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第二节 微积分学基本公式 与基本定理,作业 习题3.2(A) 3(4) (6) , 4(4)(5)(6)(7),6,7,10,12, (B)2,3,一、问题的提出,在变速直线运动中, 已知位移函数,与速度函数,之间有关系:,物体在时间间隔,内经过的路程为,?,猜测：,考察定积分,记,变上限积分（函数，且可导）,二、变上限积分及其导数,y=f(t),定理1 (微积分第一基本定理),证,推论,证,例1 求极限,解,分析：这是 型不定式，应用洛必达法则.,例2.,证明,在,内为严格单调递增函数 .,证:,只要证,定理2（原函数存在定理）,定理的重要意义：,（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.,（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.,定义2.1 (原函数),如果在区间 I 上有,如果F（x)是 f ( x ) 在 I 中的一个原函数,定理3 (微积分第二基本定理),则F（x）+C是f ( x )在I中的所有原函数。,关于原函数的说明：,（1）若 ，则对于任意常数 ，,（2）若 和 都是 的原数，,则,（ 为任意常数）,定理 4（微积分基本公式）,证,三、牛顿莱布尼茨公式,NewtonLeibniz公式,注意,例3,例4 求,解,解：,例5.,设,求,定积分为常数 ,设, 则,故应用积分法求此常数 .,四、不定积分,函数 f ( x )的所有原函数F（x)+C的表达式，,称为 f ( x )的不定积分（集合），记为,例如,结论：,微分运算与求不定积分的运算是互逆的.,1、基本性质,2、 基本积分表,是常数);,（16）,例1 求积分,解,例2 求积分,解,例3 求积分,解,例4 求积分,解,例5,3.微积分基本公式,1.变上限积分函数,2.变上限积分函数的导数,四、小结,4.不定积分,例6,A,解,所求曲线方程为,例7,例8. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,速停车,解: 设开始刹车时刻为,则此时刻汽车速度,刹车后汽车减速行驶 , 其速度为,当汽车停住时,即,得,故在这段时间内汽车所走的距离为,刹车,问从开始刹,到某处需
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