周期函数性质的证明.doc

红河学院本科毕业论文（设计）摘要本文探讨了周期函数与周期的定义与性质讨论了周期函数最小正周期的存在性，引入了最小正周期存在的充分条件，并给了详细的证明，主要研究了周期函数中的两个问题，得到了非常数周期函数的周期是其最小正周期的整数倍，及它和它导函数的最小正周期相同这两个结论关键词：周期函数；最小正周期；导函数红河学院本科毕业论文（设计）ABSTRACTThis article discusses the definition and nature of the periodic function with cycleThe Existence of a periodic function of the smallest positive cycle，Introduces a sufficient condition for the existence of the smallest positive cycle，And give a detailed proofMain study two problems in the periodic function，Been nonconstant periodic function of the cycle is an integer multiple of the smallest positive cycle，And the smallest positive cycle and its derivatives of these two conclusionsKeywords: Periodic function；The smallest positive period；Derivative function红河学院本科毕业论文（设计）目录第一章 引言1第二章 相关知识和定理2 第三章 主要定理的证明5第四章 小结10参考文献11致谢12红河学院本科毕业论文（设计）第一章 引言周期函数是一类较特殊的函数它主要描述了客观世界中一些具有周期性现象的数量关系如果一个函数是周期函数，那么对于其形态的研究可带来不少方便因此研究周期函数是具有一定意义的我们知道有些周期函数在定义域上存在最小正周期，比如，等，但并不是每一个函数都有最小正周期，如常值函数，狄利克雷函数等，所以有必要讨论最小正周期的存在性，引入最小正周期存在的充分条件，并给了详细的证明存在最小正周期的周期函数和它导函数的最小正周期是否相同，本文利用连分数的相关知识证明了非常数连续周期函数的最小正周期和它导函数的最小正周期周期之间的关系列举了出个几个例子来判断一个函数是否为周期函数1第二章 预备知识第二章 预备知识定义2.1如果有一实数，使对任意（指函数的定义域），均有，则称为以T为周期的周期函数定义设是周期函数的周期，那么对于一切正整数，都是的周期从而可知周期函数必有正周期；周期函数的所有周期的集合是一个上，下方均无界且对称于数轴原点的无穷集合定义 若，为的周期，且，则也是的周期给定一个周期函数，总希望找到它的最小正周期，但不是所有周期函数都有最小正周期例如：在整个数轴上处处不连续的狄利克雷函以任何非零有理数为周期，又因为有理数中无最小正数，故无最小正周期定义 设是的连续周期函数，且周期为，是它在上的一个原函数，则在上有界证明：若在上以为周期，则在上连续，从而存在最大值和最小值，分别设为，令，则有，即有界，关于连分数的一些结果2红河学院本科毕业论文（设计）命表一正实数，是它的整数部分，又命，则也是正实数，而且大于，在命是的整数部分及，如此下去，命为的整数分，而，如此就就得到一个分数：记为经过计算得到，普通命，成为的第个渐进分数或渐进值定理2.5.1：渐进分数的分子与分母有如下关系： 证明：用归纳法当时，上面的结论显然正确假定已知时，以上结论成立 立，可得证故当时也成立，可得证3第二章 预备知识定理2.5.2：与还适合以下的公式： 证明：当时显然成立，现在用归纳法，由定理2.5.1知故成立又由定理2.5.2知及为（2）式定理2.5.3证明：我们有，4红河学院本科毕业论文（设计）第三章 主要定理的证明定理3.1：设是以非常数连续周期函数，则必有最小正周期证明：设，则E非空有下界，存在，设为，下面证明：（1），；(2) 由此可得是函数的最小正周期若，则显然有；若，那么存在，有，于是，由于的连续知=所以也是的周期（2） 由确界的性质知，假设，可推出为常值函数，为此，只要证明对任意实数，及，均有事实上，对任意，存在，使得当时恒有： 因为的下确界，所以存在，由于中的数皆正，所以 ，令 ，则，又因为为的周期， 因为，为的周期，又因为为的下确界，所以它是的最小正周期5第三章 主要定理的证明推论1：周期函数具有连续性是函数具有最小正周期的充分条件定理3.2：如果是连续非常数周期函数的一个正周期，由定理3.1，有最小正周期，则，使证明：，由已知得到1）设，取，则由于与都是的周期，也是的一个周期又故，这与是是最小正周期矛盾2）（正无理数），由定理2.5.3，又由于，使，而又是的一个周期这与定理3.1矛盾综合1）2）知必，使6红河学院本科毕业论文（设计）推论2：如果，都是连续的周期函数的周期，且为一无理数，则为常数函数证明：如果不是非常数函数，据定理3.1，有最小正周期，由是的一个周期，根据定理3.2，使；由是的一个周期，根据定理3.2，使；，又根据题意为一无理数，故矛盾，原假设不成立，从而为一常数函数例1：设是实数集上R上一非常数连续函数，如果对所有成立，证明为一常数函数证明：根据题意，知有两个周期，分别为和，他们之比为无理数，由推论2知为一常数函数定理3.3：设是实数集上一非常数函数，且有连续的导函数，则的最小正周期为,当且仅当的最小正周期为7第三章 主要定理的证明证明：充分性：，使得，又存在导函数，也是一个周期函数且周期为根据定理3.2，假设存在最小正周期,设若，则已明；若，则 同理得 而，对所有成立故是的一个周期这与是的最小正周期矛盾的最小周期是8红河学院本科毕业论文（设计）必要性：设是的最小正周期，由令，同理得，如果，即，这与是周期函数，从而有界相矛盾（定理2.4），故是的一个周期，根据定理3.2，假设它的最小正周期为根据充分性知，从而故是的最小正周期推论3：由定理3.2及定理3.3，如果是实数集上一非常数连续周期函数，且有连续的导函数，则是的周期当且仅当是的周期例2：证明不是周期函数证明：令，显然它在上连续可导，且不为常数函数如果是周期函数，则也是周期函数取，这与实数集上连续周期函数有界矛盾9第四章 小结第四章 小结本文证明了周期函数存在最小正周期的充分条件，得到了非常数周期函数的周期是其最小正周期的整数倍，及它和它导函数的最小正周期相同这两个结论10红河学院本科毕业论文（设计）参考文献张崇