高等数学1.11闭区间上连续函数的性质.ppt

,111 闭区间上连续函数的性质,一、最大值与最小值,二、介值定理,最大值与最小值、,最大值和最小值定理、有界性定理,零点、,零点定理、介值定理,一、最大值与最小值,举例 ：,最大值与最小值： 对于在区间I上有定义的函数f(x)，如果有 x 0I，使得对于任一x I都有 f(x)f(x 0) (f(x)f(x 0)， 则称f(x 0)是函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）,函数f(x)=1+sin x在区间0，2p上有最大值2和最小值0,函数f(x)=sgn x 在区间(-，+)内有最大值 1和最小值-1,一、最大值与最小值,举例 ：,最大值与最小值： 对于在区间I上有定义的函数f(x)，如果有 x 0I，使得对于任一x I都有 f(x)f(x 0) (f(x)f(x 0)， 则称f(x 0)是函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）,在开区间(0，+)内，sgn x的最大值和最小值都是1,一、最大值与最小值,举例 ：,最大值与最小值： 对于在区间I上有定义的函数f(x)，如果有 x 0I，使得对于任一x I都有 f(x)f(x 0) (f(x)f(x 0)， 则称f(x 0)是函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）,但函数f(x)=x在开区间(a，b)内既无最大值又无最小值,一、最大值与最小值,举例 ：,最大值与最小值： 对于在区间I上有定义的函数f(x)，如果有 x 0I，使得对于任一x I都有 f(x)f(x 0) (f(x)f(x 0)， 则称f(x 0)是函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）,注1 ： 定理1说明，如果函数f(x)在闭区间a，b上连续，那么至 少有一点x1a，b，使f(x1)是f(x)在a，b上的最大值，又至少 有一点x2a，b，使f(x2)是f(x)在a，b上的最小值,定理1 （最大值和最小值定理）在闭区间上连续的函数在该 区间上一定有最大值 和最小值,注2： 如果函数在开区间内连续，或函数在闭区间上有间 断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值,在开区间(a，b) 考察函数y=x,函数f(x)=x在开区间(a，b) 内既无最大值又无最小值,定理1 （最大值和最小值定理）在闭区间上连续的函数在该 区间上一定有最大值 和最小值,在闭区间0，2 考察函数,函数 y=f(x)在开区间0，2 内既无最大值又无最小值,注2： 如果函数在开区间内连续，或函数在闭区间上有间 断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值,定理1 （最大值和最小值定理）在闭区间上连续的函数在该 区间上一定有最大值 和最小值,证明 设函数f(x)在闭区间a，b上连续由定理1，函数f(x)在区间a，b上有最大值M 和最小值m ，使任一x a，b满足 mf(x)M 上式表明，f(x)在a，b上有上界M和下界m ，因此函数f(x)在 a，b上有界,定理2（有界性定理）在闭区间上连续的函数一定在该区间 上有界,定理1 （最大值和最小值定理）在闭区间上连续的函数在该 区间上一定有最大值 和最小值,二、介值定理,零点： 如果x0使f(x0)=0，则x0称为函数f(x)的零点,定理3（零点定理）设函数f(x)在闭区间a，b上连续， 且 f(a)与f(b)异号（即f(a)f(b)0），那么在开区间(a，b)内至少有函 数f(x)的一个零点，即至少有一点x (axb)使f(x)=0,几何意义：,例1 证明方程x 3-4x 2+1=0在区间(0，1)内至少有一个根 证明 函数f(x)= x 3-4x 2+1在闭区间0，1上连续，,f(0)=10， f(1)=-20 根据零点定理，在(0，1)内至少有一点x ，使得 f(x)=0，即 x 3-4x 2+1=0 (0x1) 这等式说明方程x 3-4x 2+1=0在区间(0，1)内至少有一个根是x ,又,定理3（零点定理）设函数f(x)在闭区间a，b上连续， 且 f(a)与f(b)异号（即f(a)f(b)0），那么在开区间(a，b)内至少有函 数f(x)的一个零点，即至少有一点x (axb)使f(x)=0,定理4（介值定理）设函数f(x)在闭区间a，b上连续，且在 这区间的端点取不同的函数值 f(a)=A及f(b)=B，那么，对于A与B 之间的任意一个数C，在开区间(a，b)内至少有一点x ，使得 f(x)=C (axb),定理3（零点定理）设函数f(x)在闭区间a，b上连续， 且 f(a)与f(b)异号（即f(a)f(b)0），那么在开区间(a，b)内至少有函 数f(x)的一个零点，即至少有一点x (axb)使f(x)=0,连续曲线弧y=f(x)与水平直线y=C至少交于一点.,x1,x,x2,y= C,C,介值定理的几何意义：,介值定理的证明 设j(x)=f(x)-C，则j(x)在闭区间a，b上 连续，j(a)=A-C与j(b)=B-C异号根据零点定理，在开区间 (a，b)内至少有一点x 使得 j(x)=0 (axb) 但j(x)=f(x)-C，因此由上式即得 f(x)=C (axb),推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小 值m之间的任何值,定理4（介值定理）设函数f(x)在闭区间a，b上连续，且在 这区间的端点取不同的函数值 f(a)=A及f(b)=B，那么，对于A与B 之间的任意一个数C，在开区间(a，b)内至少有一点x ，使得 f(x)=C (axb),定理3（零点定理）设函数f