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第6章 机器人的动力学,2/84,内容简介,机器人动力学概述,工业机器人的静力学分析,二杆机器人的拉格朗日方程,机器人的拉格朗日方程的一般表达形式,3/84,手爪力和关节驱动力的关系,6.1 工业机器人的静力学分析,1 虚功原理,4/84,手爪的虚位移,手爪的虚位移,手爪力,关节驱动力,2 机械手静力学关系式的推导,6.1 工业机器人的静力学分析,5/84,2 机械手静力学关系式的推导,6.1 工业机器人的静力学分析,6/84,2 机械手静力学关系式的推导,6.1 工业机器人的静力学分析,7/84,内容简介,机器人动力学概述,工业机器人的静力学分析,二杆机器人的拉格朗日方程,机器人的拉格朗日方程的一般表达形式,机器人的牛顿欧拉方程,机器人的凯恩方程法简介,弹性机器人动力学简介,8/84,一、研究目的： 1、合理地确定各驱动单元（以下称关节）的电机功率。2、解决对伺服驱动系统的控制问题（力控制）,在机器人处于不同位置图形（位形）时，各关节的有效惯量及耦合量都会发生变化（时变的），因此，加于各关节的驱动力也应是时变的，可由动力学方程给以确定。,6.2 机器人动力学概述,9/84,二、机器人动力学研究的问题可分为两类： 1、给定机器人的驱动力（矩），用动力学方程求解机器 人（关节）的运动参数或动力学效应（即已知 , 求 和 ，称为动力学正问题。）。 2、给定机器人的运动要求，求应加于机器人上的驱动力（矩）（即已知 和 ，求 , 称为动力学逆问题 ）。,6.2 机器人动力学概述,10/84,三、动力学研究方法： 1拉格朗日方程法：通过动、势能变化与广义力的关系，建立机器人的动力学方程。代表人物 R.P.Paul、J.J.Uicker、J.M.Hollerbach等。计算量O(n4)，经优化O(n3)，递推O(n)。 2牛顿欧拉方程法：用构件质心的平动和相对质心的转动表示机器人构件的运动，利用动静法建立基于牛顿欧拉方程的动力学方程。代表人物Orin, Luh(陆养生)等。计算量O(n)。,6.2 机器人动力学概述,11/84,3高斯原理法: 利用力学中的高斯最小约束原理,把机器人动力学问题化成极值问题求解.代表人物波波夫(苏). 用以解决第二类问题。计算量O(n3)。 4凯恩方程法：引入偏速度概念，应用矢量分析建立动力学方程。该方法在求构件的速度、加速度及关节驱动力时，只进行一次由基础到末杆的推导，即可求出关节驱动力，其间不必求关节的约束力，具有完整的结构，也适用于闭链机器人。计算量O(n!)。,6.2 机器人动力学概述,12/84,内容简介,机器人动力学概述,工业机器人的静力学分析,二杆机器人的拉格朗日方程,机器人的拉格朗日方程的一般表达形式,13/84,动力学方程为： 广义力 广义速度 广义坐标 （力或力矩）（ 或 ） （ 或 ）,6.3 二杆机器人的拉格朗日方程,应用质点系的拉格朗日方程来处理杆系的问题。,定义：L=K-P LLagrange函数；K系统动能之和；P系统势能之和。,6.3.1 刚体系统拉格朗日方程,14/84,设二杆机器人臂杆长度分别为d1,d2，质量分别集中在端点为m1 m2，坐标系选取如图。,以下分别计算方程中各项：,一、动能和势能,对质点 ：,势能：,动能：,（负号与坐标系建立有关）,6.3.2 刚体系统拉格朗日方程,6.3 二杆机器人的拉格朗日方程,15/84,对质点：,先写出直角坐标表达式：,6.3.2 刚体系统拉格朗日方程,对 求导得速度分量：,6.3 二杆机器人的拉格朗日方程,16/84,动能：,势能：,6.3 二杆机器人的拉格朗日方程,17/84,二、Lagrange函数,6.3 二杆机器人的拉格朗日方程,18/84,三、动力学方程,先求第一个关节上的力矩,（1）,6.3 二杆机器人的拉格朗日方程,19/84,三、动力学方程,先求第一个关节上的力矩,（1）,6.3 二杆机器人的拉格朗日方程,20/84,同理，对 和 微分，可求得第二关节力矩,以上是两杆机器人动力学模型。,（2）,6.3 二杆机器人的拉格朗日方程,21/84,四、动力学方程中各系数的物理意义 将前面结果重新写成简单的形式 ：,6.3 二杆机器人的拉格朗日方程,22/84,系数 D 的物理意义：,关节i的有效惯量（等效转动惯量的概念）。,关节i和j 之间的耦合惯量 。,向心力项系数。表示关节i处的速度作用在关节j处的向心力,向心力项系数。表示关节i处的速度作用在本身关节处 的向心力,四、动力学方程中各系数的物理意义,6.3 二杆机器人的拉格朗日方程,23/84,哥氏力项系数。两项组合为关节i与j处的速度作用在关节k处的哥氏力，哥氏力是由于牵连运动是转动造成的。,关节 i处的重力项 。重力项只与 m大小、d长度以及机构的结构图形有关。,比较二杆机器人例中的系数与一般表达式中的系数得到有效惯量系数：,耦合惯量系数：,6.3 二杆机器人的拉格朗日方程,24/84,向心力项系数：,哥氏力项系数：,重力项：,6.3 二杆机器人的拉格朗日方程,25/84,内容简介,机器人动力学概述,工业机器人的静力学分析,二杆机器人的拉格朗日方程,机器人的拉格朗日方程的一般表达形式,26/84,6.4 机器人的拉格朗日方程的一般表达形式,从上节容易看出Lagrange方程是一个二阶耦合、非线性和微分方程，为简化计算，未虑及传动链中的摩擦。以下方程的推导，也是不考虑传动链带来的摩擦影响，只考虑杆件本身，然后再加入关节处驱动装置（如电机、码盘等）的影响。,27/84,6.4 机器人的拉格朗日方程的一般表达形式,推导分五步进行：,一、计算任意任意杆件上任意点的速度； 二、计算动能 ； 三、计算势能 ； 四、形成Lagrange函数； 五、建立动力学方程 。,28/84,其速度为：,一、点的速度,由于整个系统的动能都是在基础系中考虑的，故需求系统各质点在基础坐标系中的速度 。,对于杆 坐标系中的一点 ，它在基础坐标系中的位置为,式中 变换矩阵,速度平方为：,式中 矩阵的迹，即矩阵主对角元素之和。,29/84,6.4 机器人的拉格朗日方程的一般表达形式,30/84,二、动能,位于杆 上 处质量为 的质点的动能是：,6.4 机器人的拉格朗日方程的一般表达形式,31/84,则杆 的动能（在基础坐标系中）为：,令式中 称为连杆 的伪惯量矩阵。,则得到杆 的动能为：,对于杆 上任意一点的 （在杆 坐标系中）可以表示为：,32/84,根据理论力学中惯性矩、惯性积和静矩的定义，引入下列记号：,对坐标轴的惯性矩：,则有：,33/84,对坐标轴的惯性积：,对坐标轴的静矩：,质量之和：,于是：,34/84,同理：,于是 能够表达为：,机器人臂杆总的动能是：,35/84,如果考虑到关节处驱动装置的动能：,调换求迹与求和运算顺序，并加入关节处驱动装置的动能，得到机器人总的动能为：,（对于移动关节： ）,式中 为关节 处驱动装置的转动惯量。,36/84,三、势能,设杆 的质心在再其自身坐标系的位置向量为 ，则它在基础坐标系中的位置向量 为,设重力加速度 在基础坐标系中的齐次分量为：,6.4 机器人的拉格朗日方程的一般表达形式,37/84,于是机器人的总势能为：,则杆在基础坐标系中的势能为：,（一般认为基础坐标系的 z 轴取向上方）,6.4 机器人的拉格朗日方程的一般表达形式,38/84,四、拉格朗日函数,6.4 机器人的拉格朗日方程的一般表达形式,39/84,先求拉格朗日方程中的各项：,五、动力学方程,（1 ),6.4 机器人的拉格朗日方程的一般表达形式,40/84,由于 是对称矩阵，则有：,合并(1)式中前两项，得到：,6.4 机器人的拉格朗日方程的一般表达形式,41/84,（1),当 时， 中不包含 以后关节变量，即：,于是可得：,6.4 机器人的拉格朗日方程的一般表达形式,42/84,（2 ),得到：,6.4 机器人的拉格朗日方程的一般表达形式,43/84,（3 ),6.4 机器人的拉格朗日方程的一般表达形式,44/84,将以上各项带入拉格朗日公式，得到：,（5 ),（4 ),6.4 机器人的拉格朗日方程的一般表达形式,上式为拉格朗日方程的最后形式。这些方程与求和的次序无关，因此可将上式写为简化形式：,45/84,式中：,以上的动力学方程 (5)中系数 D的意义与上节所列相同，即分别为有效惯量项系数,耦合惯量项系数，向心力项系