数理统计习题解答.doc

第七章 参数估计总习题七1设元件寿命服从正态分布，其中参数、都是未知的，现随机抽取6个元件，测得其使用寿命（单位：小时）分别为：1498 1502 1578 1366 1454 1650试求总体均值和方差 的矩估计值解：故，,故，2电阻的使用寿命服从参数为的指数分布，参数未知。今抽查了6只电阻测得到以下数据（单位：年）：，求参数的矩估计值解：3.设一射手向某目标射击,直到击种目标为止,假定其命中率为,用表示射手射击的次数,写出的分布律.如果是取自的样本,求的矩估计和极大似然估计解：(1)的分布率为,令则故,(2)令,故4设总体的概率密度为其中为待估参数。设是来自的样本，求的矩估计量解： 5.设为总体的一个样本,求下列总体的密度函数中未知参数的矩估计量:(1) 其中为已知,为未知参数(2)解：(1) 故从而(2) 6设总体的概率密度为其中是未知参数，是已知常数。试根据来自总体的样本，求的极大似然估计量解：令,得7设总体的概率密度为是取自总体的简单随机样本（1）求的矩估计量；（2）求方差解：（1）,(2）, 故8.设总体的数学期望为,方差为,和分别来自的样本,证明:是的无偏估计量证明：9. 设总体服从参数为的指数分布,概率密度为,其中参数为未知,由设是来自的样本,试证和都是的无偏估计量证明：(1) 故是的无偏估计量(2) 的分布函数为,故的分布函数为,故的密度函数为,故,故,故是的无偏估计量10.设总体服从正态分布,为未知参数, 是来自的一个样本.试证明是的有效估计量证明： , ,其中, 故故而 . 故不是的有效估计量.11.对铁的熔点作5次试验，其结果为：1550 1540 1560 1530 1540 （单位：），假设熔点服从正态分布，在下，求总体均值的置信区间解：未知时, 的置信度为的置信区间为,其中, 故的置信度为的置信区间为,即.12某中疾病的存活时间，现随机抽查16个患此疾病的患者，得到，求的置信度为的置信区间解：已知时, 的置信度为的置信区间为,其中, 故的置信度为的置信区间为,即.13随机抽取500克包装的食盐16袋，称得重量（单位：克）如下： 506 508 499503 510 504 512 497 514 493 505 502 496 506 509 496 ，设重量近似地服从正态分布，试求总体均值的置信度为的置信区间解：未知时, 的置信度为的置信区间为,其中, 故的置信度为的置信区间为,即.14设5岁儿童的身高服从，随机抽查12名儿童，得到，求的置信区间（解：未知时, 的置信度为的置信区间为,其中, 故的置信度为的置信区间为.15测试一批液晶显示屏的响应时间（单位：毫秒）如下：9.2 8.6 10.3 6.5 8.8 9.411.4 10.5 8.2 7.8 6.9 ，假设响应时间服从，未知， 试求：（1）的置信度为0.95的置信区间（2）的置信度为0.95的置信区间解：(1)未知时, 的置信度为的置信区间为,其中, 故的置信度为的置信区间为.(2) 未知时, 的置信度为的置信区间为,其中, 故的置信度为的置信区间为.16一只新的过滤器用来替换旧的过滤器安装在医院的空调上，以减少空气中的细菌数。分别使用新旧过滤器，记录一周内各天一立升空气中含的细菌菌落数，所得数据如下：旧的过滤器12.8 11.6 8.2 14.1 9.0 15.9 14.5新的过滤器10.1 11.6 12.1 10.3 9.1 15.3 13.0设两样本分别来自总体，且，均未知，两样本相互独立。求的置信度为0.9的置信区间解：未知时, 的置信度为的置信区间为,其中, 故的置信度为的置信区间为.17为了比较甲乙两类试验田的收获量，随机抽取甲类试验田8块，乙类试验田10块，测得收获量如下（单位：）甲类：12.6 10.2 11.7 12.3 11.1 10.5 10.6 12.2乙类：8.6 7.9 9.3 10.7 11.2 11.4 9.8 9.5 10.1 8.5假定这两类试验田的收获量都服从正态分布且方差相同，求均值差的置信度为0.95的置信区间解：未知时, 的置信度为的置信区间为,其中, 故的置信度为的置信区间为.18为比较两个煤矿所产煤的质量，测得以下的发热量（单位：百万卡/吨）煤矿A： 8330 8500 8480 8030 7960煤矿B： 7710 7920 7890 8270 7860设样本来自总体，均未知，且两样本独立，试求方差比的置信区间（解：未知时, 的置信度为的置信区间为,其中, 故的置信度为的置信区间为.19研究由机器A和机器B生产的钢管的内径，随机抽取机器A生产的管子18只，测得样本方差；抽取机器B生产的管子13只，测得样本方差.设两样本相互独立，且设由机器A、机器B生产的管子的内径分别服从正态分布，这里均未知，试求方差比的置信度为0.90的置信区间解：未知时, 的置信度为的置信区间为,其中, 故的置信度为的置信区间为.20设从一大批产品中随机取出200个，测得一级品为120个，试以0.95为置信度求这批产品中一级品的概率的置信区间解：的置信度为的置信区间为,其中, 故的置信度为的置信区间为.21经市场调查，800名被调查者中有420人喜欢无糖饮料，求喜欢无糖饮料的人的概率作置信度为0.95的置信区间解：的置信度为的置信区间为,其中, 故的置信度为的置信区间为.习题八1.某手表厂生产的女表表壳，正常情况下，其直径（单位：）服从正态分布，在某天的生产过程中抽查只表壳，测得直径分别为19 19.5 19 20 20.5，问生产是否正常？（）解：设，检验统计量， 拒绝域， 检验值 所以在下，接受，即认为生产正常。2.正常人的脉搏平均为72次/分，现某医生测得10例慢乙基上铅中毒患者的脉搏（次/分）如下：54 67 78 68 70 67 66 70 69 65已知乙基四铅中毒者的脉搏服从正态分布，试问：乙基四铅中毒者和正常人的脉搏有无显著的差异？（）解：由题意设未知，取检验统计量，当为真时 ，拒绝域 ， ， 检测值，拒绝，接受，即乙基四铅中毒者和正常人的脉搏有显著的差异。3.检查一批保险丝，抽取10根，在通过强电流后熔化后需时间（秒）为：65 42 78 75 71 69 68 57 55 54,在下，问（已知熔化时间服从）。（1）能否认为这批保险丝的平均熔化时间少于65秒？（2）能否认为熔化时间的方差不超过80？解：（1）取检验统计量，当为真时 ，拒绝域 ， ， 检测值，接受即在显著性水平下，不能认为这批保险丝的平均熔化时间少于65秒。（2）由，设检验统计量拒绝域 检验值 ，接受，即在显著性水平下，能认为熔化时间的方差不超过80。4.某种导线，要求其电阻的标准差不得超过，今在生产的一批导线中抽取样品9根，测得，设总体为正态分布，问在水平下能认为这批导线电阻的标准差显著地偏大吗？解：由，设检验统计量拒绝域 ， 检验值 ，拒绝，接受，即在显著性水平下，能认为这批导线电阻的标准差显著地偏大。5.使用（电学法）和（混合法）两种方法来研究冰的潜热，样本都是的冰，下列数据是每克冰从 变为水的过程中热量变化（卡/克）A:79.78 80.04 80.02 80.04 80.03 80.04 79.97 80.05 80.03 80.02 80.00 8.02 B:80.02 79.94 79.97 79.98 80.03 79.95 79.97假定用每种方法测得的数据都服从正态分布，并且它们的方差相等，试在下检验 :两种方法的总体均值相等解：，取检验统计量，当为真时 ，拒绝域 ， ， ， 检测值，接受，即在显著性水平下，两种方法的总体均值相等。6.为比较成年男女红细胞数的差别，检查正常男子36名，女子25名，测得男性的均值和方差分别为465.13和54.802，测得女性的均值和方差分别为 422.16和49.302 ，假设血液中红细胞数服从正态分布，问（）（1）男女的红细胞数目的不均匀性是否一致？即问两正态总体的方差是否相同？（2）性别对红细胞数目有无影响？解：（1）设检验统计量，当为真时 拒绝域 ， 检测值 ， ，接受，在显著性水平下，即男女的红细胞数目的不均匀性是一致。（2）若，取检验统计量，当为真时 ，拒绝域 ， ， 检验值，拒绝，接受，即在显著性水平下，性别对红细胞数目有影响。7.有一大批产品，从中随机抽查50件，查出其中有31件是一级品，问是否可以认为这批产品的一级品率为65%（）？ 解：设 检验统计量 ， 当n充分大时，故拒绝域 ， U的观察值， ，接受即在显著性水平下，可以认为这批产品的一级品率为65%。8.为了考察某公路上通过汽车辆数的规律，记录每15秒内通过汽车的辆数，统计工作持续了50分钟，得频数分布如下表：辆数0 1 2 3 4 频数92 68 28 11 1 0问15秒钟内通过汽车的辆数是否服从泊松分布？（）解：设由极大似然估计 序号数量 109204458921680360322801464311004815254160200090为真时，则，拒绝域，故接受，即15秒钟内通过汽车的辆数服从泊松分布。总习题八1某产品按规定每包重为10kg，现从中抽取6包进行测量，得9.7 10.1 9.8 10.0 10.2 9.6 kg，若包重服从正态分布，且，问在下，包的平均重量是否为10kg？解： 令取检验统计量：对应的拒绝域为，其中，故的观测值为，故，接受，即在显著性水平下，不能认为平均重量为10kg。2正常人的脉搏平均为72次/min，现某医生从铅中毒的患者中抽取10个人，测得其脉搏为：54 68 67 78 70 67 66 70 69 65次/min。设脉搏服从正态分布，问在水平下，铅中毒患者与正常人的脉搏是否有显著性差异？解： 令取检验统计量：对应的拒绝域为，其中，故的观测值为，故，接受，即在显著性水平下，中毒者脉搏与正常人无显著差异。3某灯泡的使用寿命不低于1000 h为合格，现从一大批灯泡中随机抽出25只，测得h，已知灯泡寿命，问在下，能否认为这批灯泡合格？解：由于故令取检验统计量：对应的拒绝域为，其中，故的观测值为，故，拒绝，即在显著性水平下，不能认为这批灯泡合格。4设某次考试的考生成绩服从正态分步，从中随机抽取位考生的成绩，算得平均成绩为分，标准差为分。问在显著性水平下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为分？并给出检验过程。解： 设成绩则 令取检验统计量：对应的拒绝域为，其中，故的观测值为，故，接受，即在显著性水平下，可以认为平均成绩为70。5某元件的寿命服从方差的正态分布，今从中随机抽取25只进行测量，得，问在下，这批元件的波动性较以往有无显著变化？解：设寿命 令取检验统计量：对应的拒绝域为，其中，故的观测值为，故，接受，即在显著性水平下，波动性无明显改善。6任取10根保险丝作熔化试验，得，设熔化时间服从正态分布，在下，试问熔化时间的方差是否大于100？解： 令取检验统计量：对应的拒绝域为，其中，故的观测值为，故，接受，即在显著性水平下，波动性无明显改善。7A、B两台机床，生产相同型号的滚珠。从A机床生产的滚珠中任取8个，从B机床生产的滚珠中任取9个，测量直径得数据如下（单位：mm）：A机床：15.0 14.5 15.5 15.2 14.8 15.2 15.1 14.8B机床：15.2 14.8 15.0 15.2 15.0 14.8 15.0 15.1 14.8假设滚珠直径服从正态分布。问在下，两台机床生产的滚珠的直径是否可以认为具有同一分布？解：设A机床生产的滚珠直径B机床生产的滚珠直径(1) 令取检验统计量：,对应的拒绝域为，其中，故的观测值为，故，,接受，即在即两者均值相等。(2) 令取检验统计量：，对应的拒绝域为，其中，故的观测值为，故,接受，即在即两者方差相等，所以，在显著性水平下，可以认为两者服从同一分布。8设有两个来自不同正态总体的样本，在下，试检验两个样本是否来自于相同方差的正态总体？解：设两个方差分别为令取检验统计量：，对应的拒绝域为，其中，故的观测值为，故,接受，即两个样本是来自于相同方差的正态总体。习题九1.调查十家百货商店，每人月平均销售额和利润率的资料如下人均销售额（千元）6 5 8 1 4 7 6 3 3 7 利润率% 12.6 10.4 18.5 3 8.1 16.3 12.3 6.2 6.6 16.8计算相关系数，并说明人均销售额和利润率之间相关的方向和相关的密切程度。解：设表示第个商店每人月平均销售额,相应的利润率为， ， 所以人均销售额和利润率之间正相关且高度线性相关。2某工业公司为了调查某种产品的月产量和生产费用之间的相关关系，随机调查公司下属八家企业，调查资料如下企业编号月产量（千吨）生产费用（万元）1234567812203.13.85.06.17.28.0628680110115132135160试计算月产量和生产费用之间的相关系数，并说明它们相关的方向和密切程度。解：设和分别表示月产量和生产费用，, ， 所以,月产量和生产费用之间正相关且高度线性相关。3根据以下数据资料 25 18 32