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音乐中的数学之美,南开大学第三届大学生“数学之美”论坛,孙思玉 应用心理学,目 录,音乐与数学结合的起源,最早将音乐与数学联系起来的研究要追溯至公元前六世纪的毕达哥拉斯学派，他们用比例把二者有机结合起来。,乐声的协调与所联系的整数之间有着密切的关系，拨动一根弦发出的声音取决于绷紧的弦的长度 协和音由长度与原弦长的比为整数比的弦给出 被拨动弦的每一种和谐的结合，都能表示为整数比，由增大成整数比的弦的长度，能够产生全部的音阶。,音乐与数学结合的起源,C B A G F E D C 2,.,音乐与数学结合的起源,五度相生律也是毕达哥拉斯的首创，故又名毕达哥拉斯律 基础音：发音体整体振动产生的最低的音是基础音，是由一根弦或空气柱整体振动时产生的 泛音：以基础音为标准，其余1/2、1/3、1/4等各部分也是同时振动，是泛音。泛音的组合决定了特定的音色，并能使人明确地感到基音的响度。乐器和自然界里所有的音都有泛音。,音乐与数学结合的起源,根据第一、二泛音间频率比为2：3的关系进行音的繁衍，以此为纯五度，进行一系列的五度相生，从而得到调中诸音。 纯律取泛音列中第一、二泛音之间的纯五度以及第三、四泛音间的大三度这两种音程为繁衍新音的要素，由频率比为4:5:6的几个大三和弦确定诸音高。,纯律的实际应用及乐谱记载在六世纪由我国梁代丘明传谱的碣石调幽兰。直至十六世纪我国在数学运算上有所突破，在算盘上用开两次平方和一次立方的方法求出了十二次方根，这实际就是一百多年后由德国人沃克梅斯特提出的十二平均律，其频率由等比数列通项公式 确定，公比为1.05946，是2开12次方的算数根。,音乐与数学结合的起源,乐理中的数学规律,音程转位,音程：两个音之间在音高上的关系 单音程：八度以内的音程 音程转位：将音程的冠音和根音相互颠倒位置,乐理中的数学规律,音程转位 对单音程而言，原音程及其转位音程的度数之和为9。 在音符方面，小于全音符的诸音符由除法确定，如二分音符为全音符的 ，四分音符为全音符的 。 拍子是拍的分组，如 拍子是以全音符的 为1拍，每小节有3拍，即 ，而 拍子可认为以全音符的 为一拍，每小节有6拍，即 。 ？,乐曲结构与黄金分割,乐曲结构与黄金分割,巴托克的顶峰之作 弦乐、打击乐与钢片琴的音乐,乐谱结构,这部作品第三乐章,89小节,B 34小节,A 21小节,A 34小节,一 21小节,二 13小节,二 8小节,一 13小节,二 21小节,一 13小节,高潮,55小节,34：55 13：21 21：34 8：13,黄金分割,8、13、21、34、55、89等小节数数字本身，则均含于黄金分割的另一种形式斐波那契数列（即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144等，且从第三项起每项均为前两项之和）。这个数列前两项之比1:1反映对称关系，而自第三项起，每相邻两项之比如2:3、3:5、5:8、8:13等均近似反映黄金分割的比例关系，且愈往后精确度愈高。由此可认为，上述乐曲的结构明显受斐波那契数列的制约。,和声的傅立叶分析,一个音叉所发出的声音，其图像就是一个正弦函数，如 。任何乐声的图像都是周期性的图像，它有固定的音高和频率。而傅立叶定理指出，任何一个周期函数都可以表示为三角级数的形式，如任何一个周期函数都可表示为 其中频率最低的一项为基本音，其余的为泛音。由公式知，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波。,和声的傅立叶分析,根据傅立叶定理，每个乐音都可以分解成一次谐波与一系列整数倍频率谐波的叠加。假设do的频率是 ，那么它可以分解成频率为 ， ， ， ，的谐波的叠加，即 ；同理，高音do的频率是 ，同样可以分解为频率为 ， ， ， ，的谐波的叠加，即 。这两列谐波的频率有一半是相同的，所以do和高音do是最和谐的。,傅立叶还发现每种声音都有三种品质：,与曲线的频率有关,与曲线的振幅有关,与周期函数的形状 有关,音调,音量,音色,乐器中的数学奥妙,能与某音发生共鸣的空气柱长度为该音波波长的 、 、1、2等倍。低音乐器发音低，声波长，所以要求共鸣箱有较大体积；高音乐器则反之，发音高，声波短，所以共鸣箱需较小体积。 由于一件乐器可以发出多个乐音，所以又要求其形状复杂，以利于在各个不同方位上形成不同长度的共鸣空气柱，适合于不同高度音响的需要。如中央C音频率为261.63Hz，波长1.3米，波长的 是0.325米，为保证该音共鸣，则共鸣箱的内空至少有一个方位为0.325米（或其2、4、8等倍数）。音越低，波长越大，跨越障碍的本领也越强，再加上频率低，能量损耗小的特点，决定了低音的传远性。,乐器中的数学奥妙,乐器之王钢琴的键盘，其琴键的音程恰好与斐波那契数列有关。在钢琴的键盘上，从一个C键到下一个C键就是音乐中的一个八度音程，其中共包括13个键，分别是8个白键和5个黑键，而5个黑键分成2组，一组有2个黑键，一组有3个黑键。2、3、5、8、13恰好就是斐波那契数列中的前几个数。,音乐是心灵的算术练习。 莱布尼茨 音乐是由数规定的运动。 奥古斯丁,音乐中出现数学与数学中存在音乐并非偶然，而是音乐与数学融合一体的完美体现。音乐可以抒发人们的情感，是对人们自己内心世界的反应和对客观世界的感触，因而是以一种感性的方式来描述世界，而数学