四川省宜宾市一中高三数学上学期第二周函数与方程考点梳理.docx

函数与方程考点梳理1函数的零点(1)定义：对于函数yf(x)，我们把使_的实数x叫做函数yf(x)的零点函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的_，也是函数yf(x)的图象与x轴的_(2)函数有零点的几个等价关系：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴_函数yf(x) _由此可知，求方程f(x)0的实数根，就是确定函数yf(x)的_一般地，对于不能用公式求根的方程f(x)0来说，我们可以将它与_联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根2函数的零点存在性定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_，那么，函数yf(x)在区间_内有零点，即存在c_，使得_，这个c也就是方程f(x)0的根3二次函数的零点分布(即一元二次方程根的分布，见2.4节“考点梳理”5)自查自纠1(1)f(x)0实数根交点的横坐标(2)有交点有零点零点函数yf(x)2f(a)f(b)0(a，b)(a，b)f(c)0基础自测 下列函数中，不能用二分法求零点近似值的是()Af(x)x53x1 Bg(x)2x38x1Ch(x)|2x9x| D(x)lnx解：h(x)非负故选C. (2015安徽)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()Aycosx Bysinx Cylnx Dyx21解：ycosx是偶函数且有无数多个零点，ysinx为奇函数，ylnx既不是奇函数也不是偶函数，yx21是偶函数但没有零点故选A. 已知函数f(x)log2x.在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()A(0，1) B(1，2) C(2，4) D(4，)解：f(x)在(0，)为减函数，又f(1)60，f(2)20，f(4)20.故选C. 函数f(x)xlnx3在(2，3)内的零点个数是_解：f(x)单调递增，又f(2)f(3)0，故f(x)在(2，3)内仅一个零点故填1. 方程lnx82x的实数根x(k，k1)，kZ，则k_.解：构造函数f(x)lnx2x8，所以f(x)20(x0)，则f(x)在(0，)上单调递增，又f(1)60，f(2)ln240，f(3)ln320，f(4)ln40，所以f(x)的唯一零点在(3，4)内，因此k3.故填3.类型一判断函数零点所在区间(2017浙江温州十校联考)设f(x)lnxx2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A(0，1) B(1，2) C(2，3) D(3，4)解法一：函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)lnx，h(x)x2图象交点的横坐标所在的取值范围作图如右图，可知f(x)的零点所在的区间为(1，2)解法二：易知f(x)lnxx2在(0，)上为增函数，且f(1)1210.所以根据函数零点存在性定理可知在区间(1，2)内函数存在零点故选B.【点拨】确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数yf(x)在区间a，b上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)0.所以f(x)在其定义域上是单调递增函数因为fe40，f(0)20，fe20，所以ff0，所以f(x)的零点所在区间为.故选C.类型二零点个数的判断(2015湖北)f(x)2sinxsinx2的零点个数为_解：f(x)2sinxcosxx2sin2xx2，则函数的零点即为函数ysin2x与函数yx2图象的交点，如图所示，两图象有2个交点，则函数有2个零点故填2.【点拨】函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点，令f(x)0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，应注意：满足条件的零点可能不惟一；不满足条件时，也可能有零点，因此一般要再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数(2016南昌二模)已知函数yf(x)是周期为2的周期函数，且当x1，1时，f(x)2|x|1，则函数F(x)f(x)|lgx|的零点个数是()A9B10C11D18解：在坐标平面内画出yf(x)与y|lgx|的大致图象如图，由图象可知，它们共有10个不同的交点，因此函数F(x)f(x)|lgx|的零点个数是10.故选B.类型三已知零点情况求参数的取值范围(2016柳州模拟)函数f(x)的定义域为实数集R，且f(x) 对任意的xR都有f(x2)f(x2)若在区间5，3上函数g(x)f(x)mxm恰好有三个不同的零点，则实数m的取值范围是()A. B.C. D.解：因为对任意的xR都有f(x2)f(x2)，所以函数f(x)的周期为4.由在区间5，3上函数g(x)f(x)mxm有三个不同的零点，知函数f(x)与函数h(x)mxm的图象在5，3上有三个不同的交点在同一坐标系上画出函数f(x)与h(x)在区间5，3上的图象，如图所示由图可知m，即m Ba或a1C1a Da1解：由题可知函数f(x)的图象是一条直线，所以f(x)在区间(1，1)上存在一个零点等价于f(1)f(1)0，即(15a)(a1)0.解得a或a1.故选B.5f(x)是R上的偶函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x2，则函数yf(x)|log5x|的零点个数为()A4 B5 C8 D10解：f(x)是周期为2的偶函数，从而可得yf(x)与y|log5x|的函数图象如图所示，总共有5个交点，所以共有5个零点故选B.6(2016重庆一诊)设函数f(x)ex2x4，g(x)lnx2x25，若实数a，b分别是f(x)，g(x)的零点，则()Ag(a)0f(b) Bf(b)0g(a)C0g(a)f(b) Df(b)g(a)0解：依题意，f(0)30，f(1)e20，且函数f(x)是增函数，因此函数f(x)的零点在区间(0，1)内，即0a1.g(1)30，g(2)ln230，函数g(x)的零点在区间(1，2)内，即1b2，于是有f(b)f(1)0.又函数g(x)在(0，1)内是增函数，因此有g(a)g(1)0，g(a)0f(b)故选A.7若函数f(x)x2axb的两个零点是2和3，则不等式af(2x)0的解集是_解：因为f(x)x2axb的两个零点是2，3.所以2，3是方程x2axb0的两根，由根与系数的关系知 所以 所以f(x)x2x6.因为不等式af(2x)0，即(4x22x6)02x2x30x1.故填.8已知函数f(x)m|x|有三个零点，则实数m的取值范围为_解：函数f(x)有三个零点等价于方程m|x|有且仅有三个实根当m0时，不合题意，舍去；当m0时，因为m|x|x|(x2)，作函数y|x|(x2)的图象，如图所示，由图象可知m应满足01.故填(1，)9已知函数f(x)4xm2x1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点解：因为f(x)4xm2x1有且仅有一个零点，即方程(2x)2m2x10仅有一个实根设2xt(t0)，则t2mt10.当0，即m240，所以m2时，t1；m2时，t1(不合题意，舍去)，所以2x1，x0符合题意当0，即m2或m2时，t2mt10有两正根或两负根，即f(x)有两个零点或没有零点所以这种情况不符合题意综上可知，m2时，f(x)有唯一零点，该零点为x0.10已知二次函数f(x)x2(2a1)x12a.(1)判断命题：“对于任意的aR，方程f(x)1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若yf(x)在区间(1，0)及内各有一个零点，求实数a的取值范围解：(1)“对于任意的aR，方程f(x)1必有实数根”是真命题依题意，f(x)1有实根，即x2(2a1)x2a0有实根，因为(2a1)28a(2a1)20对于任意的aR恒成立，即x2(2a1)x2a0必有实根，从而f(x)1必有实根(2)依题意，要使yf(x)在区间(1，0)及内各有一个零点，只需 即 解得a.故实数a的取值范围为.11已知函数f(x)满足f(x2)f(x)当1x0时，f(x)ex；当00)，求函数g(x)在0，3上的零点个数解：(1)当1x0时，函数f(x)ex是单调递减的函数y4x24x1的图象的对称轴是x，开口向上，所以f(x)在上单调递减，在上单调递增又因为f(0)e01402401，所以函数f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.(2)f(x)的周期为2，画出函数yf(x)在2个周期内的图象如图，结合图象可知，当0k时，g(x)有四个零点；当k1时，g(x)有三个零点；当1k0)的图象，可将yf(x)的图象上每点的纵坐标伸(A1时)或缩(A0)的图象，可将yf(x)的图象上每点的横坐标伸(a1时)到原来的_(4)翻折变换y|f(x)|的图象作法：作出yf(x)的图象，将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，上方的部分不变；yf(|x|)的图象作法：作出yf(x)在y轴右边的图象，以y轴为对称轴将其翻折到左边得yf(|x|)在y轴左边的图象，右边的部分不变自查自纠2(1)yf(xa)右yf(x)b下(2)y轴x轴原点xm(3)A倍倍基础自测 函数y5x与函数y的图象关于()Ax轴对称 By轴对称C原点对称 D直线yx对称解：y5x，可将函数y5x中的x，y分别换成x，y得到，故两者图象关于原点对称故选C. 为了得到函数y2x31的图象，只需把函数y2x的图象上所有的点()A向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度解：y2xy2x3y2x31.故选A. 若loga20，且a1)，则函数f(x)loga(x1)的图象大致是()解：因为loga20，所以0a1，由f(x)loga(x1)的单调性可知A，D错误，再由定义域知B选项正确故选B. 函数f(x)是定义在4，4上的偶函数，其在0，4上的图象如图所示，那么不等式0，在上ycosx0.由f(x)的图象知在上0，因为f(x)为偶函数，ycosx也是偶函数，所以y为偶函数，所以0的解集为.故填. (2016东北三校)已知函数f(x) 的值域是0，2，则实数a的取值范围是_解：先作出函数f(x)log2(1x)1(1x0，得x1，由f(x)0，得0x0部分关于y轴的对称部分，即得y的图象，如图实线部分 (2)将函数ylog2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y|log2(x1)|的图象，如图.(3)因为y2，故函数图象可由y图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位即得，如图. (4)y 其图象如图.【点拨】画函数图象的一般方法：(1)直接法当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出(2)图象变换法若函数图象可由基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响作出下列函数的图象：(1)y|x24x3|；(2)y；(3)y10|lgx|.解：(1)先画出函数yx24x3的图象，再将其x轴下方的图象翻折到x轴上方，如图.(2)y2，可由y的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图.(3)y10|lgx|如图所示类型二识图(1)(2016银川质检)设函数f(x)2x，则如图所示的函数图象对应的函数是()Ayf(|x|) By|f(x)|Cyf(|x|) Dyf(|x|)解：图中是函数y2|x|的图象，即函数yf(|x|)的图象故选C.(2)(2016全国卷)函数y2x2e|x|在2，2的图象大致为()解：函数f(x)2x2e|x|在2，2上是偶函数，其图象关于y轴对称，因为f(2)8e2，08e21，所以排除A，B选项；当x0，2时，f(x)4xex有一个零点(f(0)f(1)0，b0，c0 Ba0，c0Ca0，c0 Da0，b0，c0解：由f(x)及图象可知，xc，c0，则c0；当x0时，f(0)0，所以b0；当y0，axb0，所以x0，所以a0.故a0，b0，c0.故选C.【点拨】(1)抓住函数的性质，定性分析：从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；从函数的单调性，判断图象的变化趋势；从周期性，判断图象的循环往复；从函数的奇偶性，判断图象的对称性(2)抓住图象的特征，定量计算：从函数的特征点入手，利用特征点、特殊值的计算分析等解决问题(1)(2015郑州模拟)已知图中的图象对应的函数为yf(x)，则图中的图象对应的函数可能为()Ayf(|x|) By|f(x)|Cyf(|x|) Dyf(|x|)解：yf(|x|)故选C.(2)(2017福建三明调研)函数yax2bx与函数yxab(a0)在同一坐标系中的图象可能为()解：yax2bxa，对于A，由二次函数图象可知，a0，0，所以b0，函数yxab不符合要求，同理B不符合要求；对于C，D，由二次函数图象可知，a0，0，所以b0，比较选项C，D可知C符合要求故选C.(3)(2017临沂一模)已知a是常数，函数f(x)x3(1a)x2ax2的导函数yf(x)的图象如图所示，则函数g(x)|ax2|的图象可能是()解：由f(x)x3(1a)x2ax2，得f(x)x2(1a)xa，根据yf(x)的图象知0，所以a1.则函数g(x)|ax2|的图象是由函数yax的图象向下平移2个单位，然后将x轴下方的图象翻折到x轴上方得到的故选D.类型三用图(1)已知f(x) 则函数y2f2(x)3f(x)1的零点个数是_(2)对实数a和b，定义运算“”；ab 设函数f(x)(x22)(x1)，xR，若函数yf(x)c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是()A(1，1(2，) B(2，1(1，2C(，2(1，2 D2，1解：(1)由2f2(x)3f(x)10得f(x)或f(x)1，作出函数yf(x)的图象由图象知y与yf(x)的图象有2个交点，y1与yf(x)的图象有3个交点因此函数y2f2(x)3f(x)1的零点有5个故填5.(2)依题意知，f(x)(x22)(x1) 结合图象(如图)可知，当c(2，1(1，2时，函数yf(x)与yc的图象有两个公共点，所以c的取值范围是(2，1(1，2故选B.【点拨】将方程的解的个数转化为函数图象的交点的个数；通过图形直观研究方程实数解的个数，是常用的讨论方程解的一种方法(1)(2016湖北优质高中联考)已知函数f(x)xx(x表示不超过x的最大整数，如3.64，2.12)，则方程f(x)lgx0的根的个数为()A8 B9 C10 D11(2)已知方程(kx2)0恰有两个实根，则实数k的取值范围是_解：(1)方程f(x)lgx0的根的个数就是函数yxx与ylgx图象交点的个数，函数yxx是周期为1的周期函数，在同一个坐标系中作出这两个函数图象，如图所示，可知它们共有8个交点，所以方程f(x)lgx0有8个实根故选A.(2)由方程构造函数f(x) 和g(x)kx2，作出函数yf(x)的图象，如图所示根据图象可知，当0k1或1k4时，两函数图象有两个交点故填(0，1)(1，4)点睛1涉及函数图象问题的试题形式主要有：知图选(求)式；知式选(作)图；图象变换；图式结合等对基本初等函数，要“胸有成图”，会“依图判性”，进而达到对图“能识会用”2识图与用图(1)识图对于给定的图象，要能从图象的左、右、上、下分布的范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、最大值、最小值等(2)用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，使问题成功获解的重要依托函数图象主要应用于以下方面：求函数的解析式；求函数的定义域；求函数的值域；求函数的最值；判断函数的奇偶性；求函数的单调区间；解不等式；证明不等式；探求关于方程根的分布问题；比较大小；求函数周期；求参数范围等3图象对称性的证明(1)证明函数的对称性，即证明其图象上的任意一点关于对称中心(或对称轴)的对称点仍在图象上(2)证明曲线C1与C2的对称性，即证明C1上任一点关于对称中心(或对称轴)的对称点在C2上，反之亦然课时作业1函数yex的图象()A与yex的图象关于y轴对称B与yex的图象关于坐标原点对称C与yex的图象关于y轴对称D与yex的图象关于坐标原点对称解：由点(x，y)关于原点的对称点是(x，y)知，D正确故选D.2(2016河北高三模拟)为了得到函数ylog2的图象，可将函数ylog2x的图象上所有的点()A纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，再向右平移1个单位B横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移1个单位C横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位D纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，再向左平移1个单位解：ylog2log2(x1)log2(x1)，由ylog2x的图象纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，可得ylog2x的图象，再向右平移1个单位，可得ylog2(x1)的图象，也即ylog2的图象故选A.3函数f(x)1log2x与g(x)21x在同一坐标系中的图象大致是()解：因为函数f(x)1log2x的零点是，排除A；g(x)21x是减函数，且与y轴的交点为(0，2)，排除B和D.故选C.4(2016洛阳模拟)若f(x)是偶函数，且当x0，)时，f(x)x1，则f(x1)0的解集是()A(1，0) B(，0)(1，2)C(1，2) D(0，2)解：根据函数的性质作出函数yf(x)的图象，把函数yf(x)的图象向右平移1个单位长度，得到函数yf(x1)的图象，如图，则不等式f(x1)0的解集为(0，2)故选D.5(2017全国卷)函数y的部分图象大致为()A BC D解：令函数f(x)，其定义域为x|x2k，kZ，又f(x)f(x)，所以f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，所以排除B；因为f0，f0，所以排除A；又f()0，所以排除D.故选C.6规定记号“”表示一种运算，即aba22abb2.设函数f(x)x2，且关于x的方程f(x)lg|x2|(x2)恰有四个互不相等的实数根x1，x2，x3