向成30，45，60角的方向上的方向导数。解：3. 求曲线在t = 1处的切线及法平面方程。 解：t = 1 时 x = 1/2 , y = 2 , z = 1 切线方程：法平面方程：4. 求曲面x 2 2 y 2 +2 z 2 = 1上过点（1,1,1）的切平面方程。解：F= x 2 2 y 2 +2 z 2 1 Fx=2x Fy=4y Fz=4z 切平面方程为：2（x 1）4 ( y - 1) + 4 (z - 1) = 0三、计算下列积分（每小题6分，共30分）1. I=D：y = x +1, y = x/2 , y = 0, y = 1 所围成 。解：I=2. IV：1x2 , -2y1 , 0z1/2 .解：I3. 。 4. 5.I：是柱面x2 + y2 = 1被平面z=0,z=3所截得的在第一卦限的部分的前侧。解：I=四、（8分）求微分方程的通解。 解：分离变量得：两边积分得：ln(lny) = lnx+c 或 y = e c x五、（8分）求微分方程的特解。解：特征方程：r2-4r+3=0 (r-3)(r-1)=0 特征值：r1=3,r2=1通解：y=c1e3x+c2ex 代初始条件：c1+c2=6 3c1+c2=10 解出：c1=2 c2=4特解：y= 2e3x+4ex20012002高数2试题及解答一、填空（每题4分）1设具有连续的一阶偏导数，其中，则2设域是在与两者中比较大的值是3设幂级数的收敛域为（4，2），则幂级数的收敛区间为（0 , 6）4微分方程的通解是二、试解下列各题（每题6分）1设是连续函数，改变二次积分2计算曲线积分。式中由极坐标方程所表示的曲线上从到的一段。解：积分与路径无关，选择沿坐标轴由点(2,0)到(0,1)原积分3计算，其中为球面的外侧。解：由高斯公式，原积分4求微分方程的一个特解。解：特征方程：设。三、（8分） 设曲面为是此曲面上一点，试证曲面在点处的法线与向径垂直。解：法线方向向量：故曲面在点处的法线与向径垂直。四、（10分） 修建一座容积为的形状为长方体的地下仓库，已知仓顶和墙壁每单位面积的造价分别是地面每单位面积造价的3倍和2倍，问如何设计长、宽、高，使它的造价最小。解：设仓库的长、宽、高分别为x、y、z,容积为V=xyz。 设地上造价每单位面积为单位1，地上总造价为S1=2(xy+xz+yz),地下总造价为S=3xy+xy+2(2xz+2yz)=4(xy+xz+yz)，x0,y0,z0由条件极值，设F=4(xy+xz+yz)+(xyz-v),求偏导，令偏导为零得驻点： 由问题的最小值存在，且在定义域内有唯一驻点，其即为所求。五、（8分） 函数由方程所确定，其中具有一阶连续偏导数，求。解：六、（8分） 设是由及所围的有界闭区域。计算。七、（6分） 求函数在（1，1）点沿方向的方向导数。八、（6分） 设都是具有二阶连续偏导数的二元函数，且使曲线积分与都与积分路径无关。试证：对于函数，恒有。九、（14分）1 1 求幂级数的收敛区间及和函数。2 2 周期为2的函数，设它在一个周期上的表达式为，将展成傅立叶级数。20022003学年解答一、选择题（12分，每题4分） 1函数 （ A ）。 （A）处处连续 （B）处处有极限，但不连续 （C）仅在（0，0）点连续 （D）除（0，0）点外处处连续 2设为平面在第一卦限的部分，则（ B ） （A） （B） （C） （D）3 若，则（A） （B）（C） （D）二、填空题（25分，每题5分）1设函数由方程所确定，则2设C为正向圆周，则1/2 a43设在内连续，为使它在区间上的傅里叶展开式具有形式，须将作何种延拓？偶式延拓 ，4设，由二重积分的几何意义知5设，求 2x三、解答下列各题（每小题6分）1求函数在点处沿方向的方向导数，其中O为坐标原点。解：Gradu=2x,2y,4z ;方向导数为：2在椭圆抛物面上求一点，使曲面在该点处的切平面垂直于直线解：切平面法向量：n=2x,4y，1直线方向向量：s=3,-6,2 n/s，所求切点：（-3/4,3/4,27/16）四、解答下列各题（8分）设为连续函数，交换下列积分的积分次序，并写出该积分在极坐标系中先积r后积的二次积分。解：五、解答下列各题（8分）设空间区域由曲面和平面所围，为的表面外侧，求：解：原积分六、解答下列各题（8分）求微分方程的通解。解：特征方程：齐次的通解：设非齐次的特解形式为由待定系数法确定A1/2,B1于是微分方程通解为其中C1C2为任意常数。七、解答下列各题（10分）在圆的部分上找点P，使其到点M(2,1)的距离为最小。解：设所求点 最小，条件极值由拉格朗日乘数法设：解出：八、解答下列各题（8分）试求幂函数的收敛域及和函数。解：收敛x=1与x=-1时数项级数一般项不趋于0，故皆发散，收敛区间为(-1,1)。设和函数S(x)= 九、解答下列各题（9分）1 1设，其中是第一卦限满足的有界闭区域。试讨论当时的极限及当极限存在时的极限值。解：2.若数列收敛，级数收敛，则级数收敛。高等数学下试卷及解答一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在括号中1、二重积分(其中D：0yx2,0x1)的值为 答 ( B )2、设为球面x2+y2+z2=a2在zh部分，0ha,则 答 ( D )二、填空题（将正确答案填在横线上）1. 1. 设L是 |y|=1表示的围线的正向，则 -22. 设u=，可微，du=.3. . I=.三、解答下列各题已知曲线积分与路径无关，其中可导，且，求。解：由积分与路径无关，故代初始条件：得四、解答下列各题 设由方程所确定，,求。五、解答下列各题函数在点（1，2，1）处沿哪个方向的方向导数值最大，并求此最大方向导数的值。解：(4分)设则，其中为与的夹角。所以当与同向时，=取最大值。 (10分)六、解答下列各题在内把函数展成Fourier级数。解：将已知函数以2作周期延拓为F(x)其为偶函数，故bn=0 n=1,2,七、解答下列各题 计算其中是z=1x2y2在xoy面上方的部分曲面的上侧。解：补一平面块1：z=0,x2+y21，取下侧，和1围成立体，由高斯公式八、解答下列各题1求微分方程的通解。特征方程的根为：对应的齐次方程的通解为设特解为故所求通解为高等数学（下）期中考试解答 一、选择题（每小题3分，共计 15 分）1、 下列微分方程中，通解是的方程是 。 ()； ()； ()； ()。2、 微分方程的特解形式是A。()；()；()；()。3、 设为可微函数，则。 ()1； ()； ()； ()。4、 设是以原点为圆心，为半径的圆围成的闭区域，则。 ()； ()； ()； ()。5、设在上连续，则二重积分表示成极坐标系下的二次积分的形式为 。()； ()；()；()。 二、填空题（每小题4分，共计24 分）1、设，则，在点处的梯度。2、已知，是微分方程的两个解，则此方程的通解为。3、由曲线所围成的闭区域，则= 2。4、函数在点处从点到点的方向导数是。 ， 5、曲线在点处的切线方程为，法平面方程为。 注意：，点；法平面方矢。6、改变积分次序。高数II解答一、选择题（每题4分，共16分）B C D B1函数在(0, 0)点 B .(A) 连续，且偏导函数都存在； (B) 不连续，但偏导函数都存在；(C) 不连续，且偏导函数都不存在； (D) 连续，且偏导函数都不存在。2设为可微函数，则 C 。 () ()； () ； ()。 3设在上连续，则二重积分表示成极坐标系下的二次积分的形式为 D 。()； ()；()；()。4幂级数在处条件收敛，则幂级数的收敛半径为 B 。()； ()；()； ()。二、填空题（每题4分，共20分）1 设函数，则函数的全微分。2 函数在点处沿方向的方向导数为，其中O为坐标原点。3 曲面在点（1，2，0）处的切平面方程为。4 曲线积分（其中是圆周：）的值为。5 设的正弦级数展开式为，设和函数为，则 ，。、（10分）求，其中为锥面的外侧。 解：作曲面，朝上，则 由，朝上有故八、（4分）设在点的某一邻域内具有二阶连续导数，且，证明级数绝对收敛。证明：因为在点的某一邻域内具有二阶连续导数，故则，故，又收敛故由正项级数的比较法的极限形式得收敛，即绝对收敛。高等数学II期中考试解答 一、选择题（每小题3分，共计 15 分）5、 函数在（0，0）点 B 。 ()连续，偏导函数都存在； ()不连续，偏导函数都存在； ()不连续，偏导函数都不存在； ()连续，偏导函数都不存在。6、 二重积分（其中D：）的值为 B 。()；()；()；()7、 设为可微函数，则。 ()1； ()； ()； ()。8、 设是以原点为圆心，为半径的圆围成的闭区域，则。 ()； ()； ()； ()。5、设在上连续，则二重积分表示成极坐标系下的二次积分的形式为 。()； ()；()；()。 二、填空题（每小题4分，共计24 分）1、设，则，在点处的梯度。2、设，则 1 。3、由曲线所围成的闭区域，则=。4、函数在点处从点到点的方向导数是。 ， 5、曲线在点处的切线方程为，法平面方程为。 注意：，点；法平面方矢。6、改变积分次序。三、计算题（每小题7分，共计49分）1、求。解：先交换积分次序2、求椭球面的平行于平面的切平面方程。解：设切点为，则，过切点的法向量为：，得，代入，得，切点为或，故切平面方程为：或。 3、已知具有二阶连续偏导数，利用线性变换变换方程。问：当取何值时，方程化为。解： ， 。， ，所以 时，应满足一元二次方程且。解得，取其任一值，且ab时，方程化为。4、可微，求 解：设，由公式5、在经过点的平面中，求一平面，使之与三坐标面围成的在第一卦限中的立体的体积最小。解：设过点的平面截距式方程为，点P满足方程 即 平面与三坐标面围成的在第一卦限中立体的体积为 由拉格朗日乘数法，设 由，及得最值点的坐标 所求平