[工学]第七章一阶电路和二阶电路的时域分析.ppt

本章重点,7-1 动态电路的方程及其初始条件,一阶电路：用一阶微分方程描述的电路,一、换 路： 指电路中开关的突然接通或断开，元件参数的变化，激励形式的改变等。 换路时刻 （通常取 0），换路前一瞬间： ，换路后一瞬间： 。,二、换 路 定 则,三、初始值的计算,1. 求,给 定, 时，原电路为直流稳态 ：,C 断路 L短路, 时，电路未进入稳态 ：,2. 画 时的等效电路,换路前后电压（流）不变的为电压（流）源,C电压源 L 电流源,C短 路 L断 路,3. 利用直流电阻电路的计算方法求初始值,ic,已知： 时，原电路已稳定, 时，打开开关S。,求： 时，各物理量的初始值。,C,ic,解： 1. 求,时，,2. 画 时的等效电路：,3. 时,已知：t0 时，原电路已稳定，,t =0时，打开开关S。,求： 时， 。,解：,1、求,时,uC(0-),2、作 时的等效电路：,时：,4A,i(0+),7-2 一阶电路的零输入响应,US,R,C,iC(t),S (t=0),零输入响应：,指输入为零，初始状态不为零所引起的电路响应。,零状态响应：,指初始状态为零，而输入不为零所产生的电路响应。,完全响应：,指输入与初始状态均不为零时所产生的电路响应。,图7-3(a)所示电路中的开关原来连接在1端，电压源U0通过电阻Ro对电容充电，假设在开关转换以前，电容电压已经达到U0。在t=0时开关迅速由1端转换到2端。已经充电的电容脱离电压源而与电阻R并联，如图(b)所示。,图7-3,一、RC电路的零输入响应,我们先定性分析t0后电容电压的变化过程。当开关倒向2端的瞬间，电容电压不能跃变，即,由于电容与电阻并联，这使得电阻电压与电容电压相同，即,电阻的电流为,该电流在电阻中引起的功率和能量为,电容中的能量为,随着时间的增长，电阻消耗的能量需要电容来提供，这造成电容电压的下降。一直到电容上电压变为零和电容放出全部存储的能量为止。也就是电容电压从初始值uC(0+)=U0逐渐减小到零的变化过程。这一过程变化的快慢取决于电阻消耗能量的速率。,为建立图(b)所示电路的一阶微分方程，由KVL得到,由KCL和电阻、电容的VCR方程得到,代入上式得到以下方程,这是一个常系数线性一阶齐次微分方程。其通解为,代入式(71)中，得到特征方程,其解为,称为电路的固有频率。,于是电容电压变为,式中K是一个常量，由初始条件确定。当t=0+时上式变为,根据初始条件,求 得,最后得到图73(b)电路的零输入响应为,图7-3,从式74可见，各电压电流的变化快慢取决于R和C的乘积。令 =RC，由于 具有时间的量纲，故称它为RC电路的时间常数。引入 后，式74表示为,图74 RC电路零输入响应的波形曲线,下面以电容电压 为例，说明电压的变化与时间常数的关系。,当t=0时，uC(0)=U0，当t=时，uC()=0.368U0。表71列出t等于0，2，3，4，5 时的电容电压值，由于波形衰减很快，实际上只要经过45的时间就可以认为放电过程基本结束。,表71,电阻在电容放电过程中消耗的全部能量为,计算结果证明了电容在放电过程中释放的能量的确全部转换为电阻消耗的能量。,图74 RC电路零输入响应的波形曲线,由于电容在放电过程中释放的能量全部转换为电阻消耗的能量。电阻消耗能量的速率直接影响电容电压衰减的快慢，我们可以从能量消耗的角度来说明放电过程的快慢。,例如在电容电压初始值U0不变的条件下，增加电容C，就增加电容的初始储能，使放电过程的时间加长；若增加电阻R，电阻电流减小，电阻消耗能量减少，使放电过程的时间加长。,这就可以解释当时间常数=RC变大，电容放电过程会加长的原因。,电路如图75(a)所示，已知电容电压uC(0-)=6V。t=0闭合开关，求t 0的电容电压和电容电流。,图75,解：在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，由此得到,将连接于电容两端的电阻单口网络等效于一个电阻，其电阻值为,得到图(b)所示电路，其时间常数为,根据式75得到,电阻中的电流iR(t)可以用与iC(t)同样数值的电流源代替电容，用电阻并联的分流公式求得 iR(t),二、RL电路的零输入响应,电感电流原来等于电流I0，电感中储存一定的磁场能量，在t=0时开关由1端倒向2端，换路后的电路如图(b)所示。,图7-6,以图76(a)电路为例来说明RL电路零输入响应的计算过程。,在开关转换瞬间，由于电感电流不能跃变，即iL(0+)= iL(0-)= I0 ，这个电感电流通过电阻R时引起能量的消耗，这就造成电感电流的不断减少，直到电流变为零为止。,综上所述，图(b)所示RL电路是电感中的初始储能逐渐释放出来消耗在电阻中的过程。与能量变化过程相应的是各电压电流从初始值，逐渐减小到零的过程。,列出KCL方程,代入电感VCR方程,得到以下微分方程,这个微分方程与式(71)相似，其通解为,代入初始条件iL(0+)=I0求得,最后得到电感电流和电感电压的表达式为,其波形如图所示。RL电路零输入响应也是按指数规律衰减，衰减的快慢取决于常数 。由于 =L/R具有时间的量纲，称为RL电路的时间常数。,图7-7,电路如图78(a)所示，开关S1连接至1端已经很久， t=0时开关S由1端倒向2端。求t0时的电感电流iL(t) 和电感电压uL(t)。,图7-8,解：开关转换瞬间，电感电流不能跃变，故,将连接到电感的电阻单口网络等效为一个的电阻，得到的电路如图(b)所示。该电路的时间常数为,根据式77得到电感电流和电感电压为,通过对RC和RL一阶电路零输入响应的分析和计算表明，电路中各电压电流均从其初始值开始，按照指数规律衰减到零，一般表达式为,因为电容或电感在非零初始状态时具有初始储能，各元件有初始电压电流存在，由于电阻要消耗能量，一直要将储能元件的储能消耗完，各电压电流均变为零为止。,7-3 一阶电路的零状态响应,初始状态为零，仅仅由独立电源(称为激励或输入)引起的响应，称为零状态响应。本节只讨论由直流电源引起的零状态响应。,一、 RC电路的零状态响应,图7-9(a)所示电路中的电容原来未充电，uC(0-)=0。t=0时开关闭合，RC串联电路与直流电压源连接，电压源通过电阻对电容充电。,图7-9,uC(0-)=0,其电压电流的变化规律，可以通过以下计算求得。,(a) t0 的电路,以电容电压为变量，列出图(b)所示电路的微分方程,图7-9,uC(0-)=0,uC(0+)=0,其电压电流的变化规律，可以通过以下计算求得。,这是一个常系数线性非齐次一阶微分方程。其解答由两部分组成，即,式中的uCh(t)是与式（78）相应的齐次微分方程的通解，其形式与零输入响应相同，即,式(79)中的uCp(t)是式(78)所示非齐次微分方程的一个特解。一般来说，它的模式与输入函数相同。对于直流电源激励的电路，它是一个常数，令,将它代入式(78)中求得,因而,式中的常数K由初始条件确定。在t=0+时,由此求得,代入式(710)中得到零状态响应为,其波形如图(710)所示。,图710 RC电路的零状态响应曲线,图7-9,从上可见，电容电压由零开始以指数规律上升到US，经过一个时间常数变化到(1-0.368)US=0.632US，经过(45)时间后电容电压实际上达到US。,电容电流则从初始值US/R以指数规律衰减到零。零状态响应变化的快慢也取决于时间常数 =RC。当时间常数 越大，充电过程就越长。,电路如图7-11(a)所示，已知电容电压uC(0-)=0。t=0 打开开关，求t0的电容电压uC(t),电容电流iC(t)以及 电阻电流i1(t)。,图7-11,uC(0-)=0,解：在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，由此得到,先将连接于电容两端的含源电阻单口网络等效于戴维宁等效电路，得到图(b)所示电路，其中,电路的时间常数为,当电路达到新的稳定状态时，电容相当开路，由此求得,按照式(711)可以得到,为了求得i1(t)，根据图（a）所示电路，用KCL方程得到,二、RL电路的零状态响应,RL一阶电路的零状态响应与RC一阶电路相似。图7-12所示电路在开关转换前，电感电流为零，即iL(0-)=0。当t=0时开关由a倒向b，其电感电流和电感电压的计算如下：,图712 RL电路的零状态响应,以电感电流作为变量，对图(b)电路列出电路方程,这是常系数非齐次一阶微分方程，其解答为,常系数非齐次一阶微分方程的其解答为,式中 =L/R是该电路的时间常数。常数K由初始条件确定，即,由此求得,最后得到RL一阶电路的零状态响应为,其波形曲线如图713所示。,图713 RL电路零状态响应的波形曲线,电路如图7-14(a)所示，已知电感电流iL(0-)=0。t=0闭合开关，求t0的电感电流和电感电压。,图7-14,解：开关闭合后的电路如图(b)所示，由于开关闭合瞬间电感电压有界，电感电流不能跃变，即,将图(b)中连接电感的含源电阻单口网络用诺顿等效电路代替，得到图(c)所示电路。由此电路求得时间常数为,图6-14,按照式(714)可以得到,假如还要计算电阻中的电流i(t)，可以根据图(b)电路，用欧姆定律求得,图7-14,图7-15(a)为一个继电器延时电路的模型。已知继电 器线圈参数为：R=100，L=4H，当线圈电流达到 6mA时，继电器开始动作，将触头接通。从开关闭 合到触头接通时间称为延时时间。为了改变延时时 间，在电路中串联一个电位器，其电阻值可以从零 到900之间变化。若US=12V，试求电位器电阻值 变化所引起的延时时间的变化范围。,图715,解：开关闭合前，电路处于零状态，iL(0-)=0。 开关转换瞬间电感电压有界，电感电流不能跃变，即iL(0+)=iL(0-)=0。将电路用图715(b)所示诺顿等效电路代替，其中,电感电流的表达式为,设t0为延时时间，则有,由此求得,当Rw=0时， =0.04s,当Rw=900时， =0.004s,7-4 一阶电路的全响应,由储能元件的初始储能和独立电源共同引起的响应，称为全响应。下面讨论RC串联电路在直流电压源作用下的全响应。电路如图7-16(a)所示，开关连接在1端为时已经很久，uC(0-)=U0。t=0时开关倒向2端。t 0 时的电路如图7-16(b)所示。,图716 RC电路的完全响应,为了求得电容电压的全响应，以电容电压uC(t)为变量，列出图(b)所示电路的微分方程,其解为,UC(0+)=U0,代入初始条件,求得,于是得到电容电压以及电容电流的表达式,第一项是对应微分方程的通解uCh(t)，称为电路的固有响应或自由响应，若时间常数 0，固有响应将随时间增长而按指数规律衰减到零，在这种情况下，称它为瞬态响应。,第二项是微分方程的特解uCp(t)，其变化规律一般与输入相同，称为强制响应。在直流输入时，当 t时，uC(t)=uCp(t) 这个强制响应称为直流稳态响应。,式(716)可以改写为以下形式,式中第一项为初始状态单独作用引起的零输入响应，第二项为输入(独立电源)单独作用引起的零状态响应。,也就是说电路的完全响应等于零输入响应与零状态响应之和。这是线性动态电路的一个基本性质，是响应可以叠加的一种体现。,以上两种叠加的关系，可以用波形曲线来表示。利用全响应的这两种分解方法，可以简化电路的分析计算，实际电路存在的是电压电流的完全响应。,(a) 全响应分解为固有响应与强制响应之和 (b) 全响应分解为零输入响应与零状态响应之和,图7-17,瞬态响应,稳态响应,全响应,零输入响应,零状态响应,全响应,图7-18(a)所示电路原来处于稳定状态。t=0时开关断开，求t0的电感电流iL(t)和电感电压uL(t)。,图7-18,iL(0+)=0.25A,解：在t0时，电阻R1被开关短路，电感电流的初始值为,在t0时的电路中，用诺顿等效电路代替连接电感的含源电阻单口网络，得到图(b)所示电路，该电路的微分方程为,其全解为,式中,代入上式得到,代入初始条件,其中第一项是瞬态响应，第二项是稳态响应。电路在开关断开后，经过(45)的时间，即经过(810)ms 的过渡时期，就达到了稳态。,于是,可以得到,电感电流iL(t)的全响应也可以用分别计算出零输入响应和零状态响应，然后相加的方法求得。电感电流iL(t)的零输入响应为,电感电流iL(t)的零状态响应为,iL(t)的全响应为零输入响应与零状态响应之和,电感电压的全响应可以利用电感元件的VCR方程求得,电路如图7-19(a)所示。已知 uC(0-)=4V，uS(t)=(2+e-2t)V，求电容电压uC(t)的全响应。,图7-19,解：将全响应分解为(零输入响应)(2V电压源引起的零状 态响应)(e-2t电压源引起的零状态响应)。现在分别计算响应的几个分量然后相加得到全响应。,首先列出图(a)电路的微分方程和初始条件,图7-19,1. 求电路的零输入响应见图(b)电路,求得,图7-19,列出齐次微分方程和初始条件,2.求2V电压源引起的零状态响应见图(c)电路,由此求得,图7-19,列出微分方程和初始条件,3. 求2e-2tV电压源引起的零状态响应见图(d)电路,其解为,图7-19,列出微分方程和初始条件,由此求得,代入上式,代入初始条件，t=0时，,最后求得零状态响应,由此得到K=1,设 ，并将它代入到式721所示微分方程中可以得到,4.最后求得全响应如下,思 考 与 练 习,7-3-1 在电阻，电感与电压源串联电路中，若US=1V, iL(0)=1A时的全响应为iL(t)。如果使全响应增加一倍，达到2iL(t)，则需改变电压源电压和电感初始电流为以下数值 (1) US=2V, iL(0)=1A (2) US=1V, iL(0)=2A (3) US=2V, iL(0)=2A 请从以上三个条件中，选择一个正确的答案，并说明原因。,图732,7-3-2 图7-3-2电路中uC(0)=5V，试求t0时电容电压uC(t)的全响 应，瞬态响应和稳态响应。,补充：三要素法,本节专门讨论由直流电源驱动的只含一个动态元件的一阶电路全响应的一般表达式，并在此基础上推导出三要素法。,图720 (a)RC一阶电路 (b)RL一阶电路,一、三要素法,仅含一个电感或电容的线性一阶电路，将连接动态元件的线性电阻单口网络用戴维宁和诺顿等效电路代替后，可以得到图7-20(a)和(b)所示的等效电路。,图(a)电路的微分方程和初始条件为,图(b)电路的微分方程和初始条件为,上述两个微分方程可以表示为具有统一形式的微分方程,其通解为,如果0，在直流输入的情况下，t时，fh (t)0，则有,由初始条件f (0+)，可以求得,于是得到全响应的一般表达式,因而得到,这就是直流激励的RC一阶电路和RL中的任一响应的表达式 (可以用叠加定理证明) 。其波形曲线如图721所示。由此可见，直流激励下一阶电路中任一响应总是从初始值f (0+)开始，按照指数规律增长或衰减到稳态值f ()，响应变化的快慢取决于电路的时间常数 。,图721 直流激励下一阶电路全响应的波形曲线,由此可见，直流激励下一阶电路的全响应取决于f (0+)、 f ()和 这三个要素。只要分别计算出这三个要素，就能够确定全响应，也就是说，根据式(7-25）可以写出响应的表达式以及画出图7-21那样的全响应曲线，而不必建立和求解微分方程。这种计算直流激励下一阶电路响应的方法称为三要素法。,图7-22,用三要素法计算含一个电容或一个电感的直流激励一阶电路响应的一般步骤是: 1. 初始值f (0+)的计算 (1) 根据t0的电路，计算出t=0-时刻的电容电压uC(0-)或电感电流iL(0-)。 (2) 根据电容电压和电感电流连续性，即 uC(0+)=uC(0-)和iL(0+)=iL(0-) 确定电容电压或电感电流初始值。,(3) 假如还要计算其它非状态变量的初始值，可以从用数值为uC(0+)的电压源替代电容或用数值为iL(0+)的电流源替代电感后所得到的电阻电路中计算出来。 2. 稳态值f ()的计算 根据t0的电路，将电容用开路代替或电感用短路代替，得到一个直流电阻电路，再从此电路中计算出稳态值 f ()。 3. 时间常数 的计算 先计算与电容或电感连接的线性电阻单口网络的输出电阻Ro，然后用以下公式 =RoC或 =L/Ro计算出时间常数。,4. 将f (0+)，f ()和 代入下式得到响应的一般表达式和画出图821那样的波形曲线。,图721 直流激励下一阶电路全响应的波形曲线,例 图7-22(a)所示电路原处于稳定状态。t=0时开关闭合，求t0的电容电压uC(t)和电流i(t)，并画波形图。,图7-22,由于开关转换时电容电流有界，电容电压不能跃变，故,解：1. 计算初始值uC(0+) 开关闭合前，图(a)电路已经稳定，电容相当于开路，电流源电流全部流入4电阻中，此时电容电压与电阻电压相同,图7-22,图7-22,2. 计算稳态值uC() 开关闭合后，电路如图(b)所示，经过一段时间，重新达到稳定状态，电容相当于开路，根据用开路代替电容所得到一个电阻电路，运用叠加定理求得,时间常数为,3.计算时间常数 计算与电容相连接的电阻单口网络的输出电阻，它是三个电阻的并联,图7-22,a,b,4. 将uC(0+)=8V, uC()=7V和=0.1s代入式(725)得到响应的一般表达式,求得电容电压后，电阻电流i(t)可以利用欧姆定律求得,也可以用叠加定理分别计算2A电流源，10V电压源和电容电压uC(t)单独作用引起响应之和,由于电路中每个响应具有相同的时间常数，不必重新计算，用三要素公式得到,值得注意的是该电阻电流在开关转换时发生了跃变，i(0+)=1A i(0-)=1.667A，因而在电流表达式中，标明的时间范围是t0，而不是t0。,电阻电流i(t)还可以利用三要素法直接求得,例 图7-23示电路中，开关转换前电路已处于稳态，t=0 时开关S由1端接至2端，求t0时的电感电流iL(t)，电 阻电流i2(t)，i3(t)和电感电压uL(t)。,图7-23,解：用三要素法计算电感电流。 1. 计算电感电流的初始值iL(0+) 直流稳态电路中，电感相当于短路，此时电感电流为,开关转换时，电感电压有界。电感电流不能跃变，即,2. 计算电感电流的稳态值iL() 开关转换后，电感与电流源脱离，电感储存的能量释放出来消耗在电阻中，达到新的稳态时，电感电流为零，即,3. 计算时间常数 与电感连接的电阻单口网络的等效电阻以及时间常数为,4. 计算iL(t)， uL(t)， i2(t)和i3(t)。 将iL(0+)=10mA,iL()=0和=110-7s代入式(725）得到电感电流的表达式,然后根据KCL，KVL和VCR求出其它电压电流,例7-10 图7-24(a)所示电路在t=0时闭合开关，求电容电压 uC(t)和电流i2(t)的零状态响应。,图724 例710,解：在开关闭合以后，与电容连接的含有独立电压源和受 控源的电阻单口网络用图7-24(c)所示的戴维宁等效电 路代替，其中,用外加电源法求图724(b)所示电阻单口网络的输出电阻Ro,时间常数为,用三要素公式得到电容电压的表达式,从图724(a)电路中开关闭合后的电路求得电流 i2(t),二、包含开关序列的直流一阶电路 本小节讨论的直流一阶电路中包含有在不同时刻转换的开关，在开关没有转换的时间间隔内，它是一个直流一阶电路，可以用三要素法来计算。 对于这一类电路，我们可以按照开关转换的先后次序，从时间上分成几个区间，分别用三要素法来求解电路的响应。,例6-11 图7-25(a)所示电路中，电感电流iL(0-)=0, t=0时，开 关S1闭合，经过0.1s，再闭合开关S2，同时断开S1。 试求电感电流iL(t)，并画波形图。,图7-25,解：1. 在0t0.1s时间范围内响应的计算 S1闭合后，iL(0+)=iL(0-)=0，处于零状态，电感电流为零状态响应。可以用三要素法求解,2. 在t0.1s时间范围内响应的计算,此后的电感电流属于零输入响应，iL()=0。,仍然用三要素法，先求t=0.1s时刻的初始值。,根据三要素公式（725）得到,在此时间范围内电路的时间常数为,电感电流iL(t)的波形曲线如图(b)所示。在t=0时，它从零开始，以时间常数1=0.1s确定的指数规律增加到最大值0.316A后，就以时间常数2=0.0667s确定的指数规律衰减到零。,图7-25,例7-12 图7-26(a)所示电路中，开关断开已经很久，t=1s时 开关S闭合，t=2s时开关S重新断开，试求t0电容电 压uC(t)和电阻电压uo(t)。,图7-26,解：本题要求计算电容电压和1.6k电阻电压，先将电路 其余部分用戴维宁等效电路代替，得到开关S断开和 闭合时的等效电路如图726(b)和(c)所示，再从时间 上分段计算。 1. 1st2s区间内响应的计算 根据,得到电容电压为,2. t2s区间内响应的计算,得到,用三要素法也可以求出电压uo(t)，读者可以检验以下计算结果是否正确。,画出uC(t)和uo(t)的波形如图726(d)和(e)所示。,图7-26,图727 利用开关的转换产生分段恒定信号,三、分段恒定信号激励的一阶电路 通过电路中的开关可以将一个直流电源接通到某些电路中，它们所起的作用等效于一个分段恒定信号的时变电源。例如图(a)所示包含的开关电路，其输出电压u(t)等效于图(b)所示的一个时变电压源，其电压波形如图727(c)所示。假如t=t0时刻开关再由2端转换到1端，使其输出电压为零，此时图(a)电路等效于产生图(d)所示的脉冲波形的时变电压源。,例如对于图(b)所示波形的电压源作用于图(a)所示的RC串联电路，用三要素法容易画出iC(t)、uC(t)的波形，如图(c)和(d)所示。注意到电容电压的波形是连续的，而电容电流波形在t=0时是不连续的。,图7-28 用三要素法求分段恒定信号激励的一阶电路响应,例7-13 电路如图7-29(a)所示，独立电流源的波形如图(b) 所示，求电感电流的响应，并画出波形曲线。,解：按照波形的具体情况，从时间上分三段用三要素法求 电感电流的响应。,1. t0 , iS(t)=0，由此得到,图7-29,(2) 计算稳态值iL(),(3) 计算时间常数 ,(4) 利用三要素公式得到,2. 0t1ms , iS(t)=10mA,图7-29,(1) 计算初始值iL(0+),3. 1mst , iS(t)=0,(2) 计算稳态值iL(),(3) 时间常数相同，即,(4) 根据三要素公式得到,图7-29,(1) 计算初始值iL(1ms+),75 二阶电路的零输入响应,一、RLC串联电路的微分方程,图730 RLC串联二阶电路,为了得到图730所示RLC串联电路的微分方程，先列出KVL方程,根据前述方程得到以下微分方程,这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。,其特征方程为,其特征根为,零输入响应方程为,电路微分方程的特征根，称为电路的固有频率。当R，L，C的量值不同时，特征根可能出现以下三种情况,1. 时， 为不相等的实根。过阻尼情况。,3. 时， 为共轭复数根。欠阻尼情况。,2. 时， 为两个相等的实根。临界阻 尼情况。,二、过阻尼情况,当 时，电路的固有频率s1，s2为两个不相同的 实数，齐次微分方程的解答具有下面的形式,式中的两个常数K1，K2由初始条件iL(0)和uc(0) 确定。,求导，再令t=0得到,求解以上两个方程，可以得到,由此得到电容电压的零输入响应，再利用KCL方程和电容的VCR可以得到电感电流的零输入响应。,例7- 14 电路如图7-30所示，已知R=3,L=0.5H, C=0.25F, uC(0)=2V, iL(0)=1A，求电容电压和电感电流的零 输入响应。,解：将R，L，C的量值代入计算出固有频率,图730 RLC串联二阶电路,将固有频率s1=-2和s2=-4代入得到,利用电容电压的初始值uC(0)=2V和电感电流的初始值iL(0)=1A得到以下两个方程：,K1=6 K2=-4,最后得到电容电压的零输入响应为,利用KCL和电容的VCR方程得到电感电流的零输入响应,从图示电容电压和电感电流的波形曲线，可以看出电路各元件的能量交换过程。,三、临界情况,当 时，电路的固有频率s1, s2为两个相同的实数s1=s2=s。齐次微分方程的解答具有下面的形式,式中的两个常数K1，K2由初始条件iL(0)和uC(0) 确定。t=0得到,联立求解以上两个方程，可以得到,将 K1, K2的计算结果，代入得到电容电压的零输入响应，再利用KCL方程和电容的VCR可以得到电感电流的零输入响应。,求导，再令得到,例7-15 电路如图7-31所示。已知已知R=1 ，L=0.25 H， C=1 F，uC(0)=-1V，iL(0)=0，求电容电压和电感电流的零输入响应。,解：将R，L，C的量值代入计算出固有频率的数值,图731 RLC串联二阶电路,利用电容电压的初始值uC(0)=-1V和电感电流的初始值iL(0)=0得到以下两个方程,将两个相等的固有频率s1=s2=-2 代入得到,得到电感电流的零输入响应,求解以上两个方程得到常数K1=-1和K2=-2，得到电容电压的零输入响应,根据以上两个表达式用计算机程序DNAP画出的波形曲线，如图732所示。,(a) 电容电压的波形 (b) 电感电流的波形 图732 临界阻尼情况,四、欠阻尼情况,当 时，电路的固有频率s1，s2为为两个共轭复数根，它们可以表示为,其中,齐次微分方程的解答具有下面的形式,式中,由初始条件iL(0)和uC(0)确定常数K1，K2后，得到电容电压的零输入响应，再利用KCL和VCR方程得到电感电流的零输入响应。,例7-16 电路如图7-33所示。已知R=6, L=1H, C=0.04F, uC(0)=3V，iL(0)=0.28A，求电容电压和电感电流的零输入响应。,解：将R，L，C的量值代入计算出固有频率的数值,图733 RLC串联二阶电路,利用电容电压的初始值uC(0)=3V和电感电流的初始值iL(0)=0.28A得到以下两个方程,求解以上两个方程得到常数K1=3和K2=4，得到电容电压和电感电流的零输入响应:,将两个不相等的固有频率 s1=-3+j4 和 s2=-3-j4 代入得到,(a) 衰减系数为3的电容电压的波形 (b) 衰减系数为3的电感电流的波形 (c) 衰减系数为0.5的电容电压的波形 (d) 衰减系数为0.5的电感电流的波形 图734 欠阻尼情况,用计算机程序DNAP画出的波形曲线，如图734(a)和(b)所示,从图7-34波形曲线可以看出，欠阻尼情况的特点是能量在电容与电感之间交换，形成衰减振荡。电阻越小，单位时间消耗能量越少，曲线衰减越慢。 当例716中电阻由R=6减小到R=1，衰减系数由3变为0.5时，用计算机程序DNAP得到的电容电压和电感电流的波形曲线，如图734(c)和(d)所示，由此可以看出曲线衰减明显变慢。假如电阻等于零，使衰减系数为零时，电容电压和电感电流将形成无衰减的等幅振荡。,例7-17 电路如图7-35所示。已知R=0, L=1H, C=0.04F, uC(0)=3V, iL(0)=0.28A，求电容电压和电感电流的零输入响应。,解：将R，L，C的量值代入式（94）计算出固有频率的 数值,图735 RLC串联二阶电路,将两个不相等的固有频率s1=j5和s2=-j5代入式（9-11）得到,利用电容电压的初始值uC(0)=3V和电感电流的初始值iL(0)=0.28A 得到以下两个方程,求解以上两个方程得到常数K1=3和K2=1.4，得到电容电压和电感电流的零输入响应:,用计算机程序DNAP画出的电容电压和电感电流的波形曲线，如图736所示。,图736 无阻尼情况,从电容电压和电感电流的表达式和波形曲线可见，由于电路中没有损耗，能量在电容和电感之间交换，总能量不会减少，形成等振幅振荡。电容电压和电感电流的相位差为90，当电容电压为零，电场储能为零时，电感电流达到最大值，全部能量储存于磁场中；而当电感电流为零，磁场储能为零时，电容电压达到最大值，全部能量储存于电场中。 从以上分析计算的结果可以看出，RLC二阶电路的零输入响应的形式与其固有频率密切相关，我们将响应的几种情况画在图737上。,图7-37,由图737可见： 1. 在过阻尼情况，s1和s2是不相等的负实数，固有频率出现在s平面上负实轴上，响应按指数规律衰减。 2.在临界阻尼情况，s1=s2是相等的负实数，固有频率出现在s平面上负实轴上，响应按指数规律衰减。 3.在欠阻尼情况，s1和s2是共轭复数，固有频率出现在s平面上的左半平面上，响应是振幅随时间衰减的正弦振荡，其振幅随时间按指数规律衰减，衰减系数 越大，衰减越快。衰减振荡的角频率d 越大，振荡周期越小，振荡越快。,图中按Ke-t画出的虚线称为包络线，它限定了振幅的变化范围。 4.在无阻尼情况，s1和s2是共轭虚数，固有频率出现在s平面上的虚轴上，衰减系数为零，振幅不再衰减，形成角频率为0的等幅振荡。 显然，当固有频率的实部为正时，响应的振幅将随时间增加，电路是不稳定的。由此可知，当一个电路的全部固有频率均处于s平面上的左半平面上时，电路是稳定的。,五、直流激励下RLC串联电路的响应,对于图示直流激励的RLC串联电路，当uS(t)=US时，可以得到以下非齐次微分方程,电路的全响应由对应齐次微分方程的通解与微分方程的特解之和组成,电路的固有频率为,当电路的固有频率s1s2时，对应齐次微分方程的通解为,微分方程的特解为,全响应为,利用以下两个初始条件,可以得到,对uC(t)求导，再令t=0得到,求解这两个代数方程，得到常数K1和K2后就可得到uC(t)。,例7-18 电路如图所示。已知 R=4，L=1H， C=1/3F， uS(t)=2V，uC(0)=6V，iL(0)=4A。求t0时，电容电压和电感电流的响应。,解：先计算固有频率,这是两个不相等的负实根，其通解为,特解为,全响应为,利用初始条件得到,联立求解以上两个方程得到,最后得到电容电压和电感电流的全响应,例7-19 电路如图所示。已知R=6, L=1H, C=0.04F, uS(t)= (t)V。求t0时电容电压的零状态响应。,解：t0时，(t)=1V，可以作为直流激励处理。首先计算 电路的固有频率,根据这两个固有频率s1=-3+j4和s2=-3-j4，可以得到全响应的表达式为,利用电容电压的初始值uC(0)=0和电感电流的初始值iL(0)=0得到以下两个方程,求解以上两个方程得到常数K1-1和K2-0.75，得到电容电压的零状态响应,可以用计算机程序DNAP画出电容电压和电感电流零状态响应的波形。,注：图(c)和(d)表示当电阻由R=6减小到R=1，衰减系数由3变为0.5时的电 容电压和电感电流零状态响应的波形曲线。,注：图(a)和(b)表示用DNAP程序画出的电容电压和电感电流的波形。,图7-38,7-6 二阶电路的零状态响应和全响应,RLC并联电路如图7-8所示，为了得到电路的二阶微分方程，列出KCL方程,图7-6-1,二阶电路的零状态响应：二阶电路的初始储能为零（即电容两端的电压和电感中的电流都为零），仅由外施激励引起的响应,代入电容，电阻和电感的VCR方程,得到微分方程,这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。,其特征方程为,由此求解得到特征根,当电路元件参数G,L,C的量值不同时，特征根可能出现以下三种情况：,1. 时，s1,s2为两个不相等的实根。,2. 时，s1,s2为两个相等的实根。,3. 时，s1,s2为共轭复数根。,当两个特征根为不相等的实数根时，称电路是过阻尼的；当两个特征根为相等的实数根时，称电路是临界阻尼的；当两个特征根为共轭复数根时，称电路是欠阻尼的。,例7-6-1 电路如图7-6-2所示。已知G=3S,L=0.25H, C=0.5F, iS(t)=(t)A。求t0时电感电流和电容电压的零状态响应。,解：根据G,L,C 的量值，计算出固有频率,图7-6-2,利用电容电压的初始值uC(0)=0和电感电流的初始值iL(0)=0得到以下两个方程,求得常数K1=-2,K2=1。最后得到电感电流和电容电压,这是两个不相等的实根，电感电流的表达式为,例7-6-2RLC并联电路中，已知G=0.1S,L=1H, C=1F, iS(t)=(t)A。求t0时，电感电流的零状态响应。 解：首先计算固有频率,其响应为,利用零初始条件，得到,由此可得,最后得到电感电流为,用计算机程序DNAP画出的电感电流波形如下所示。,衰减系数为0.05的电感电流的波形,一般二阶电路分析,除了RLC串联和并联二阶电路以外，还有很多由两个储能元件以及一些电阻构成的二阶电路。本节讨论这些电路的分析方法，关键的问题是如何建立电路的二阶微分方程以及确定相应的初始条件。现在举例加以说明。,例7-6-3 图7-6-3(a)所示电路在开关转换前已经达到稳态，已知uS(t)=6e-3tV，t=0闭合开关。试求t0时电容电压 uC(t)的全响应。,解：先求出电容电压和电感电流的初始值为,由此得到t0的电路如图(b)所示。,图7-6-3,以电容电压uC(t)和电感电流iL(t)为变量，列出两个网孔的KVL方程,从这两个微分方程中消去电感电流iL(t)，可以得到以电容电压uC(t)为变量的二阶微分方程。一种较好的方法是引用微分算子 将以上微分方程变换成代数方程,用克莱姆法则求得,将上式改写为,最后将微分算子反变换得到以电容电压为变量的二阶微分方程,从特征方程,求得特征根，即固有频率为,uC(t)的固有响应为,uC(t)的强制响应为,代入微分方程中得到,求得B=-9，即强制响应为uCp(t)=-9e-3t。uC(t)的全响应为,现在利用初始条件确定常数K1 和K2 。将uC(0+)=6V代入上式得到,另外一个初始条件 可以从代数方程中求得,反变换得到 与uC(0+), iL(0+), uS(0+)的关系式,得到,联立求解以上两个代数方程可以得到,最后得到电容电压uC(t)的全响应表达式,从以上计算过程可以看出，采用微分算子将微分方程变换成代数方程，采用代数运算的方法可以求得微分方程和求解微分方程所需的初始条件。,建立二阶微分方程的主要步骤如下： 1. 以uC(t)和iL(t)为变量列出两个电路微分方程。 2. 利用微分算子和将微分方程变换为两个代数方程。 3. 联立求解两个代数方程得到解答x=P(s)/Q(s),其中x表示电容电压uC(t)或电感电流iL(t)，P(s),Q(s)是s的多项式。 4. 将x=P(s)/Q(s)改写为Q(s)x=P(s)形式，再反变换列出二阶微分方程。,例7-6-4 电路如图7-6-4所示，已知r4，列出以uC(t)为变 量的电路微分方程。,图7-6-4,解：以iL(t)和iC(t)为网孔电流列出网孔方程,代入电容的VCR方程,得到以iL(t)和uC(t)为变量的方程,引用微分算子 将以上微分方程变换成代数方程,用克莱姆法则求得,反变换得到二阶微分方程,微分方程变换成代数方程,从代数方程中还可求出求解微分方程所需的另外一个初始条件,从特征方程5s2+24s+7=0还可以求得固有频率为,例7-6-5 电路如7-6-5图所示，列出以电容电压uC1(t)和uC2(t) 为变量的电路微分方程。,解：以结点电压uC1(t)和uC2(t)为变量列出结点方程,图7-6-5,引用微分算子 将以上微分方程变换成代数方程,用克莱姆法则求得,反变换可以得到以电容电压uC1(t)和uC2(t)为变量的二阶微分方程为,为了得到 和 ，先从代数方程中可以求得,再反变换得到求解微分方程需要的初始条件 和,例7-6-6 电路如图7-6-6所示，以uC(t)为变量的列出电路微分 方程。,解：以iL(t)和uC(t)为变量列出两个网孔的KVL方程,图7-6-6,引用微分算子 将以上微分方程变换成代数方程,用克莱姆法则求得,反变换可以得到以电容电压uC(t)为变量的二阶微分方程,由此二阶非齐次微分方程的系数可见，当=R时，变为齐次微分方程，响应与电源电压uS(t)无关，且具有零输入响应的性质。 假设改变电路参数，令r=2R时，二阶项的系数为零，以上方程变为,此式是一阶微分方程，说明图911电路此时是一个一阶电路。,由此分析可见，假如能够写出电路参数(R、L、C、r)用符号表示的电路微分方程，就容易看出电路参数对电路响应的影响，这对电路的分析和设计是十分有益的。,假设人们能够实现负电感或负电容，使电路参数满足条件L+R2C=0，则一阶项系数也变为零，此时微分方程 将变为一个代数方程了。,2. 二阶电路的全响应,(1) 列微分方程,(2)求特解,解,下 页,上 页,例,应用结点法：,返 回,(3)求通解,特征根为： P= -100 j100,(4)定常数,特征方程为：,下 页,上 页,返 回,(5)求iR,或设解答形式为：,定常数,下 页,上 页,50 ,返 回,下 页,上 页,返 回,二阶电路含二个独立储能元件，是用二阶常微分方程所描述的电路。,二阶电路的性质取决于特征根，特征根取决于电路结构和参数，与激励和初值无关。,下 页,上 页,小结,返 回,求二阶电路全响应的步骤,(a)列写t 0+电路的微分方程,(b)求通解,(c)求特解,(d)全响应=强制分量+自由分量,上 页,返 回,上 页,7-7 一阶电路和二阶电路的 阶跃响应,1. 单位阶跃函数,定义,单位阶跃函数的延迟,下 页,上 页,返 回,在电路中模拟开关的动作,单位阶跃函数的作用,下 页,上 页,返 回,t = 0 合闸 i(t) = Is,t = 0 合闸 u(t) = E,起始一个函数,延迟一个函数,下 页,上 页,返 回,用单位阶跃函数表示复杂的信号,例 1,例 2,f(t),下 页,上 页,返 回,例 4,例 3,下 页,上 页,返 回,例 5,已知电压u(t)的波形如图，试画出下列电压的波形。,下 页,上 页,返 回,2. 一阶电路的阶跃响应,激励为单位阶跃函数时，电路中产生的零状态响应。,阶跃响应,下 页,上 页,i,注意,返 回,下 页,上 页,返 回,激励在 t = t0 时加入， 则响应从t =t0开始。,不要写为：,下 页,上 页,注意,返 回,- t,求图示电路中电流 iC(t）,例,下 页,上 页,返 回,应用叠加定理,下 页,上 页,阶跃响应为：,返 回,由齐次性和叠加性得实际响应为：,下 页,上 页,返 回,下 页,上 页,分段表示为：,返 回,分段表示为：,下 页,上 页,返 回,2. 二阶电路的阶跃响应,下 页,上 页,对电路应用KCL列结点电流方程有,已知图示电路中uC(0-)=0, iL(0-)=0，求单位阶跃响应 iL(t）,例,解,返 回,下 页,上 页,代入已知参数并整理得：,这是一个关于的二阶线性非齐次方程，其解为,特解,特征方程,通解,解得特征根,返 回,下 页,上 页,代初始条件,阶跃响应,电路的动态过程是过阻尼性质的。,返 回,7.8* 一阶电路和二阶电路的冲激响应,1. 单位冲激函数,定义,单位脉冲函数的极限,下 页,上 页,返 回,单位冲激函数的延迟,单位冲激函数的性质,冲激函数对时间的积分等于阶跃函数,下 页,上 页,返 回,冲激函数的筛分性,同理,例,f(t)在 t0 处连续,注意,下 页,上 页,返 回,uc不是冲激函数 , 否则KCL不成立,分二个时间段考虑冲激响应,电容充电，方程为,例1,2. 一阶电路的冲激响应,激励为单位冲激函数时，电路中产生的零状态响应。,冲激响应,求单位冲激电流激励下的RC电路的零状态响应。,解,注意,下 页,上 页,返 回,电容中的冲激电流使电容电压发生跃变。,结论,(2) t 0+ 为零输入响应（RC放电）,下 页,上 页,返 回,下 页,上 页,返 回,例2,求单位冲激电压激励下的RL电路的零状态响应。,分二个时间段考虑冲激响应,解,iL不是冲激函数 , 否则KVL不成立。,注意,下 页,上 页,返 回,电感上的冲激电压使电感电流发生跃变。,结论,(2) t 0+ RL放电,下 页,上 页,返 回,下 页,上 页,返 回,先求单位阶跃响应：,求:is (t)为单位冲激时电路响应uC(t)和iC (t).,例,解,uC(0+)=0,uC()=R, = RC,iC(0+)=1,iC()=0,再求单位冲激响应,令：,下 页,上 页,返 回,令,下 页,上 页,返 回,冲激响应,阶跃响应,t,下 页,上 页,返 回,有限值,有限值,KVL方程为,例,4. 二阶电路的冲激响应,求单位冲激电压激励下的RLC电路的零状态响应。,解,t 在0至0间,下 页,上 页,返 回,下 页,上 页,t0+为零输入响应,返 回,下 页,上 页,返 回,7-9 卷 积,一、卷积定义,设有两个时间函数f1(t)和f2(t) ，它们在t0时为零， f1(t)和f