几何证明--平行四边形.doc

学生教案教师姓名 学生姓名 填写时间年级初三学科数学上课时间阶段基础（） 提高（ ）强化（ ）课时计划第（3）次课共（ ）次课教学目标1经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力。2能运用综合法证明平行四边形的性质定理，及其它相关结论，3体会在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等数学思想方法重难点掌握平行四边形的性质定理。探索证明过程，感悟归纳类比、转化的数学思想。课后作业：教师评语及建议：科组长签名：知识点一正确理解定义（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形定义中的“两组对边平行”是它的特征，抓住了这一特征，记忆理解也就不困难了平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法同学们要在理解的基础上熟记定义（2）表示方法：用“ ”表示平行四边形，例如：平行四边形ABCD记作 ABCD，读作“平行四边形ABCD”2熟练掌握性质平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角对称性四个方面的特征进行简述的（1）角：平行四边形的邻角互补，对角相等；（2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等；（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分；（4）对称性：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心；（5）面积：=底高=ah；平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形3学会判别方法（1）平行四边形的判别方法定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形方法1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形方法4：一组平行且相等的四边形是平行四边形（2）平行四边形的判别方法的选择已知条件选择的识别方法边一组对边相等方法2或方法4一组对 边平行定义或方法4角一组对角相等方法1对角线方法3二、几种特殊四边形的有关概念（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：（1）平行四边形；（2）一个角是直角，两者缺一不可（2）菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：（1）平行四边形；（2）一组邻边相等，两者缺一不可（3）正方形：一组邻边相等的矩形叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形（4）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，对于这个定义，要注意把握：（1）一组对边平行；（2）一组对边不平行，同时要注意和平行四边形定义的区别，还要注意腰、底、高等概念以及梯形的分类等问题（5）等腰梯形：是一种特殊的梯形，它是两腰相等的梯形，特殊梯形还有直角梯形2几种特殊四边形的有关性质（1）矩形：（1）边：对边平行且相等；（2）角：对角相等、邻角互补；（3）对角线：对角线互相平分且相等；（4）对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形（2）菱形：（1）边：四条边都相等；（2）角：对角相等、邻角互补；（3）对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；（4）对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形（3）正方形：（1）边：四条边都相等；（2）角：四角相等；（3）对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为450；（4）对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形（4）等腰梯形：（1）边：上下底不相等，两腰相等；（2）角：对角互补；（3）对角线：对角线相等；（4）对称性：是轴对称图形不是中心对称图形3几种特殊四边形的判定方法（1）矩形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形（1）有一个角是直角的平行四边形；（2）对角线相等的平行四边形；（3）四个角都相等（2）菱形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形（1）有一组邻边相等的平行四边形；（2）对角线互相垂直的平行四边形；（3）四条边都相等（3）正方形的判定：满足下列条件之一的四边形是正方形（1）有一个角是直角的菱形；（2）有一组邻边相等的矩形；（3）对角线相等的菱形；（4）对角线互相垂直的矩形（4）等腰梯形的判定：满足下列条件之一的梯形是等腰梯形（1）同一底两个底角相等的梯形；（2）对角线相等的梯形4几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析（1）识别矩形的常用方法（1）先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角（2）先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等（3）说明四边形ABCD的三个角是直角（2）识别菱形的常用方法（1）先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任一组邻边相等（2）先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直（3）说明四边形ABCD的四条相等（3）识别正方形的常用方法（1）先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的一个角为直角且有一组邻边相等（2）先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直且相等（3）先说明四边形ABCD为矩形，再说明矩形的一组邻边相等（4）先说明四边形ABCD为菱形，再说明菱形ABCD的一个角为直角（4）识别等腰梯形的常用方法（1）先说明四边形ABCD为梯形，再说明两腰相等（2）先说明四边形ABCD为梯形，再说明同一底上的两个内角相等（3）先说明四边形ABCD为梯形，再说明对角线相等5几种特殊四边形的面积问题（1）设矩形ABCD的两邻边长分别为a,b，则S矩形=ab（2）设菱形ABCD的一边长为a，高为h，则S菱形=ah；若菱形的两对角线的长分别为a,b，则S菱形=（3）设正方形ABCD的一边长为a，则S正方形=；若正方形的对角线的长为a，则S正方形=（4）设梯形ABCD的上底为a，下底为b，高为h，则S梯形=三、多边形：1多边形的定义在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形，叫做多边形正多边形的定义在平面内，内角都相等、边也都相等的多边形叫做正多边形3探索多边形内角和公式n边形内角和公式： 任意多边形的外角和都等于3604密铺的定义：何谓密铺呢？课本上介绍：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片，叫作平面图形的密铺5密铺的特征：（1）边长都相等；（2）顶点公用；（3）在一个顶点处各正多边形的内角和为3608、中心对称图形 1如果一个图形绕着它的中心点旋转180后能与原图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个中心点叫做对称中心。2图形上对称点的连线被对称中心平分；(一)知识点回顾：平行四边形、特殊平行四边形的特征以及彼此之间的关系1. 矩形是特殊的平行四边形，矩形的四个内角都是_。矩形的对角线_2.菱形是特殊的平行四边形，菱形是四条边都_，它的两条对角线_每条对角线平分一组_.3.正方形四条边都_，四个角都是_。所以正方形可以看作为：一个角是直角的_；有一组邻边相等的_； 4. 等腰梯形的两腰_，同一底边上的两个内角_。等腰梯形的两条对角线_。5_的平行四边形是矩形6._ 的平行四边形是菱形7._ 的平行四边形是正方形8._ 的梯形是等腰梯形即有下面的流程图，在箭头里填上变化根据( )矩形( )平行四边形正方形( )菱形( ) ( )填表：边角对角线对称性平行四边形矩形菱形正方形等腰梯形（二）主要知识点的相关练习利用平行四边形、特殊四边形的定义解答填空、选择题1平行四边形ABCD中，A-B=20,则C的度数为 。2平行四边形两邻角的平分线相交所成的是（ ）A.锐角 B.直角 C.钝角 D.无法确定3如图，在平行四边形ABCD中，AE平分DAB，B=100，则DAE= . A A B C D E C B P 1 A B O C B(第3题) (第4题) （第5题）4如图，直角AOB内任意一点P，到这个角的两边的距离和为6，则图中四边形的周长为 。5.如图，是根据四边形的不稳定性制作的边长均为15cm的可活动菱形衣架，若墙上钉子间的距离ABBC15cm，则1 度。6在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是（ ）A1+2=180 B2+3=180 C3+4=180 D2+4=180特殊的四边形的有关计算练习1 已知菱形的两条对角线分别是6cm,8cm,其周长为20cm,则其面积为_边长为_边上的高为_ ；2.若菱形的一个内角为60，且边长为2cm，则它的较短对角线长为_cm；3.菱形ABCD两条对角线相交于O，AO=1，ABD=30，则BC的长为_4. 正方形的对角线为2cm，则正方形的面积为_；正方形的面积为18cm，则它的对角线长为_cm；5.矩形ABCD两条对角线相交于O，O到短边距离比到长边的距离多8cm，矩形的周长为56cm，求矩形各边长 O A D F O B C E6.平行四边形的一个内角比它的邻角大42，求四个内角的度数。7.从平行四边形的一个钝角顶点引分两边的垂线，如果这两条垂线间的夹角为75，求这个平行四边形各内角的度数。解：连AC即1+2+3+4+180=360 利用特殊四边形性质证明有关线段或角相等1 如图，平行四边形ABCD中，AEBD，CFBD，垂足分别为E、F。求证：BAE=DCF。 A D F E B C2 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE=DF，求证：AE=CF。 A D F E B C3 如图，四边形ABCD是菱形，CEAB，交AB的延长线于E，CFAD，交AD的延长线于F，请你猜想CE与CF的大小有什么关系？并证明你的猜想。 F D C A B E （三）课堂演练一、选择题1、下列说法中，不是一般平行四边形的特征的是（ ） A、对边平行且相等 B、对角线互相平分C、是轴对称图形 D、对角相等2、菱形和矩形都具有的性质是（ ） A、对角线相等 B、对角线互相平分C、对角线平分一组对角 D、对角线互相垂直3、在 ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，如右图与ABO面积相等的三角形有（ ）个。A、1 B、2 C、3 D、4 4、下列说法不正确的是（ ）A、对角线互相垂直的四边形是菱形 B、有三个角是直角的四边形是矩形C、有一组邻边相等的矩形是正方形 D、两组对边分别相等的四边形是平行四边形5、如右图中，有（ ）个矩形 A、14 B、1 C、22 D、36 6、在线段、等边三角形、等腰梯形、矩形、平行四边形、菱形、正方形、圆这些图形中，既是中心对称又是轴对称的有（ ）个A、3 B、4 C、5 D、67、平行四边形的一条边长为5，则它的对角线长可能是（ ） A、4和6 B、2和12 C、4和8 D、4和3二、填空题1、如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，周长等于24，则AD= 。2、如图，在矩形ABCD中，对角线交于点O，已知AOB=56则ADB= 度。3、在菱形ABCD中，对角线AC、BD的长分别为5厘米，10厘米，则菱形 ABCD的面积为 厘米2。4、若等腰梯形有一个角为120，上底长为4厘米，下底长为12厘米，则它的周长为 厘米。5、如右图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若AOD=120，AB=1，则AC= 。6、如右图，在正方形ABCD中，点E是AD的中点，点F是BA延长线上一点，AF=AB，ABE可以通过绕A点逆时针旋转到ADF的位置，则旋转的最小角度为 。三、已知ABCD，试用三种方法将ABCD分成面积相等的四部分。（只要求画出正确图形）四、1、如图，E为正方形ABCD外一点，且ADE是等边三角形，求EBC的度数。 2、如图，在等腰梯形ABCD中，BCAD。 （1）、画出线段AB平移后的线段DE，其平移的方向为射线AD的方向，平移的距离为线段AD的长。 （2）、若AD=3，AB=4，BC=7，求线段EC的长和B的度数。（15分）3、如图，菱形ABCD的对角线的长分别是20和17，P是对角线AC上任意一点（点P不与A、C重合），且PEBC交AB于E，PFAD交AD于F，求阴影部分的面积。 补充内容：如何识别一个四边形是平行四边形？矩形、菱形？正方形？等腰梯形？(一)、矩形，菱形，正方形, 等腰梯形的识别方法从矩形，菱形，正方形的基本特征，我们可以得出矩形，菱形，正方形, 等腰梯形的识别方法，试分析判断:1. 下面是矩形的一些识别方法，请分析判断是否可行？(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形 ( ) (从定义)(2)有三个角是直角的四边形是矩形 ( ) (从角的特征) (3)对角线相等且互相平分的四边形是矩形 ( ) (从对角线的特征)2. 结合菱形的基本特征，以及上述矩形的识别方法，试一试能否得出菱形的识别方法?(1)_ 的平行四边形是菱形 (从定义)(2)_的四边形是菱形 (从边的特征)(3)_ 的四边形是菱形 (从对角线的特征) 3. 结合正方形的基本特征，以及上述矩形，菱形的识别方法，试一试能否得出正方形的识别方法?(1)_ 的矩形是正方形 (从定义)(2)_的菱形是正方形 (从定义)(3)_ 的四边形是正方形 (从对角线的特征)(二)识别1.根据条件判定它是什么图形，并在括号内填出四边形中，对角线和相交于点：（）ABC90 （ ）（）AB=BC=CD=DA （ ）（）A90，四边形ABCD是平行四边形 （ ）（）AB=BC，四边形ABCD是平行四边形 （ ）（5）OA=OC，OB=OD （ ）（6）OA=OB=OC=OD （ ）（7）OA=OC，OB=OD，ACBD （ ） （8）OA=OC，OB=OD，AC=BD （ ）（9）OA=OC=OB=OD，ACBD （ ）2在ABCD中，对角线AC和BD相交于点O。（1） 如果ABOADO90，那么ABCD是_形；（2） 如果AOB=AOD，那么ABCD是_形；（3） 如果ABBC，ACBD，那么ABCD是_形；(三)识别方法的应用练习（A层）1、判断 ：下面的特殊四边形的识别方法对不对？若不对请给指正：1、 两对角线相等且互相垂直的四边形是矩形。2、 两对角线互相垂直平分的四边形是矩形。3、 两条对角线相等的四边形是矩形。4、 两条对角线互相垂直的四边形是菱形。5、 两条对角线相等的四边形是菱形。6、 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形7、 一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形。2、已知：平行四边形ABCD的边AD,BC分别取点E,F, AECF，EFAC使得试说明AFCE是菱形 A E B E D F C 3、在ABC中，C=90，A,B的平行线交于点D,DEBC，DFAC于F，试说明CEDF的形状，并说明理由 A F D C E B(B层)4、试说明平行四边形四个内角的平分线相交所形成的四边形是矩形 即已知：平行四边形ABCD中，E，F，G，H分别是四边形的四个内角的平分线的交点，试说明四边形EFGH是矩形 巩固提高1.点A、B、C在同一直线上，在直线AC的同侧作和，连接AF，CE取AF、CE的中点M、N，连接BM，BN， MN(1)若和是等腰直角三角形，且(如图1)，则是三角形(2)在和中，若BA=BE,BC=BF,且，(如图2)，则是三角形，且 .(3)若将(2)中的绕点B旋转一定角度,(如同3)，其他条件不变，那么(2)中的结论是否成立？ 若成立，给出你的证明；若不成立，写出正确的结论并给出证明.2.如图，将一三角板放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于Q.探究：设A、P两点间的距离为x.(1)当点Q在边CD上时，线段PQ与PB之间有怎样的数量关系？试证明你的猜想；(2)当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数关系，并写出函数自变量x的取值范围；(3)当点P在线段AC上滑动时，PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能,指出所有能使PCQ成为等腰三角形的点Q的位置.并求出相应的x值，如果不可能，试说明理由.3.(1)如图1，四边形中，请你猜想线段、之和与线段的数量关系，并证明你的结论；(2)如图2，四边形中，若点为四边形内一点，且，请你猜想线段、之和与线段的数量关系，并证明你的结论图图2 4. (1)如图1，在四边形ABCD中，ABAD，BD90，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAF=BAD.求证:EFBEFD; 图1 图2 图3 (2) 如图2在四边形ABCD中，ABAD，B+D180，E、F分别是边BC、CD上的点