高中数学 导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.1函数的单调性与导数（二）学案新人教A版 .docx

1.3.1函数的单调性与导数(二)学习目标1.会利用导数证明一些简单的不等式问题.2.掌握利用导数研究含参数的单调性的基本方法1函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a，b)内的函数yf(x)：f(x)的正负f(x)的单调性f(x)0单调递增f(x)0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上f(x)不恒为0.2函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数yf(x)，在区间(a，b)上导数的绝对值函数值变化函数的图象越大快比较“陡峭”(向上或向下)越小慢比较“平缓”(向上或向下)3.利用导数解决单调性问题需要注意的问题(1)定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间(2)注意“临界点”和“间断点”：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点(3)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开1如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)在此区间内没有单调性()2函数在某区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值越大()类型一利用导数求参数的取值范围例1若函数f(x)kxln x在区间(1，)上单调递增，则k的取值范围是_考点利用导数求函数的单调区间题点已知函数的单调性求参数(或其范围)答案1，)解析由于f(x)k，f(x)kxln x在区间(1，)上单调递增，等价于f(x)k0在(1，)上恒成立由于k，而01，所以k1.即k的取值范围为1，)引申探究1若将本例中条件递增改为递减，求k的取值范围解f(x)k，又f(x)在(1，)上单调递减，f(x)k0在(1，)上恒成立，即k，01，k0.即k的取值范围为(，02若将本例中条件递增改为不单调，求k的取值范围解f(x)kxln x的定义域为(0，)，f(x)k.当k0时，f(x)0时，令f(x)0，得x，只需(1，)，即1，则0k0(或f(x)1，即a2时，函数f(x)在(，1)和(a1，)上单调递增，在(1，a1)上单调递减，由题意知(1,4)(1，a1)且(6，)(a1，)，所以4a16，即5a7.故实数a的取值范围为5,7方法二(数形结合法)如图所示，f(x)(x1)x(a1)因为在(1,4)内，f(x)0，在(6，)内f(x)0，且f(x)0有一根为1，所以另一根在4,6上所以即所以5a7.故实数a的取值范围为5,7方法三(转化为不等式的恒成立问题)f(x)x2axa1.因为f(x)在(1,4)上单调递减，所以f(x)0在(1,4)上恒成立即a(x1)x21在(1,4)上恒成立，所以ax1，因为2x17，所以当a7时，f(x)0在(6，)上恒成立综上知5a7.故实数a的取值范围为5,7类型二证明不等式例2证明exx1sin x1(x0)考点利用导数研究函数的单调性题点利用导数证明不等式证明令f(x)exx1(x0)，则f(x)ex10，f(x)在0，)上单调递增，对任意x0，)，有f(x)f(0)，而f(0)0，f(x)0，即exx1，令g(x)xsin x(x0)，g(x)1cos x0，g(x)g(0)，即xsin x0，x1sin x1(x0)，综上，exx1sin x1.反思与感悟用导数证明不等式f(x)g(x)的一般步骤(1)构造函数F(x)f(x)g(x)，xa，b(2)证明F(x)f(x)g(x)0，且F(a)0.(3)依(2)知函数F(x)f(x)g(x)在a，b上是单调递增函数，故f(x)g(x)0，即f(x)g(x)这是因为F(x)为单调递增函数，所以F(x)F(a)0，即f(x)g(x)f(a)g(a)0.跟踪训练2已知x0，证明不等式ln(1x)xx2成立考点利用导数研究函数的单调性题点利用导数证明不等式证明设f(x)ln(1x)xx2，则f(x)1x.当x1时，f(x)0，则f(x)在(1，)内是增函数当x0时，f(x)f(0)0.当x0时，不等式ln(1x)xx2成立.1已知命题p：对任意x(a，b)，有f(x)0，q：f(x)在(a，b)内是单调递增的，则p是q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点函数的单调性与导数的关系题点利用导数值的正负号判定函数的单调性答案A2已知对任意实数x，都有f(x)f(x)，g(x)g(x)，且当x0时，f(x)0，g(x)0，则当x0，g(x)0 Bf(x)0，g(x)0Cf(x)0 Df(x)0，g(x)0时，f(x)，g(x)都单调递增，则当x0，g(x)0.3已知函数f(x)x312x，若f(x)在区间(2m，m1)上单调递减，则实数m的取值范围是_考点利用导数求函数的单调区间题点已知函数的单调性求参数(或其范围)答案1,1)解析f(x)0，即3x2120，得2x2.f(x)的减区间为2,2，由题意得(2m，m1)2,2，得1m1.4函数yaxln x在上单调递增，则a的取值范围为_考点利用导数求函数的单调区间题点已知函数的单调性求参数(或其范围)答案2，)解析ya，由题意知，当x时，y0，即a在上恒成立，由x得，0，所以f(x)在(，)上为单调递增函数，其图象若穿越x轴，则只有一次穿越的机会，显然x0时，f(x)0.所以方程xsin x0有唯一的实根x0.利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f(x)0(或f(x)0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“”时是否满足题意；(2)先令f(x)0(或f(x)0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“”时，f(x)是否满足题意.一、选择题1函数yx42x25的单调递减区间为()A(，1)和(0,1)B1,0和1，)C1,1D(，1和1，)考点利用导数求函数的单调区间题点利用导数求不含参数函数的单调区间答案A解析y4x34x，令y0，即4x34x0，解得x1或0x1，所以函数的单调递减区间为(，1)和(0,1)，故选A.2若f(x)，eaf(b) Bf(a)f(b)Cf(a)1考点利用导数研究函数的单调性题点比较函数值的大小答案A解析由f(x)e，f(x)在(e，)上为减函数，eaf(b)3若函数f(x)2x2ln x在定义域内的一个子区间(k1，k1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是()A. B. C(1,2 D1,2)考点利用导数求函数的单调区间题点已知函数的单调性求参数(或其范围)答案A解析显然函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)4x.由f(x)0，得函数f(x)的单调递增区间为；由f(x)0，得函数f(x)单调递减区间为.因为函数在区间(k1，k1)上不是单调函数，所以k1k1，解得k，又因为(k1，k1)为定义域内的一个子区间，所以k10，即k1.综上可知，1k.4若a0，且f(x)x3ax在1，)上是增函数，则a的取值范围是()A(0,3) B(0,3C(3，) D3，)考点利用导数求函数的单调区间题点已知函数的单调性求参数(或其范围)答案B解析由题意得，f(x)3x2a0在x1，)上恒成立，即a(3x2)min3，又a0，0a3.5若函数ya(x3x)在上单调递减，则a的取值范围是()A(0，) B(1,0)C(1，) D(0,1)考点利用导数求函数的单调区间题点已知函数的单调性求参数(或其范围)答案A解析ya(3x21)3a，当x时，0，要使ya(x3x)在上单调递减，只需y0.6设f(x)，g(x)在a，b上可导，且f(x)g(x)，则当axg(x)Bf(x)g(x)f(a)Df(x)g(b)g(x)f(b)考点利用导数研究函数的单调性题点构造法的应用答案C解析设h(x)f(x)g(x)，f(x)g(x)0，h(x)0，h(x)在a，b上是增函数，当axh(a)，f(x)g(x)f(a)g(a)，即f(x)g(a)g(x)f(a)二、填空题7若ysin xax在R上是增函数，则a的取值范围是_考点利用导数求函数的单调区间题点已知函数的单调性求参数(或其范围)答案1，)解析因为ycos xa0，所以acos x对xR恒成立所以a1.8若函数yax3ax22ax(a0)在1,2上为增函数，则a的取值范围是_考点利用导数求函数的单调区间题点已知函数的单调性求参数(或其范围)答案(，0)解析yax2ax2aa(x1)(x2)0，当x(1,2)时，(x1)(x2)0，a0，a0.10若函数f(x)x2bln(x2)在(1，)上是减函数，则b的取值范围是_考点利用导数求函数的单调区间题点已知函数的单调性求参数(或其范围)答案(，1解析f(x)x，由题意知f(x)x0在(1，)上恒成立，即x在(1，)上恒成立，x1，x210，bx(x2)，设yx(x2)，则yx22x(x1)21，x1，y1，要使bx(x2)成立，则有b1.11若f(x)(xR)在区间1,1上是增函数，则a的取值范围是_考点利用导数求函数的单调区间题点已知函数的单调性求参数(或其范围)答案1,1解析f(x)2，f(x)在1,1上是增函数，f(x)20.(x22)20，x2ax20对x1,1恒成立令g(x)x2ax2，则即1a1.即a的取值范围是1,1三、解答题12已知函数f(x)ax2ln(x1)(1)当a时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间1，)上为减函数，求实数a的取值范围考点利用导数求函数的单调区间题点已知函数的单调性求参数(或其范围)解(1)当a时，f(x)x2ln(x1)(x1)，f(x)x(x1)当f(x)0时，解得1x1；当f(x)1.故函数f(x)的单调递增区间是(1,1)，单调递减区间是(1，)(2)因为函数f(x)在区间1，)上为减函数，所以f(x)2ax0对任意x1，)恒成立，即a对任意x1，)恒成立令g(x)，易求得在区间1，)上g(x)0，故g(x)在区间1，)上单调递增，故ming(1)，故a.即实数a的取值范围为.13已知函数f(x)ln x.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)证明：当x1时，f(x)0，得解得0x.故f(x)的单调递增区间是.(2)证明令F(x)f(x)(x1)，x(1，)则F(x).当x(1，)时，F(x)1时，F(x)1时，f(x)0时，xf(x)f(x)0成立的x的取值范围是_考点利用导数研究函数的单调性题点构造法的应用答案(，1)(0,1)解析因为f(x)(xR)为奇函数，f(1)0，所以f(1)f(1)0.当x0时，令g(x)，则g(x)为偶函数，且g(1)g(1)0.则当x0时，g(x)0，故g(x)在(0，)上为减函数，在(，0)上为增函数所以在(0，)上，当0xg(1)00f(x)0；在(，0)上，当x1时，g(x)g(1)00.综上，使得f(x)0成立的x的取值范围是(，1)(0,1)15设函数f(x)xekx(k0)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(1,1)上单调