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浅谈用向量法证明立体几何中的几个定理15号海南华侨中学（570206） 王亚顺摘要：向量是既有代数运算又有几何特征的工具，在高中数学的解题中起着很重要的作用。在立体几何中像直线与平面平行的判定，平面与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定等定理都没有给出证明，而用向量法很容易证明这些定理。关键词：向量法 直线 平面 平行 垂直 立体几何 在高中阶段我们学习了平面向量与空间向量的基本知识，而向量本身既可以进行代数运算又含有几何特征，这是很典型的知识，促使其在代数或几何方面都可以得到很好的应用，因此，在解题方面我们运用向量知识及本身含有的运算去解决问题的方法，我们称为向量法。即向量法既能解决代数问题也能解决几何问题。立体几何是我们高中学习的一个难点，关键在于其抽象性及理解定理的基础上灵活运用，抽象性在此就不多言了，我们来谈下定理的问题。在高中人教A版的第二章点、直线、平面之间的位置关系中，对于直线与平面平行的判定，平面与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定等定理都没有给出证明，课本中只是探究说明，让学生体会而得到。如果能给出证明，就能够很好地体现定理的严密性，在此可以用向量法来证明。下面我们就用向量法证明这些定理，先介绍一些向量知识及相关定理。定义1 两个向量与的长度与他们之间的夹角的余弦的乘积称为与的数量积。记为。特别地，若非零向量与垂直，即，则【1】定义2 空间任意两个向量与的向量积是一个向量，记为（或）。它的模为，其中为向量与之间的夹角，它的方向与和都垂直，并且按向量、这个顺序构成右手坐标系【2】。如图1 图1定理1 两个向量与共线的充分必要条件是。【3】定义3 给定空间的三个向量、，如果先做前两个向量与的向量积，再做所得向量与第三个向量的数量积，最后得到的这个数叫做三个向量的混合积。记作或者。【4】定理2 轮换混合积的三个因子，并不改变的它的值，对调任何两个因子要改变混合积的符号，即。【5】下面我们用以上的向量知识证明立体几何的几个定理。直线与平面平行的判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。已知：如图2，证明：。baaba ooc 图2 图3分析：在平面内找到一直线，证明即可。证明：如图3，在平面内的直线上取一点，过点作一直线与直线交于点；设直线、上分别有非零向量、。根据定理2，有，即与垂直。直线与平面的垂线垂直，又直线在平面外，。 证毕平面与平面平行的判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一平面平行，则这两个平面平行。已知：如图4，证明：。abaPmPbcd 图4 图5分析：证明平面内任一条直线都平面平行即可。证明：如图5，设直线为平面内任一条直线，在平面内取两条相交直线与，又设直线、上分别有非零向量、。由于、是平面内两条不共线的向量，则由平面向量基本定理可知，。即直线与平面平行，又直线为平面内任一条直线。 证毕直线与平面垂直的判定定理 一条直线与一平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。已知：如图6，证明：。lPabcPbla 图6 图7分析：由线面垂直定义，直线垂直于平面内任一条直线。证明：如图7，设直线为平面内任一条直线，又设直线、上分别有非零向量、。由于与是平面内两个不共线的向量，由平面向量基本定理，有。 即直线与直线垂直，又直线为平面内任一条直线，由线面垂直定义可知。 证毕用向量法证明立体几何中的直线与平面平行的判定、平面与平面平行的判定、直线与平面垂直的判定等定理，解题思路清晰、过程简洁。对立体几何的常见问题都可以起到化繁为简，化难为易的效果，体现了向量法解决几何问题的优越性。向量作为一种工具，在一定程度上可以使空间的几何学代数化，数量化，可以为学生提供全新的视角，使学生形成一种新的思维方式。 参考文献：【1】 王仁发，编著，代数与解析几何东北师范大学出版社，1999年9月，107；【2】 王仁发，编著，代数与解析几何东北师范大学出版社，1999年9月，110；【3】 王仁发，编著，代数与解析几何东北师范大学出版社，1999