微分中值定理的证明、推广以及应用.doc

微分中值定理的证明、推广以及应用【摘要】 微分中值定理在高等数学中占有非常重要的地位，微分中值定理主要包括：拉格朗日中值定理，罗尔中值定理，以及柯西中值定理。本文主要对罗尔中值定理的条件做一些适当的改变，能得出如下一些结论，从而扩大罗尔定理的应用范围。从拉格朗日中值定理的几何意义出发，通过几何直观，把数学分析空间解析几何知识有机的结合起来，改变传统的构造函数差的方法，通过构造行列式函数得出定理的新方法。通过对这两个定理进行分析，并加以推广，结合几个常见的实例论述了罗尔中值定理、拉格朗日中值定理。在证明不等式，求函数极限等方面的应用，从而加深对两个定理的理解。【关键词】 罗尔定理 拉格朗日中值定理 证明 推广 应用1引言在高等数学中微分中值定理占有着非常重要的作用,微分中值定理不仅是微积分的重要结论之一,也是最基本的定理之一.它不仅沟通了函数与其导数的关系,也是应用数学研究函数在区间整体性态的有力工具之一.罗尔中值定理条件最强,因而结论更加特殊,拉格朗日中值定理可以看成罗尔中值定理的推广.本文将罗尔中值定理由区间 推广到了区间 (a,b),由 推广到了区间（-，+） ，由f（a）=f（b） 推广到(有限或).而将拉格朗日中值定理中的可微条件适当放宽,使其具有更加广泛的意义.2罗尔定理若函数f满足如下条件：f在闭区间a，b上连续,f在开区间（a，b）内可导,f（a）=f（b）则在（a，b）内至少存在一点c,使得f、（c）=0.2.1罗尔定理的推广定理1：设(a,b)为有限或无穷区间f(x)在(a,b)内可微且（有限或 ）,则c ,使得f、（c）= 0.证明：先证a为有限数的情形,若使f（x）=a ,则f、（x）=0,所证显然成立.若f（x）=a不成立,则存在x0（a，b）,使得f（x0）a,设f(x0) a （对f(x0) a 同理可证）,由于=a,因函数f(x)在(a,b)内连续,对于任意取定的实数 (af(x) ）,x1(a,x0 ),x2 (x0 ,b),使得f（x1）=f（x2）=,在闭区间x1,x2 上用罗尔定理,可得使得f、（c）0,再证a+,的情形（a=-, 的情形,同理可证）.由于 =+,取定x0(a,b)及f(x0) ,则由于f(x)在(a,b)内连续,故x1(a,x0),x2(x0,b),使得f(x1)=f(x2)=,在闭区间x1,x2上用罗尔定理,可得使得f、（c）=0.2.2定理1的5条推论推论1：设f（x）在（a，b）内可导,且=a ,则在区间(a，b)内至少存在一点c,使得f、（c） 0.推论2：设f（x）在（a，b）内可导,且+ ,则在区间(a，b)内至少存在一点c,使得 f、（c） 0.若=-,结论同样成立.推论3：设f（x）在（-，+）可导,且=a,则在(-，+)至少存在一点 ,使得f、（c） 0.推论4: 设f（x）在（-，+）可导, 且+，=+ ,则在区间(-，+)内至少存在一点c,使得f、（c） 0.若=-，=- ,结论同样成立.推论5：设f（x）在（a，+）可导, 且=a ,则在(a，+）至少存在一点c,使得f、（c） 0.3拉格朗日中值定理若函数f 满足如下条件：f(x)在a，b连续f(x)在(a,b)可导则在(a,b)中至少存在一点c,使f、（c）=f（b）-f（a）b-a3.1拉格朗日中值定理几何证明方法多数教材都是通过构造辅助函数f(x)=f(x)-f(a)b-a(x-a)来证明拉格朗日中值定理的,故f(x)表示曲线y=f(x)与直线ab（y + (x-a)+f(b)-f(a)b-a(x-a)）之差从而使f(x)满足罗尔中值定理的要求,利用罗尔中值定理证得结论.无论通过何种方式,只要构造函数满足罗尔定理即可找到辅助函数满足罗尔定理条件.从几何意义上讲,就是找到一种几何量（长度,面积等）使得它在a,b值相等,在m点取得极值,满足罗尔定理,即可导出拉格朗日中值定理.已知f(x)在a,b连续,在(a,b)可导,证明在(a,b)中至少存在一点,使f、（）=f（b）-f（a）b-a.已知光滑曲线 t：证明：引理：在平面直角坐标系中,已知a 、b 、c三个顶点的坐标a(f（a），g（a）,b(f（b），g（b）)，c(f（c），g（c）)则abc得面积为易知：s(x)记由(a,f（a） ),(b,f(b) ),(x,f(x)三点组成三角形的面积,又因为s(x)在a，b上连续,且在（a，b） 可导,有s(a)=s(b)=0,则由罗尔中值定理,存在一点(a,b) 使得s、（）=0令g（x）=x，即3.2拉格朗日中值定理推广定理1如果函数f（x）满足：(1)在区间a，+连续,(2)在区间（a，a，+）可导,(3)=m那么在(a，+) 内至少存在一点c (ac+),使得f、（c）=m-f（a） /（c-a+1）2.证明：令t=1x-a+1,即x=1t+a-1=(t)3.3拉格朗日中值定理推广定理2如果函数f(x)满足：(1)在区间(-，+)连续,(2)在区间(-，+)可导,3.4拉格朗日中值定理推广定理3设函数f在闭区间a,b上连续,若函数在(a,b)内除了有限个点外可微,则存在c(a,b),使得 f(b)-f(a)f、(c)（b-a）.证明：不妨设f仅在d（a，b） 不可微,分别在区间 a,d与d,b上应用拉格朗日中值定理,则得到3.5拉格朗日中值定理推广定理4这个证明方法显然可以推广到f在n个点（n1）上不可微的情形.4微分中值定理的应用1.设f(x)在a,b上二阶可导,f(a)=f(b),证明：对任意xa,b,存在c,a,b使得,f(x)=f、（c）2（x-a）（x-b）证明：固定x（a，b）令是使f(x)=2成立的常数（由于f(x),12(x-a)(x-b), 都是常数,这个必然存在）.于是我们只需要证明存在ca,b,使f、（c）2=,令f(t)=f（t）-2(t-a)（t-b）,由于f（a）=f（b）=0,得到f、（?瘙 窞 1）=f、（?瘙 窞 2）=0,再从,的定义知,f(x)0.在区间a，xx，b, 上分别对f(t)应用罗尔定理,得到?瘙 窞 1，?瘙 窞 2，a?瘙 窞 1?瘙 窞 2b,使f、（?瘙 窞 1）=f、（?瘙 窞 2）=0,在闭区间?瘙 窞 1,?瘙 窞 2上,对f、（t）应用罗尔定理,则得到c （?瘙 窞 1,?瘙 窞 2）a，b ,使 f、（c）=0,即f、（c）=,证毕.2.设f为a，b 上二阶可导函数,f（a）=f（b）=0,并存在一点c（a，b）,使得f（c）0.证明：至少存在一点(a,b),使得f、（）0.证明：由拉格朗日中值定理中,存在1(a,c),使f(c)-f(a)=f、（1）（c-a）,由于f（a）=0,f（c）0,c-a0故f（1）0,又对f（x）在c，b上应用,拉格朗日中值定理,存在2(c,b)使得f(b)-f(c)=f、（2）（b-c）,因为f（b）=0,f（c）0,（b-c）0.故f、（2）0,由于1 c2b.f、（x）在1,2上可导,故存在（1，2），（1，2）（a，b）,使f、（1）-f、（1）=（2-1）f、（） .因此得出f、（ 0.参考文献1华东师范大学数学系：数学分析上册,高等教育出版社.2 同济大学.高等数学第五版（上册）.北京：高等教育出版社，2005.3 张玉莲 杨要 杰拉格