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概率统计标准作业题答案 专业班级： 学号： 姓名： 第一章 概率论基础一、填空题1设，若A，B互不相容，则 0.3 ，若A，B相互独立，则 0.5 2设，相互独立，则至少出现一个的概率为 ；恰好出现一个的概率为 ；最多出现一个的概率为 3一袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 0.4 4设在一次试验中，事件A发生的概率为p现进行n次独立试验，则事件A至少发生一次的概率为 ；而事件A至多发生一次的概率为 5三个人独立破译以密码，他们能单独译出的概率分别为，则此密码被译出的概率为 0.6 二、选择题1设A、B为两个事件，则表示 （ C ）（A） 必然事件； (B) 不可能事件； （C） A与B恰有一个发生； (D) A与B不同时发生2对事件A、B，下列命题正确的是 （ D ）（A） 如果A、B互不相容，则、也互不相容；（B） 如果A、B相容，则、也相容；（C） 如果A、B互不相容，且，则、相互独立；（D）如果A、B相互独立，则、也相互独立 3设，则 （ A ）（A）；（B）且；（C）；（D）或 4设A、B是任意两个事件，则 （ C ）（A） ； （B） ；（C） ； （D） 5设A、B是任意两个事件，则一定有 （ D ）（A） ； （B） ；（C） ； （D） 三、计算与证明题1指明在下列各条件下，事件A，B，C之间的包含关系（1）若A和B同时发生，则C必发生；（2） A和B有一个发生，则C必发生；（3）若A发生，则B必不发生；（4） A和B同时发生的充分必要条件是C不发生；（5）A发生的充分必要条件是B不发生解 （1），即积事件AB包含于事件C；（2），即和事件包含于事件C； （3），即积事件AB为不可能事件；（4），即积事件AB等于事件C的对立事件；（5），即积事件A等于事件B的对立事件2对任意的随机事件，证明：证明 因为，所以3将3个球随机地投入4个盒子中, 求下列事件的概率：（1）A是任意3个盒子中各有1个球；（2）B是任意1个盒子中有3个球；（3）C是任意1个盒子中有2个球, 其它任意1个盒子中有1个球 解 4把一个表面涂着颜色的立方体等分成1000个小立方体，从这些小立方体中任意取出一个，求它有k面涂着颜色的概率（k = 0 , 1 , 2 , 3）解 （请自己作图结合图形阅读）一面涂有颜色的小立方体个数=，其中为大立方体每个表面含有此类小立方体的数目，是大立方体的表面总数二面涂有颜色的小立方体个数，分子数值的由来与前相似，除以2 是因为每个此类小立方体被重复计算2 次三面涂有颜色的小立方体个数：8（即大立方体顶点个数）0 面涂有颜色的小立方体个数 所以的概率分别为5设OA是Ox轴上长为1的线段，B为OA的中点，C为OA上任一点，求线段OC，CA，OB三线段能构成一个三角形的概率解 设 则 三线段能构成三角形，应有即 解得 点可在 上取，但构成三角形的点只能在 上取，故由几何概型可得所求概率为 CO B A X6已知在1000个灯泡中坏灯泡的个数从0到5是等可能的,试求：（1）从1000个灯泡中任意取出的100个灯泡都是好灯泡的概率；（2）如果任意取出的100个灯泡都是好的，则1000个灯泡都是好灯泡的概率 解（1）设B（i=0，1，2，3，4，5）表示1000个灯泡中有i个坏灯泡，A 表示任取的100个灯泡都是好灯泡，显然， （2）根据贝叶斯公式：7发报台分别以概率0.6及0.4发出信号“ ”及“”由于通信系统受到干扰，当发出信号“ ”时，收报台以概率0.8及0.2收到信号“ ”及“”；又当发出信号“”时，收报台以概率0.9及0.1收到信号“”及“ ”求：（1）收报台收到信号“ ” 的概率；（2）收报台收到信号“” 的概率；（3）当收报台收到信号“ ”时，发报台确系发出信号“ ”的概率；（4）当收报台收到信号“”时，发报台确系发出信号“”的概率 解本题是典型的利用全概率公式和贝叶斯公式来求概率的例子设A表示事件“发出信号“ ”，表示事件发出信号“ ”，表示事件收到信号“ ”，表示事件收到信号“ ”， 由题意可得，于是根据全概率公式和贝叶斯公式（1）（2）（3），（4）8甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊,它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的如果甲船的停泊时间是一小时, 乙船的停泊时间是两小时,求它们中的任何一艘都不需等候码头空出的概率 解 设 甲乙两艘轮船到达码头的时刻分别为x、y，则所有基本事件可表示为： YO X9题图，而“不需等候空出码头”的事件A必需满足条件：，可以用图中阴影面积：表示，所有基本事件的面积为，所以第二章 随机变量一、填空题1设随机变量X的概率分布为：，则c 2设随机变量X的概率密度为： 且，则k = 2 ，b = 1 3已知随机变量X的分布函数为：，则A = 0.5 ；B =； 0.5 ；概率密度 4设随机变量X的概率分布为：，其中为常数，则a 5设随机变量，已知，则X落在区间（9.95，10.05）内的概率为 0.9876 6设平面区域D由曲线及直线所围成，二维随机变量在区域D服从均匀分布，则关于X的边缘概率密度在处的值为 0.25 二、选择题1设连续型随机变量的密度函数和分布函数分别为，则下列选项中正确的是 （ B ）(A) ； (B) ；(C) ； (D) 2设为随机变量X的概率密度，则随机变量X的可能取值充满区间 （ A ）(A) ； (B) ； (C) ； (D) 3设随机变量，且，则c = ( B )(A) 0； (B) ； (C) ； (D) 4设两个随机变量X与Y相互独立且同分布：，则下列各式中成立的是 （ A ）(A) ； (B) ； (C) ； (D) 5设二维随机变量的联合概率密度为：则随机变量X与Y为 ( C )(A) 独立同分布； (B) 独立不同分布； (C) 不独立同分布； (D) 不独立也不同分布三、计算与证明题1设都是分布函数，又且. 证明 也是分布函数证明 令 （1） 对任意 有，即 （2）对任意， 故 （3）对任意 故 所以， 满足分布函数的三个性质，故必为某随机变量的分布函数2问c 应取何值，下列函数才能成为离散型随机变量的分布律f (k) = ， k = 1, 2, N解 显然， 的值应是有限多或可列个，如果每个值都在上，且和为1，则是分布律由 得 3一页书上印刷错误的个数服从参数的泊松分布试求在一页书上印刷错误至少一个的概率解 设为一页书上印刷错误的个数，则 一页书上印刷错误至少一个的概率为4设在 0, 5 上服从均匀分布，求方程有实根的概率解 方程有实根的充要条件是判别式，解得 或 ，注意到 舍去所求概率为 5某市南郊到北郊火车站有两条路可走，第一条路线路程较短，但交通拥挤，所需时间X服从N（50，100）；第二条路线路程较长，但交通不易阻塞，所需时间Y服从N（60，16）若有70分钟可用，应该走哪条路线？解 选择走哪条路线合理的原则是，在给定的时间内到达火车站的概率较大走第一条路线所需时间X服从所以 ，走第二条路线所需时间Y服从所以可见 故应走第二条路线 6一箱中有3个白球和3个黑球作一系列的不放回取球，直至首次出现白球为止，设X 是取出的球数接着继续取球，直至首次出现黑球为止，设Y 是第二个序列中取出的球数试求（X，Y）的联合分布和边缘分布，X与Y是否相互独立？解 是二维离散型随机变量，可能取的值是1，2，3，4；可能取的值是0，1，2，3（在取黑球时，球最多可能是5个，2个白球，3个黑球，至多在第三次一定会取到黑球）， ， ， ， ， ，关于的边缘分布分别为： 因为 ，所以与不相互独立7已知二维随机变量的密度函数为：（1） 求系数；（2） 分布函数； (3) 概率解 （1）由 解得 （2）当 或 时，当 时， 故 （3） 8 随机变量的联合密度为：求条件下的条件密度解 当 时，有 故 9设随机变量的密度函数为，求随机变量的密度函数解 的分布函数 ，因此的密度函数为： 10随机变量相互独立，其密度函数分别为 求随机变量的密度函数解 因为与相互独立，所以的密度函数为11设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y）的联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处解YX1第三章 随机变量的数字特征一、填空题1设随机变量的数学期望，方差，则= 8 2设随机变量，已知，则参数n= 8 ，p= 0.2 3设随机变量，且，则= 2 ，= 2 4设随机变量的数学期望为，均方差，则当= ，= 时， 5设，则= 25.6 6设，且与相互独立，则（1） ；（2） 7都服从0, 2 上的均匀分布，则= 4 8 设X表示10次独立重复射击中命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则的数学期望 18.4 二、选择题1设是随机变量，为任意实数，为的数学期望，则 （ B ）（A）=； （B）； （C）； （D）= 0.2人的体重为随机变量，已知，10个人的平均体重记为，则下列结论正确的是（ A ）（A）； （B）； （C）； （D）3随机变量的都存在，则一定有 （ B ）（A）； （B）； （C）； （D）4若随机变量，且，则=（ B ）（A）； （B）；（C）； （D）5若与满足，则必有 （ B ）（A）与独立； （B）与不相关；（C）； （D）6若存在常数，使，且存在，则为（ C ）（A） 1； （B）-1； （C）； （D） 7设随机变量X和Y独立同分布，记，则随机变量U与V必然 （ D ）（A）不独立； （B） 独立； （C）相关系数不为零；（D）相关系数为零三、计算题1设随机变量的概率密度为求解，,2设的联合概率密度为，求。解，所以，又由对称性可知. ,.3设随机变量，且，令随机变量，求？解 因为，故，PY = 0 = 1 - 0.8088 - 0.1898 = 0.0014， 从而4对圆的直径作近似测量，设其值均匀地分布在区间 a, b 内，求圆面积的数学期望解 设圆的直径为，则在 a, b 上服从均匀分布,概率密度为设圆的面积为Y，则故，5已知生男孩的概率为0.515，求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率解 设X为10000个新生婴儿中男孩的个数，则，其中n=10000，p=0.515，10000个新生婴儿中女孩不少于男孩，即，由德莫佛拉普拉斯中心极限定理，所求的概率为6设相互独立，且在（0, 1）上都服从均匀分布，试利用中心极限定理计算的近似值解 由已知，由中心极限定理，得第四章 参数估计一、填空题1若总体的分布函数为，那么样本（）的分布函数= ，设总体，试写出样本（）的概率密度函数= 2设有样本值0.497，0.506，0.518，0.524，0.488，0.510，0.510，0.515，0.512，试用计算器计算= 0.5089 ，= 0.000118 3设为来自正态总体的一个简单随机样本，则样本均值服从分布，若为常数（），则 服从分布4总体，是样本均值，是样本方差，n为样本容量，则常用的统计量；5设随机变量独立且都服从，则服从分布，若要使，则需= 2 ，= 6设是来自正态总体的简单随机样本，则服从 分布，服从分布7已知来自正态总体容量为9的简单随机样本，样本均值，则未知参数的置信度为0.95的置信区间是4.412，5.588 二、选择题1设总体，其中已知，而是未知的，是总体的一个样本，试问哪个不是统计量（ C ）（A）；（B）；（C）；（D）2设总体，是来自总体的样本，为样本均值，已知，则有（ A ）（A）；（B）；（C）；（D）3设为总体的简单随机样本，分别为样本均值及样本方差，则下列结论正确的是（ B ）（A）分别是的无偏估计； （B）分别是的无偏估计；（C）分别是的矩估计量； （D）分别是的极大似然估计量三、计算题与证明题1从正态总体中随机抽取容量为36的样本，求样本均值落在50.8到53.8之间的概率解 , =.2从正态总体中抽取样本，已知，求概率；（2）未知，求概率解 (1) ， (查表)(2) ， (查表)3设为正态总体的一个样本，为的无偏估计，求解 , 因为相互独立, 所以,=，所以 .4总体服从几何分布，分布律为，其中未知参数，且，设为的一个样本，求的矩估计量和极大似然估计量解 (1) 因为，所以，令 ，得的矩估计量为：（2）似然函数为：，两边取对数 ，令，得的极大似然估计量为5总体，现从总体中抽取容量为9的样本，经观测与计算得样本均值，样本均方差（1） 若已知，求对应于置信度为0.95的置信区间（2） 若未知，求对应于置信度为0.95的置信区间（3）若未知，求对应于置信度为0.95的置信区间 解 （1） 查标准正态分布表，得，由样本观测值，得，故对应于置信度为0.95的置信区间为19.9628，20.2372；（2）查t分布表，得，由样本观测值，得，故当未知时，对应于置信度为0.95的置信区间为19.944，20.256；（3）查分布表，得，由样本观测值，得，故当未知时，对应于置信度为0.95的置信区间为0.0188，0.15126为了检验一种杂交物的两种新处理方案，在同一地区随机的选择8块地段，在各试验地段，按两种方案处理作物，这8块地段的单位面积产量是（单位：公斤）： 一号方案：86 87 56 93 84 93 75 79 二号方案：80 79 58 91 77 82 74 66假设两种产量都服从正态分布，分别为，未知，求的置信度为95的置信区间 解 本题是两个正态总体，已知，但其值未知，求期望差的置信区间，由给定的两组样本观测值，有 ， ，查t分布表，得 ， 从而 ，故的置信度为95的置信区间为： 第五章 假设检验一、填空题1在显著性假设检验中，可能犯第一类错误是指 “弃真” 错误，第二类错误是指“纳伪”错误，若要使犯两类错误的概率同时减少，则只有增加 “样本容量” 2设为来自正态总体的样本，未知，要检验假设：，则应选取的统计量是 ；当成立时，该统计量服从 自由度为n-1的 t 分布；设显著水平为，若备择假设为：，则拒绝域为 ；若备择假设为：，则拒绝域为 ；若备择假设为：，则拒绝域为3设为来自正态总体的样本，已知，要检验假设：，则应选取的统计量是 ；当成立时，该统计量服从分布；设显著水平为，若备择假设为：，则拒绝域为 ；若备择假设为：，则拒绝域为 ；若备择假设为：，则拒绝域为 二、选择题1设为来自正态总体的样本，已知，在显著性水平下接受：若将改为0.01时，下面结论中正确的是（ B ） (A) 必拒绝 ； (B) 必接受 ； (C) 犯第一类错误的概率变大； (D) 犯第二错误的概率变小2在假设检验中，表示原假设，表示备择假设，则称为犯第二类错误的是 （ C ） (A) 不真，接受 ； (B) 不真，接受； (C) 不真，接受； (D) 为真，接受3设为来自正态总体的样本，和为未知参数，且，则检验假设：0时，应选取的统计量为 （ A ）(A) ； (B) ； (C) ； (D) 三、计算与证明题1正常人的脉搏平均为72次分，现某医生测得10例慢性四乙基铅中毒者的脉搏（次分）如下：54 67 68 78 70 66 67 70 65 69, 问患者与正常人的脉搏有无显著差异（患者的脉搏可视为服从正态分布）？解 设患者每分钟内的脉搏次数为X，则把从X中抽取的容量为n的样本均值记为，样本标准差记为s，本题是在显著性水平下检验假设，拒绝域为 ,由样本观测值得 n 10，67.4，查t分布表得 ，于是 所以拒绝假设，即在显著性水平0.05下，认为患者与正常人的脉搏有显著差异2设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩低于70分？并给出检验过程解 设该次考试的考生成绩为X，则把从X中抽取的容量为n的样本均值记为，样本标准差记为s，本题是在显著性水平下检验假设 ，拒绝域为 由n36，66.5，s15，查t分布表得 ，算得，所以接受假设，即在显著性水平0.05下，可以认为这次考试全体考生的平均成绩不低于70分3一种元件，用户要求元件的平均寿命不得低于1200小时，标准差不得超过50小时，今在一批元件中抽取9只，测得平均寿命小时，标准差小时已知元件寿命服从正态分布，试在下确定这批元件是否合乎要求？解 设元件的寿命为X，则把从X中抽取的容量为n的样本均值记为，样本标准差记为s，本题是在显著性水平下检验假设 ，假设的拒绝域为 ，假设的拒绝域为 ，由已知，查t分布