2020版高考数学第九章平面解析几何第7讲抛物线检测.docx

第7讲 抛物线 基础题组练1抛物线yax2(a0)的准线方程是()AyByCy Dy解析：选B.抛物线yax2(a0)上一点，F为C的焦点，MF的中点坐标是(2，2)，则p的值为()A1 B2C3 D4解析：选D.由题意得F，那么M在抛物线上，即162p，即p28p160，解得p4.3(2019四川成都检测)已知抛物线C：y24x的焦点为F，点A(0，)若线段FA与抛物线C相交于点M，则|MF|()A. B.C. D.解析：选A.由题意，F(1，0)，|AF|2，设|MF|d，则M到准线的距离为d，M的横坐标为d1，由三角形相似，可得，所以d，故选A.4直线l过抛物线y22px(p0)的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线方程是()Ay212x By28xCy26x Dy24x解析：选B.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线定义，x1x2p8，因为AB的中点到y轴的距离是2，所以2，所以p4；所以抛物线方程为y28x.故选B.5抛物线x22py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_解析：在等边三角形ABF中，AB边上的高为p，p，所以B.又因为点B在双曲线上，故1，解得p6.答案：66(2019云南大理州模拟)在直角坐标系xOy中，有一定点M(1，2)，若线段OM的垂直平分线过抛物线x22py(p0)的焦点，则该抛物线的准线方程是_解析：依题意可得线段OM的垂直平分线的方程为2x4y50，把焦点坐标代入可求得p，所以准线方程为y.答案：y7顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y2x4所得的弦长|AB|3，求此抛物线方程解：设所求的抛物线方程为y2ax(a0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，把直线y2x4代入y2ax，得4x2(a16)x160，由(a16)22560，得a0或a0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MNFA，垂足为N，求点N的坐标解：(1)抛物线y22px的准线为x，于是45，所以p2.所以抛物线方程为y24x.(2)因为点A的坐标是(4，4)，由题意得B(0，4)，M(0，2)又因为F(1，0)，所以kFA，因为MNFA，所以kMN.所以FA的方程为y(x1)，MN的方程为y2x，联立，解得x，y，所以N的坐标为.综合题组练1已知抛物线x24y上一动点P到x轴的距离为d1，到直线l：xy40的距离为d2，则d1d2的最小值是()A.2 B.1C.2 D.1解析：选D.抛物线x24y的焦点F(0，1)，由抛物线的定义可得d1|PF|1，则d1d2|PF|d21，而|PF|d2的最小值等于焦点F到直线l的距离，即(|PF|d2)min，所以d1d2的最小值是1.2(综合型)(2019湖北武汉部分学校调研)过抛物线C：y22px(p0)的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴上方)，l为C的准线，点N在l上且MNl，若|NF|4，则M到直线NF的距离为()A. B2C3 D2解析：选B.法一：因为直线MF的斜率为，MNl，所以NMF60，又|MF|MN|，且|NF|4，所以NMF是边长为4的等边三角形，所以M到直线NF的距离为2.故选B.法二：由题意可得直线MF的方程为xy，与抛物线方程联立消去x可得y2pyp20，解得yp或yp，又点M在x轴上方，所以M，因为MNl，所以N，所以|NF|2p.由题意2p4，解得p2，所以N(1，2)，F(1，0)，直线NF的方程为xy0，且点M的坐标为(3，2)，利用点到直线的距离公式可得M到直线NF的距离为2.故选B.法三：由题意可得直线MF的方程为xy，与抛物线方程联立消去x可得y2pyp20，解得yp或yp，又点M在x轴上方，所以M，因为MNl，所以N，所以|NF|2p.由题意2p4，解得p2，所以N(1，2)，F(1，0)，M(3，2)，设M到直线NF的距离为d，在MNF中，SMNF|NF|d|MN|yM，所以d422，故选B.3(应用型)如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m水位下降1 m后，水面宽_m.解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x22py(p0)，则A(2，2)，将其坐标代入x22py，得p1.所以x22y.当水面下降1 m，得D(x0，3)(x00)，将其坐标代入x22y，得x6，所以x0.所以水面宽|CD|2 m.答案：24已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，直线y4与C的交点为P，与y轴的交点为Q，且|PF|PQ|，则抛物线C的方程为_解析：设P(x0，4)将点P的坐标代入y22px(p0)，得x0，所以|PQ|，|PF|.由题意得.又p0，解得p2.所以抛物线C的方程为y24x.答案：y24x5(2018高考全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程解：(1)由题意得F(1，0)，l的方程为yk(x1)(k0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)由得k2x2(2k24)xk20.16k2160，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由题设知8，解得k1(舍去)，k1.因此l的方程为yx1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y2(x3)，即yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则解得或因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.6(综合型)如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1y2的值及直线AB的斜率解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y22px(p0)因为点P(1，2)在抛物线上，所以222p1，解得p2.故所求抛物线的方程是y24x，准线方程是x1.(2)设直线