概率论与数理统计4183第02章课后习题解答.docVIP

习题2.11. 设随机变量X的分布律为PX=k=aN,k=1, 2,N,求常数a.解:由分布律的性质k=1pk=1得 P(X=1) + P(X=2) +.+ P(X=N) =1 N*aN=1, 即a=12. 设随机变量X只能取-1,0,1,2这4个值,且取这4个值相应的概率依次为12c, 34c,58c,716c,求常数c.解: 12c+34c+58c+716c=1 C=37163. 将一枚骰子连掷两次,以X表示两次所得的点数之和,以Y表示两次出现的最小点数,分别求X,Y的分布律.注: 可知X为从2到12的所有整数值可以知道每次投完都会出现一种组合情况，其概率皆为(1/6)*(1/6)=1/36，故P(X=2)=(1/6)*(1/6)=1/36(第一次和第二次都是1)P(X=3)=2*(1/36）1/18(两种组合(1,2)(2,1)P(X=4)=3*(1/36）1/12(三种组合(1,3)(3,1)(2,2)P(X=5)=4*(1/36）1/9(四种组合(1,4)(4,1)(2,3)(3,2)P(X=6)=5*(1/365/36(五种组合(1,5)(5,1)(2,4)(4,2)(3,3)P(X=7)=6*(1/36)1/6(这里就不写了,应该明白吧)P(X=8)=5*(1/36)5/36P(X=9)=4*(1/36)1/9P(X=10)=3*(1/36)1/12P(X=11)=2*(1/36)1/18P(X=12)=1*(1/36)1/36以上是X的分布律投两次最小的点数可以是1到6里任意一个整数,即Y的取值了.P(Y=1)=(1/6)*1=1/6 一个要是1,另一个可以是任何值P(Y=2)=(1/6)*(5/6)=5/36 一个是2,另一个是大于等于2的5个值P(Y=3)=(1/6)*(4/6)=1/9 一个是3,另一个是大于等于3的4个值P(Y=4)=(1/6)*(3/6)=1/12一个是4,另一个是大于等于4的3个值P(Y=5)=(1/6)*(2/6)=1/18一个是5,另一个是大于等于5的2个值P(Y=6)=(1/6)*(1/6)=1/36一个是6,另一个只能是6以上是Y的分布律了.4. 设在15个同类型的零件中有2个是次品,从中任取3次,每次取一个,取后不放回.以X表示取出的次品的个数,求X的分布律.解:X=0,1,2X=0时,P=C133C153=2235X=1时,P=C132*C21C153=1235X=2时,P=C130*C22C153=1355. 抛掷一枚质地不均匀的硬币,每次出现正面的概率为23,连续抛掷8次,以X表示出现正面的次数,求X的分布律.解:PX=k=C8k(23)k(13)8-k, k=1, 2, 3, 86. 设离散型随机变量X的分布律为X-123P141214求PX12, P23X52, P2X3, P2X3解: PX12=14 P23X52=12 P2X3=12+14=34 P2X10=PX11=0.002840习题2.21. 求0-1分布的分布函数.解:Fx=0, x0q, 0x11,x12. 设离散型随机变量X的分布律为:X-123P0.250.50.25求X的分布函数,以及概率P1.5X2.5, PX0.5.解:當x-1時,Fx=PXx=0; 當-1x2時,Fx=PXx=PX=-1=0.25; 當2x3時,Fx=PXx=PX=-1+PX=2=0.25+0.5=0.75; 當x3時,Fx=PXx=PX=-1+PX=2+PX=3=0.25+0.5+0.25=1;则X的分布函数F(x)为:Fx=0, &x-10.25, -1x20.75, 2x31, x3 P1.5X2.5=F2.5-F1.5=0.75-0.25=0.5 PX0.5=1-F0.5=1-0.25=0.753. 设F1(x),F2(x)分别为随机变量X1和X2的分布函数,且F(x)=a F1(x)-bF2(x)也是某一随机变量的分布函数,证明a-b=1.证: F+=aF+-bF+=1,即a-b=14. 如下4个函数,哪个是随机变量的分布函数:(1) F1x=0, &x-212, -2x02, x0(2) F2x=0, &x0sinx, 0x1, x(3) F3x=0, &x0sinx, 0x21, x2(4) F4x=0, &x0x+13, 0x121, x125. 设随机变量X的分布函数为F(x) =a+barctanx,-x+,求(1)常数a,b; (2) P-1X1 解: (1)由分布函数的基本性质F-=0,F+=1 得: a+b*(-2)=0a+b*(2)=1 解之a=12, b=1 (2)P-1X1=F1-F-1=a+b*4-(a+b*-4)=b*2=12(将x=1带入F(x) =a+barctanx)注: arctan为反正切函数,值域(-2,2), arctan1= 46. 设随机变量X的分布函数为Fx=0, &x1lnx, 1xe1, xe求PX2,P0X3,P2X2.5解: PX2=F(2)=ln2 注: F(x)=PXx P0X3=F3-F0=1-0=1; P2X2.5=F2.5-F2=ln2.5-ln2=ln2.52=ln1.25习题2.31. 设随机变量X的概率密度为:fx=acosx, x20, 其他. 求: (1)常数a; (2)P0X4; (3)X的分布函数F(x).解: (1)由概率密度的性质-+fxdx=1,-22acosxdx=asinx2-2=asin2-asin-2=asin2+asin2=a+a=1A=12(2) P0X4=12sin4-12sin0=12*22+12*0=24一些常用特殊角的三角函数值正弦余弦正切余切0010不存在/61/23/23/33/42/22/211/33/21/233/3/210不存在00-10不存在 (3) X的概率分布为:Fx=0, x-2121+sinx, -2x03. 求下列分布函数所对应的概率密度:(1) F1x=12+1arctanx, -x00, x0解: f2x=xe-x22, x00, x0 (指数分布)(3) F3x=0, x2解: f3x=cosx, 0 x20, 其他 (均匀分布)4. 设随机变量X的概率密度为fx=x, 0x12-x, 1 x20, 其他.求: (1)PX12; (2) P12X32.解:(1) PX12=1-F12=1-1222=1-18=78(2) (2) P12X3=1-F3=1-3-25-2=23至少有两次观测值大于3的概率为:C32(23)2(13)1+C33(23)3(13)0=20277. 设修理某机器所用的时间X服从参数为=0.5(小时)指数分布,求在机器出现故障时,在一小时内可以修好的概率.解: PX1=F1=1-e-0.58. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分计)服从参数为=15的指数分布,某顾客在窗口等待服务,若超过10分钟,他就离开.他一个月要到银行5次,以Y表示他未等到服务而离开窗口的次数.写出Y的分布律,并求PY1.解: “未等到服务而离开的概率”为PX10=1-F10=1-1-e-15*10=e-2PY=k=C5k(e-2)k(1-e-2)5-k, (k=0,1,2,3,4,5)Y的分布律:Y012345P0.4840.3780.1180.0180.0010.00004PY1=1-PY=0=1-0.484=0.5169. 设X N(3, 22),求:(1) ;(2) 常数c,使PXc=PXc.解: (1) P2X5=5-32-2-32=1-1-12=0.8413-1-0.6915=0.5328P-42= 1-P-2X2=1-2-32-2-32=1-0.3085-0.0062=0.6977 PX3= PX3=1-3-32=1-0=1-0.5=0.5(2) PXc=PXcPXc=1-PXcPXc+PXc=1c-32+c-32=1c-32=0.5经查表c-32=0,即C=310. 设X N(0,1),设x满足PXxx0.1-xx0.1 11. X N(10, 22),求:(1) P7X15;(2) 常数d,使PX-10d0.9.解: (1) P7X15=15-102-7-102=2.5-1-1.5=0.9938-0.0668=0.927(2) PX-10d=P10-dX10+d0.9=10+d-102-10-d-1020.9=d20.95经查表d2=1.65,即d=3.312. 某机器生产的螺栓长度X(单位:cm)服从正态分布N(10.05, 0.062),规定长度在范围10.050.12内为合格,求一螺栓不合格的概率.解: 螺栓合格的概率为:P10.05-0.12X10.05+0.12=P9.93X10.17=10.17-10.050.06-9.93-10.050.06=2-1-2=0.9772*2-1=0.9544螺栓不合格的概率为1-0.9544=0.045613. 测量距离时产生的随机误差X(单位:m)服从正态分布N(20, 402).进行3次独立测量.求:(1) 至少有一次误差绝对值不超过30m的概率;(2) 只有一次误差绝对值不超过30m的概率.解: (1) 绝对值不超过30m的概率为: P-30X0,0, y0(2) Y=gx=3X+1,值域為-,+, X=hy=Y-13, h(y)=13fYy=fxhy h(y)=1*13=13即fYy=13, 1 y4,0, 其他 注: 由XU(0,1), Y=3X+1,当X=0时,Y=3*0+1=1; ,当X=1时,Y=3*1+1=4(3) Y=gx=ex, X=hy=lny, h(y)=1yfYy=fxhy h(y)=1*1y=1y即fYy=1y, 0 ye,0, 其他注: ,当X=0时, Y=e0=0; ,当X=1时, Y=e1=e4. 设随机变量X的概率密度为fXx=32x2, -1&x00, 其他.求以下Y的概率密度:(1)Y=3X; (2) Y=3-X; (3) Y=X2.解: (1) Y=g(x)=3X, X=hy=Y3, h(y)=13fYy=fxhy h(y)=Y26*13=Y218即fYy=Y218, -3 y0,0, 其他(2)Y=g(x) =3-X, X=h(y) =3-Y, h(y)=-1注意是绝对值 h(y)fYy=fxhy h(y)=32*(3-Y)2+1=3(3-Y)22即fYy=3(3-Y)22, 3 y4,0, 其他(3) Y=g(x)=X2, X=h(y)=Y, h(y)=1 2YfYy=fxhy h(y)=3Y22*1 2Y=3Y4, 即fYy=3Y4, 0 y0,0, x0fYy=fxhy h(y)=e-*Y-12*12=12e-Y-12即fYy=12e-Y-12, y00, 其他(2) Y=gx=ex, X=hy=lnY,hy= 1YfYy=fxhy h(y)=e-lnY*1Y=1elnY*1Y=1Y*1Y=1Y2ex永远大于0.当x0是, ex1即fYy=1Y2, y10, 其他(3) Y=gx=X2,X=hy=Y, hy=12Y, fYy=fxhy h(y)=e-Y*12Y =12Y e-Y, 即fYy=12Y e-Y, y00, 其他6. XN(0,1),求以下Y的概率密度:(1) Y=X; 2Y=2X2+1解: (1) Y=gx=X, X=hy=Y, hy=1fXx=12e-(x-)222 -x00, y02Y=gx=2X2+1, X=hy=Y-12,hy=12Y-12fYy=fxhy h(y)=12e-(Y-12)22*12Y-12=12(y-1)e-y-14即fYy=12(y-1)e-y-14, y10, y1自测题一,选择题1,设一批产品共有1000件,其中有50件次品,从中随机地,有放回地抽取500件产品,X表示抽到次品的件数,则PX=3= C .A. C503C950497C1000500 B. A503A950497A1000500 C. C5003(0.05)3(0.95)497 D. 35002.设随机变量XB(4,0.2),则PX3= A . A. 0.0016 B. 0.0272 C. 0.4096 D. 0.8192解:PX3= PX=4=C44(0.2)4(1-0.2)0 (二项分布)3.设随机变量X的分布函数为F(x),下列结论中不一定成立的是 D .A. F+=1 B. F-=0 C. 0Fx1 D. F(x) 为连续函数4.下列各函数中是随机变量分布函数的为 B .A. F1x=11+x2, -x0C. F3x=e-x, -x+ D. F4x=34+12arctanx, -x100, x10 则常数a= A .A. -10 B. -1500 C. 1500 D. 10 解: F(x) =-+ax2dx=-ax=16.如果函数fx=x, axb0, 其他是某连续型随机变量X的概率密度,则区间a,b可以是 C A. 0, 1 B. 0, 2 C. 0,2 D. 1, 27.设随机变量X的取值范围是-1,1,以下函数可以作为X的概率密度的是 A A. 12, -1 x10, 其他 B. 2, -1 x10, 其他C. x, -1 x10, 其他 D. x2, -1 x10, 其他8.设连续型随机变量X的概率密度为fx=x2, 0 x20, 其他 则P-1 X1= B .A. 0 B. 0.25 C. 0.5 D. 1解: P-1 X1=-11x2dx=x241-1=149.设随机变量XU(2,4),则P3 x4= A . (需在区间2,4内)A. P2.25 x3.25 B. P1.5 x2.5C. P3.5 x4.5 D. P4.5 x0)的泊松分布,且P X=0=12P X=2,则= 2 .解:分别将P X=0,P X=2帶入Pk=P X=k=kk!e-.5.设随机变量X的分布函数为Fx=0, xa0.4, axb1, xb其中0ab,则P a2Xa+b2= 0.4 .解: P a2Xa+b2=Fa+b2-Fa2=0.4-0=0.46.设X为连续型随机变量,c是一个常数,则P X=c= 0.7. 设连续型随机变量X的分布函数为Fx=13ex, x013(x+1), 0x21, x2则X的概率密度为f(x),则当x00, x0其中概率密度为f(x),则f(1)= 2e-2 .9. 设连续型随机变量X的概率密度为fx=12a, -a x0.要使P X1=13,则常数a= 3 . 解: P X1=1-P X1=13,P X1=23=12a10.设随机变量XN(0,1),(x)为其分布函数,则x+(-x)= 1 .11.设XN(,2),其分布函数为Fx,(x)为标准正态分布函数,则F(x)与(x)之间的关系是Fx= (x-) .12.设XN(2,4),则P X2= 0.5 .13.设XN(5,9),已知标准正态分布函数值0.5=0.6915,为使P Xa0.6915,则常数a 6.5 . 解: Fa=a-=a-53, a-530.514. 设XN(0,1),则Y=2X+1的概率密度fYy= 122e-(Y-1)28 .解: Y=gx=2X+1, X=hy=Y-12,hy=12fYy=fxhy h(y)=12e-(Y-12)22*12=122e-(Y-1)28三.袋中