2019版高考数学复习专题跟踪检测（四）“导数与不等式”考法面面观理（重点生，含解析）.docx

专题跟踪检测（四） “导数与不等式”考法面面观1(2019届高三唐山模拟)已知f(x)x2a2ln x，a0.(1)求函数f(x)的最小值；(2)当x2a时，证明：a.解：(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)x.当x(0，a)时，f(x)0，f(x)单调递增所以当xa时，f(x)取得极小值，也是最小值，且f(a)a2a2ln a.(2)证明：由(1)知，f(x)在(2a，)上单调递增，则所证不等式等价于f(x)f(2a)a(x2a)0.设g(x)f(x)f(2a)a(x2a)，则当x2a时，g(x)f(x)axa0，所以g(x)在(2a，)上单调递增，当x2a时，g(x)g(2a)0，即f(x)f(2a)a(x2a)0，故a.2已知函数f(x)xex2xaln x，曲线yf(x)在点P(1，f(1)处的切线与直线x2y10垂直(1)求实数a的值；(2)求证：f(x)x22.解：(1)因为f(x)(x1)ex2，所以曲线yf(x)在点P(1，f(1)处的切线斜率kf(1)2e2a.而直线x2y10的斜率为，由题意可得(2e2a)1，解得a2e.(2)证明：由(1)知，f(x)xex2x2eln x.不等式f(x)x22可化为xex2x2eln xx220.设g(x)xex2x2eln xx22，则g(x)(x1)ex22x.记h(x)(x1)ex22x(x0)，则h(x)(x2)ex2，因为x0，所以x22，ex1，故(x2)ex2，又0，所以h(x)(x2)ex20，所以函数h(x)在(0，)上单调递增又h(1)2e22e20，所以当x(0,1)时，h(x)0，即g(x)0，即g(x)0，函数g(x)单调递增所以g(x)g(1)e22eln 112e1，显然e10，所以g(x)0，即xex2x2eln xx22，也就是f(x)x22.3(2018武汉模拟)设函数f(x)(1xx2)ex(e2.718 28是自然对数的底数)(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x0时，f(x)ax12x2恒成立，求实数a的取值范围解：(1)f(x)(2xx2)ex(x2)(x1)ex.当x1时，f(x)0；当2x0.所以f(x)在(，2)，(1，)上单调递减，在(2,1)上单调递增(2)设F(x)f(x)(ax12x2)，F(0)0，F(x)(2xx2)ex4xa，F(0)2a，当a2时，F(x)(2xx2)ex4xa(x2)(x1)ex4x2(x2)(x1)exx2(x2)(x1)ex1，设h(x)(x1)ex1，h(x)xex0，所以h(x)在0，)上单调递增，h(x)(x1)ex1h(0)0，即F(x)0在0，)上恒成立，F(x)在0，)上单调递减，F(x)F(0)0，所以f(x)ax12x2在0，)上恒成立当a0，而函数F(x)的图象在(0，)上连续且x，F(x)逐渐趋近负无穷，必存在正实数x0使得F(x0)0且在(0，x0)上F(x)0，所以F(x)在(0，x0)上单调递增，此时F(x)F(0)0，f(x)ax12x2有解，不满足题意综上，a的取值范围是2，)4(2018南昌模拟)设函数f(x)2ln xmx21.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当f(x)有极值时，若存在x0，使得f(x0)m1成立，求实数m的取值范围解：(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)2mx，当m0时，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增；当m0时，令f(x)0，得0x，令f(x)，f(x)在上单调递增，在上单调递减(2)由(1)知，当f(x)有极值时，m0，且f(x)在上单调递增，在上单调递减f(x)maxf2lnm1ln m，若存在x0，使得f(x0)m1成立，则f(x)maxm1.即ln mm1，ln mm10)，g(x)10，g(x)在(0，)上单调递增，且g(1)0，0m0时，对任意的x，恒有f(x)e1成立，求实数b的取值范围解：(1)函数f(x)的定义域为(0，)当b2时，f(x)aln xx2，所以f(x)2x.当a0时，f(x)0，所以函数f(x)在(0，)上单调递增当a0时，令f(x)0，解得x (负值舍去)，当0x 时，f(x)时，f(x)0，所以函数f(x)在上单调递增综上所述，当b2，a0时，函数f(x)在(0，)上单调递增；当b2，a0时，f(x)bln xxb，f(x)bxb1.令f(x)0，得0x0，得x1.所以函数f(x)在上单调递减，在(1，e上单调递增，f(x)max为fbeb与f(e)beb中的较大者f(e)febeb2b.令g(m)emem2m(m0)，则当m0时，g(m)emem2220，所以g(m)在(0，)上单调递增，故g(m)g(0)0，所以f(e)f，从而f(x)maxf(e)beb所以bebe1，即ebbe10.设(t)ette1(t0)，则(t)et10，所以(t)在(0，)上单调递增又(1)0，所以ebbe10的解集为(0,1所以b的取值范围为(0,16(2018开封模拟)已知函数f(x)axx2xln a(a0，a1)(1)当ae(e是自然对数的底数)时，求函数f(x)的单调区间；(2)若存在x1，x21,1，使得|f(x1)f(x2)|e1，求实数a的取值范围解：(1)f(x)axln a2xln a2x(ax1)ln a.当ae时，f(x)2xex1，其在R上是增函数，又f(0)0，f(x)0的解集为(0，)，f(x)1时，ln a0，y(ax1)ln a在R上是增函数，当0a1时，ln a1或0a0)，g(a)120，g(a)a2ln a在(0，)上是增函数而g(1)0，故当a1时，g(a)0，即f(1)f(1)；当0a1时，g(a)0，即f(1)1时，f(x)maxf(x)m