2019春九年级数学下册27相似小结学案（新版）新人教版.docx

小结学习目标1.理解相似图形及比例线段的概念,能应用其进行计算.2.掌握平行线分线段成比例定理及推论,会用平行线判定三角形相似.3.理解并掌握相似三角形的判定和性质,能进行相关证明和计算.4.了解图形的位似,能够利用位似将一个图形放大或缩小.5.会利用图形的相似解决一些简单实际问题.学习过程第一层学习:回顾思考1.相似三角形有哪些性质?位似图形呢?答:2.三角形的相似与三角形的全等有什么关系?如何判断两个三角形相似?答:3.举例说明三角形相似的一些应用.答:4.如何利用位似将一个图形放大或缩小?你能说出平移、轴对称、旋转和位似之间的异同,并举出一些它们的实际应用的例子吗?提示:答:第二层学习:典例剖析1.比例线段【例1】已知ab=cd=3,则a+cb+d(b+d0)的值是.【思路点拨】由已知可知:3b=a,3d=c,得到a+cb+d(b+d0)的值.解析:2.相似三角形的判定与性质【例2】如图所示,在ABC中,D,E分别为BC,AC的中点,AD,BE相交于点G,若SGDE=1,求SABC.【思路点拨】先求与GDE相似的GAB的面积,由相似比为12,得SABG=4,再根据AGE,BGD分别与GDE等高,可得面积为GDE的面积的2倍,从而可以得到四边形ABDE的面积,只要求出DEC的面积即可得出所求.解:【例3】如图所示,四边形ABCD中,AC平分DAB,ADC=ACB=90,E为AB的中点,连接CE.(1)求证:AC2=ABAD;(2)求证:CEAD;(3)连接DE,交AC于点F.若AD=4,AB=6,求ACAF的值.【思路点拨】(1)由AC平分DAB,ADC=ACB=90,可得ADCACB,从而得AC2=ABAD.(2)由E为直角三角形斜边AB的中点,得CE=12AB=AE,则DAC=ECA,得到CEAD.(3)证AFDCFE,由相似三角形的对应边成比例,求得ACAF的值.解:【例4】如图所示,已知在ABC中,AD是BC边上的中线,以AB为直径的O交BC于点D,过D作MNAC于点M,交AB的延长线于点N,过点B作BGMN于G.(1)求证:BGDDMA;(2)求证:直线MN是O的切线.【思路点拨】(1)根据垂直定义得出BGD=DMA=90,由圆周角定理、三角形内角和定理、对顶角性质及等角的余角相等得出DBG=ADM,再根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明BGDDMA;(2)连接OD.由三角形中位线的性质得出ODAC,根据垂直于同一直线的两直线平行得出ACBG,由平行公理推论得到ODBG,再由BGMN,可得ODMN,然后根据切线的判定定理即可证明直线MN是O的切线.证明:3.相似三角形的应用【例5】一天晚上,李明和张龙利用灯光下的影子来测量一路灯D的高度,如图所示,当李明走到点A处时,张龙测得李明直立身高AM与其影子长AE正好相等,接着李明沿AC方向继续向前走,走到点B处时,李明直立时(身高BN=AM)的影子恰好是线段AB,并测得AB=1.25 m.已知李明直立时的身高为1.75 m,求路灯的高CD.(结果精确到0.1 m)【思路点拨】根据AMEC,CDEC,BNEC得到MACDBN,从而得到ABNACD,利用相似三角形对应边的比相等列出比例式求解即可.解:4.位似图形的画法与性质【例6】如图所示,已知O是坐标原点,B,C两点的坐标分别为(3,-1),(2,1).(1)以O点为位似中心在y轴的左侧将OBC放大为原来的2倍(即新图与原图的相似比为2),画出图形;(2)分别写出B,C两点的对应点B,C的坐标;(3)如果OBC内部一点M的坐标为(x,y),写出M的对应点M的坐标.【思路点拨】(1)延长BO,CO分别到B,C,使OB,OC的长度分别是OB,OC的2倍.顺次连接三点即可.(2)从直角坐标系中,读出B,C的坐标.(3)观察坐标之间的关系可得M的坐标为(-2x,-2y).解:评价作业1.(6分)下列四条线段中,不是成比例线段的是()A.a=3,b=6,c=2,d=4B.a=83,b=8,c=5,d=15C.a=1,b=2,c=5,d=3D.a=2,b=1,c=6,d=32.(6分)ABCABC,A=45,B=100,则C等于()A.45B.100C.55D.353.(6分)如图所示,l1l2l3,直线a,b与l1,l2,l3分别相交于点A,B,C和点D,E,F,若ABBC=23,DE=4,则EF的长是()A.83B.203C.6D.104.(6分)如图所示,在ABCD中,E为CD上一点,连接AE,BD,且AE,BD交于点F,SDEFSABF=425,则DEEC等于()A.25B.23C.35D.325.(6分)如图所示,在ABC中,AB=AC,A=36,BD平分ABC交AC于点D,若AC=2,则AD的长是()A.5-12B.5+12C.5-1D.5+16.(8分)如图所示,1=2,添加一个条件使ADEACB:. 7.(8分)如图所示,在ABC中,ACB=90,CDAB,垂足是D,BC=6,BD=1,则CD=,AD=. 8.(8分)为了测量一棵树AB的高度,测量者在D点立一高CD=2 m的标杆,现测量者从F处可以看到杆顶C与树顶A在同一条直线上,如果测得BD=20 m,FD=4 m,EF=1.8 m,则树AB的高度为m. 9.(10分)如图所示,点C,D在线段AB上,PCD是等边三角形.(1)当AC,CD,DB满足怎样的关系时,ACPPDB?(2)当ACPPDB时,求APB的度数.10.(10分)如图所示,在边长均为1的小正方形网格纸中,OAB的顶点O,A,B均在格点上,且O是直角坐标系的原点,点A在x轴上.(1)以O为位似中心,将OAB放大,使得放大后的OA1B1与OAB对应线段的比为21,画出OA1B1(所画OA1B1与OAB在原点两侧);(2)求出线段A1B1所在直线的函数关系式.11.(12分)如图所示,直线PM切O于点M,直线PO交O于A,B两点,弦ACPM,连接OM,BC.求证:(1)ABCPOM;(2)2OA2=OPBC.12.(14分)如图,王爷爷家院子里有一块三角形田地ABC,AB=AC=5米,BC=6米,现打算把它开垦出一个矩形MNFE区域种植韭菜,AMN区域种植芹菜,CME和BNF区域种植青菜(开垦土地面积损耗均忽略不计),其中点M,N分别在AC,AB上,点E,F在BC上,已知韭菜每平方米收益100元,芹菜每平方米收益60元,青菜每平方米收益40元,设CM=5x米,王爷爷的蔬菜总收益为W元.(1)当矩形MNFE恰好为正方形时,求韭菜种植区域矩形MNFE的面积.(2)若种植韭菜的收益等于另两种蔬菜收益之和的2倍,求这时x的值.(3)求王爷爷的蔬菜总收益为W关于x的函数表达式及W的最大值.参考答案学习过程第一层学习:回顾思考1.答:相似三角形的性质有:(1)相似三角形的对应边成比例,(2)相似三角形的对应角相等,(3)相似三角形的对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线)的比等于相似比,(4)相似三角形的周长比等于相似比,(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.位似图形的性质:(1)位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上,它们到位似中心的距离之比等于相似比;(2)位似图形中的对应线段平行或在同一条直线上.2.答:三角形的相似包括三角形的全等,三角形的全等是相似比为1的三角形的相似.判断两个三角形相似的常用方法是:(1)利用平行线判定三角形相似:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所构成的三角形与原三角形相似.符合这一特征的图形有两种:“A”型和“X”型.(2)判定定理1:三边成比例的两个三角形相似.(3)判定定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.(4)判定定理3:两角分别相等的两个三角形相似.(5)直角三角形相似的判定:斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似.3.答:应用相似三角形可以测量不易直接得到的距离,如测河宽、测旗杆高等.4.答:应用位似作图的一般步骤是:确定位似中心:画位似图形时,位似中心可能在图形的内部,也可能在图形的外部,还可能在图形的边上.连接关键点与位似中心:找出关键点(多边形常取顶点),连接位似中心和关键点.画出对应点:根据相似比,确定原图形关键点的对应点,顺次连接所得的对应点,得到新的图形.写出作图的结论.平移、轴对称、旋转和位似之间的异同是:图形经过平移、旋转、轴对称后,图形的位置虽然改变了,但是图形的大小和形状没有改变,即两个图形是全等的;而图形经过位似变换后,图形是相似的.第二层学习:典例剖析1.比例线段【例1】解析:由ab=cd=3,得3b=a,3d=c,a+cb+d=3b+3db+d=3(b+d)b+d=3.答案:32.相似三角形的判定与性质【例2】解:D,E分别是BC,AC的中点,DEAB,DE=12AB,AGBDGE,SABGSDGE=ABDE2=4.SGDE=1,SABG=4.AGE的AG边上的高与GDE的DG边上的高相等,SAGESGED=AGDG=ABDE=2,SAGE=2,同理可得SGBD=2,S四边形ABDE=4+2+2+1=9.DEAB,EDCABC,设SABC=x,则xx-9=212,解得x=12,即SABC=12.【例3】解:(1)AC平分DAB,DAC=CAB.ADC=ACB=90,ADCACB,ADAC=ACAB,AC2=ABAD.(2)E为AB的中点,CE=12AB=AE,EAC=ECA.DAC=CAB,DAC=ECA,CEAD.(3)由(2)知CEAD,AFDCFE.ADCE=AFCF.CE=12AB,CE=126=3.AD=4,43=AFCF,ACAF=74.【例4】证明:(1)MNAC于点M,BGMN于G,BGD=DMA=90.以AB为直径的O交BC于点D,ADBC,ADC=90,ADM+CDM=90.DBG+BDG=90,CDM=BDG,DBG=ADM.BGDDMA.(2)如图所示,连接OD.BO=OA,BD=DC,OD是ABC的中位线,ODAC.MNAC,BGMN,ACBG,ODBG.BGMN,ODMN,直线MN是O的切线.3.相似三角形的应用【例5】解:设路灯高CD为x m,AMEC,CDEC,BNEC,EA=MA,MACDBN,EC=CD=x,ABNACD,BNCD=ABAC,即1.75x=1.25x-1.75,解得x=6.1256.1.路灯高CD约为6.1 m.4.位似图形的画法与性质【例6】解:(1)如图所示.(2)B(-6,2),C(-4,-2).(3)M的对应点M的坐标为(-2x,-2y).评价作业1.C2.D3.C4.B5.C6.B=E(答案不唯一)7.558.39.解:(1)当CD2=ACDB时,ACPPDB.PCD是等边三角形,PCD=PDC=60,ACP=PDB=120,若CD2=ACDB,由PC=PD=CD可得PCPD=ACDB,即PCBD=ACPD,ACPPDB.(2)当ACPPDB时,APC=PBD,由题知PDC=60,DPB+DBP=60,APC+BPD=60,APB=CPD+APC+BPD=120,即APB的度数为120.10.解:(1)如图所示的OA1B1就是OAB放大后的图象.(2)由(1)可得点A1,B1的坐标分别为(4,0),(2,-4),故设此直线的解析式为y=kx+b(k0),0=4k+b,-4=2k+b,解得k=2,b=-8.故线段A1B1所在直线的函数关系式为y=2x-8.11.证明:(1)直线PM切O于点M,PMO=90.弦AB是直径,ACB=90,ACB=PMO.ACPM,CAB=P,ABCPOM.(2)ABCPOM,ABPO=BCOM.又AB=2OA,OA=OM,2OAPO=BCOA.2OA2=OPBC.12.解:(1)作AHBC于点H,交MN于点D.AB=AC,AHBC,CH=HB=3,在RtACH中,AH=52-3