初一常用几何证明的定理.doc

初一常用几何证明的定理总结对顶角相等：几何语言：1、2是对顶角 12（对顶角相等）垂线：几何语言：正用反用：AOB90ABCDABCD（垂直的定义）AOB90（垂直的定义）证明线平行的方法：1、平行公理如果两条直线都与第三条直线平行，那么，这两条直线也平行。简述为：平行于同一直线的两直线平行。几何语言叙述：如图：ABEF，CDEFABCD（平行于同一直线的两直线平行。）2、同位角相等，两直线平行。几何语言叙述：如图：直线AB、CD被直线EF所截 12ABCD（同位角相等，两直线平行。）3、内错角相等，两直线平行。几何语言叙述：如图：直线AB、CD被直线EF所截，12ABCD（内错角相等，两直线平行。）4、同旁内角互补，两直线平行。几何语言叙述：如图：直线AB、CD被直线EF所截，1+2180OABCD（同旁内角互补，两直线平行。）5、垂直于同一直线的两直线平行。几何语言叙述：如图：直线ac，bc ab（垂直于同一直线的两直线平行。）平行线的性质：1、两直线平行，同位角相等。几何语言叙述：ABCD12（两直线平行，同位角相等。）2、两直线平行，内错角相等。几何语言叙述：如图： ABCD12（两直线平行，内错角相等。）3、两直线平行，同旁内角互补。几何语言叙述：如图：ABCD1+2180O（两直线平行，同旁内角互补。）证明角相等的其余常用方法：1、余角的性质：同角或等角的余角相等。例：如图AOBBOC90 BOCCOD90 AOBCOD（同角的余角相等）2、补角的性质：同角或等角的补角相等。例：如图AOBBOD180，AOCCOD180 且BODAOC AOBCOD（同角的补角相等）三角形中三种重要线段：1、三角形的角平分线：几何语言叙述：如图BD是ABC的角平分线 ABDCBD=ABC2、三角形的中线：几何语言叙述：如图BD是ABC的中线 ADBDAB3、三角形的高线：几何语言叙述：如图AD是ABC的高 ADBADC90三角形的分类：三角形三边的关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。如图：|ABAC|BCB（三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角）平面直角坐标系各个象限内和坐标轴的点的坐标的符号规律：（1）x轴将坐标平面分为两部分，x轴上方的纵坐标为正数；x轴下方的点纵坐标为负数。即第一、二象限及y轴正方向（也称y轴正半轴）上的点的纵坐标为正数；第三、四象限及y轴负方向（也称y轴负半轴）上的点的纵坐标为负数。反之，如果点P（a ，b）在x轴上方，则b0；如果P（a ，b）在x轴下方，则b0，b0(5)坐标轴上的点的符号规律： 坐标符号点所在位置横坐标纵坐标X轴正半轴0负半轴0Y轴正半轴0负半轴0原点00定义能够完全重合（大小，形状都相等的三角形）的两个三角形称为全等三角形。 当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。 (1) 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边。 (2) 全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角。 (3) 有公共边的，公共边一定是对应边。 (4) 有公共角的，角一定是对应角。 (5) )有对顶角的，对顶角一定是对应角。 编辑本段判定公理1、 三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。 2、 有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。 3、 有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。 4、 有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”) 5、 直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”) SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。 注意：在全等的判定中，没有AAA(角角角)和SSA(边边角)(特例：直角三角形为HL，属于SSA)，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。性质三角形全等的条件： 1 全等三角形的对应角相等。 2 全等三角形的对应边相等 3 全等三角形的对应顶点位置相等。 4 全等三角形的对应边上的高对应相等。 5 全等三角形的对应角的角平分线相等。 6 全等三角形的对应中线相等。 7 全等三角形面积相等。 88 全等三角形周长相等。 9 全等三角形可以完全重合 编辑本段推论要验证全等三角形，不需验证所有边及所有角也对应地相同。以下判定，是由三个对应的部分组成，即全等三角形可透过以下定义来判定： S.S.S. （Side-Side-Side）（边、边、边）：各三角形的三条边的长度都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。 S.A.S. （Side-Angle-Side）（边、角、边）：各三角形的其中两条边的长度都对应地相等，且两条边夹着的角都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。 A.S.A. （Angle-Side-Angle）（角、边、角）：各三角形的其中两个角都对应地相等，且两个角夹着的边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。 A.A.S. （Angle-Angle-Side）（角、角、边）：各三角形的其中两个角都对应地相等，且没有被两个角夹着的边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。 R.H.S. / H.L. （Right Angle-Hypotenuse-Side）（直角、斜边、边）：各三角形的直角、斜边及另外一条边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。 但并非运用任何三个相等的部分便能判定三角形是否全等。以下的判定同样是运用两个三角形的三个相等的部分，但不能判定全等三角形： A.A.A. （Angle-Angle-Angle）（角、角、角）：各三角形的任何三个角都对应地相等，但这并不能判定全等三角形，但则可判定相似三角形。 A.S.S. （Angle-Side-Side）（角、边、边）：各三角形的其中一个角都相等，且其余的两条边（没有夹着该角），但这并不能判定全等三角形，除非是直角三角形。但若是直角三角形的话，应以R.H.S.来判定。 编辑本段运用1、 性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等。 而全等的判定却刚好相反。2、 2利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便。 3，当图中出现两个以上等边三角形时，应首先考虑用SAS找全等三角形。 4 用在实际中，一般我们用全等三角形测相等的距离。以及相等的角，可以用于工业和军事。 5 三角形具有一定的稳定性，所以我们用这个原理来做脚手架及其他支撑物体。 编辑本段做题技巧一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。 因此我们可以来采取逆思维的方式。 来想要证全等，则需要什么条件 要证某某边等于某某边，那么首先要证明含有那两个边的三角形全等。 然后把所得的等式运用（AAS/ASA/SAS/SSS/HL）证明三角形全等。 有时还需要画辅助线帮助解题。 分析完毕以后要注意书写格式，在全等三角形中，如果格式不写好那么就容易出现看漏的现象。 例1、如图，已知CDAB于D，BEAC于E，ABEACD，C= 20，AB=10，AD= 4， G为AB延长线上一点求EBG的度数和CE的长 分析： (1)图中可分解出四组基本图形：有公共角的RtACD和RtABE；ABEACD，ABE的外角EBG或ABE的邻补角EBG (2)利用全等三角形的对应角相等性质及外角或邻补角的知识，求得EBG等于160 (3)利用全等三角形对应边相等的性质及等量减等量差相等的关系可得： CE=CAAE=BAAD=6 解： ABEACD C= 20（已知） ABE=C =20（全等三角形的对应角相等） EBG=180ABE =160（邻补角的意义） ABEACD（已知） AC=AB（全等三角形对应边相等） AE=AD（全等三角形对应边相等） CE=CAAE =BAAD =6（等式性质） 编辑本段例题分析例1： （2006浙江金华） 如图1，ABC与ABD中，AD与BC相交于O点，1=2，请你添加一个条件（不再添加其它线段，不再标注或使用其它字母），使AC=BD，并给出证明。 你添加的条件是： . 证明： 分析： 要说明AC=BD，根据图形想到先说明ABCBAD，题目中已经知道1=2，AB=AB，只需一组对边相等或一组对角相等即可。 解：添加的条件是：BC=AD. 证明：在ABC与BAD中，1=2，AB=AB，A=A ABCBAD（SAS）。 AC=BD. 小结：本题考查了全等三角形的判定和性质，答案不惟一，若按照以下方式之一来添加条件：BC=AD，C=D，CAD=DBC，CAB=DBA，都可得CABDBA，从而有AC=BD. 二、综合开放型 例2：（2006攀枝花）如图2，点E在AB上，AC=AD，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明。 所添条件为_. 你得到的一对全等三角形是： . 证明： 分析：