江苏专用高中数学常用逻辑用语1.3全称量词与存在量词学案苏教版.docx

1.3全称量词与存在量词1.3.1量词1.3.2含有一个量词的命题的否定学习目标：1.理解全称量词和存在量词的意义，能准确地利用全称量和存在量词叙述数学内容(重点)2.能判定全称命题与存在性命题的真假(难点)3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定(重点、易混点)自 主 预 习探 新 知1全称量词与全称命题(1)“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，通常用符号“x”表示“对任意x”(2)含有全称量词的命题称为全称命题，一般形式为：xM，p(x)2存在量词和存在性命题(1)“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，通常用符号“x”表示“存在x”(2)含有存在量词的命题称为存在性命题，一般形式为：xM，p(x)3全称命题的否定全称命题pp结论xM，p(x)xM，p(x)全称命题的否定是存在性命题4.存在性命题的否定存在性命题pp结论xM，p(x)xM，p(x)存在性命题的否定是全称命题基础自测1判断正误：(1)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词()(2)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”()(3)全称命题一定含有全称量词，存在性命题一定含有存在量词()(4)xM，p(x)与xM，p(x)的真假性相反()【解析】(1).“有些”“某个”“有的”都表示部分，是存在量词(2).由全称量词与存在量词的定义可知(2)正确(3).有些全称命题与存在性命题可能省略量词(4).命题p与其否定p真假性相反【答案】(1)(2)(3)(4)2命题“xR，|x|x20”的否定是_. 【导学号：95902036】【解析】原命题为全称命题其否定为“x0R，|x0|x0”【答案】x0R，|x0|x；(3)x0，y0N，使x0y03.思路探究结合全称命题与存在性命题的含义及相关数学知识进行判断【自主解答】(1)a0，当x1时，axa0，成立，(1)为真命题(2)x2x1，x2x1恒成立，(2)是真命题(3)当x00，y03时，x0y03满足题意，(3)是真命题规律方法全称命题与存在性命题真假判断的方法：(1)对于全称命题“xM，p(x)”：要证明它是真命题，需对集合M中每一个元素x，证明 p(x)成立；要判断它是假命题，只要在集合M中找到一个元素x0，使 p(x0)不成立即可.(通常举反例)(2)存在性命题的真假判断要结合存在量词来进行，在限定的集合内，看能否找到相应的元素使命题成立，能找到，命题为真，否则为假.跟踪训练2判断下列命题中的真假：(1) xR,2x10 ；(2)xN*，(x1)20；(3)x0R，lg x00”是全称命题，易知2x10恒成立，故是真命题；(2)命题“xN*，(x1)20”是全称命题，当x1时，(x1)20，故是假命题；(3)命题“x0R，lg x01”是存在性命题，当x1时，lg x0，故是真命题；(4)命题“x0R，tan x02”是存在性命题，依据正切函数定义，可知是真命题.含有一个量词的命题的否定写出下列命题的否定，并判断真假：(1)p：xR，x2x0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：x0R，x2x020；(4)s：至少有一个实数x0，使x10. 【导学号：95902038】思路探究首先弄清楚所给命题是全称命题还是存在性命题，然后针对量词和结论两个方面进行否定【自主解答】(1)p：x0R，xx0 0，真命题xR，x22x2(x1)2110恒成立，r是真命题(4)s：xR，x310，假命题x1时，x310，s是假命题规律方法1写一个命题的否定的步骤：首先判定该命题是“全称命题”还是“存在性命题”，并确定相应的量词，其次把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词同时否定结论2对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定跟踪训练3写出下列命题的否定：(1)p：一切分数都是有理数；(2)q：有些三角形是锐角三角形；(3)r：x0R，xx0x02; (4)s：xR,2x40.【解】(1)p：有些分数不是有理数；(2)q：所有的三角形都不是锐角三角形；(3)r：xR，x2xx2；(4)s：x0R,2x040.全称命题与存在性命题的综合应用探究问题1(1)“xR ，ax2”的含义是什么？ (2)“x1,2 ，ax2”的含义是什么？若上述两个命题是真命题，试分别求出a的取值范围【提示】(1)“xR ，ax2”的含义是方程x2a0有实数根，所以其判别式4a0，解得a0；(2)“x1,2，ax2”的含义是方程x2a0在1,2内有实数根，也就是函数yx2，x1,2和函数ya的图象有交点，因为x1,2，所以x21,4，所以a的取值范围是1a4.2(1)“x1,2，ax2”的含义是什么？ (2)“x1,2，ax2”的含义是什么？若上述两个命题是真命题，试分别求出a的取值范围【提示】(1)“x1,2，ax2”的含义是对于所有的，一切在1,2内的x，不等式ax2都恒成立，所以a要小于x2的最小值因为x1,2，所以x21,4，所以a1；(2)“x1,2，ax2”的含义是在1,2内至少有一个x ，使不等式ax2成立，此时只要a不大于x2的最大值即可因为x1,2，所以x21,4，所以a4.(1)若命题“x1，)，x22ax2a恒成立”是真命题，则实数a的取值范围是_(2)已知函数f(x)4|a|x2a1，若命题：“x0(0,1)使f(x0)0”是真命题，则实数a的取值范围是_. 【导学号：95902039】思路探究(1)由于此全称命题是真命题，所以可以推出a的值，求出在x1，)时，f(x)mina，利用一元二次不等式与二次函数的关系解题(2)由于f(x)是单调函数，在(0,1)上存在零点，再由4|a|0应有解不等式组求出a范围【自主解答】(1)方法一：由对任意x1，)，令f(x)x22ax2a恒成立，所以f(x)(xa)22a2可转化为对任意x1，)，f(x)mina成立，即对任意x1，)，f(x)min由f(x)的最小值f(x)mina，知a3,1方法二：由x22ax2a，即x22ax2a0，令f(x)x22ax2a所以全称命题转化为对任意x1，)，f(x)0恒成立，所以0或即2a1或3a2，所以a3,1(2)由：“x0(0,1)，使f(x0)0”是真命题，且由4|a|0得即解得a.【答案】(1)3,1(2)规律方法应用全称命题与存在性命题求参数范围的常见题型1全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以代入，也可以根据函数等数学知识来解决2存在性命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表达解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设跟踪训练4若存在x0R，使ax2x0a0，则实数a的取值范围是_. 【导学号：95902040】【解析】当a0时，显然存在x0R，使ax2x0a0时，必需44a20，解得1a1，故0a1.综上所述，实数a的取值范围是a1.【答案】a1构建体系 当 堂 达 标固 双 基1下列命题是全称命题的是_(1)有一个向量a，a的方向不能确定；(2)对任何实数a，b，c，方程ax2bxc0都有解. 【导学号：95902041】【解析】(1)中含有量词“有一个”，是存在性命题，(2)中含有量词“任何”，是全称命题【答案】(2)2下列全称命题：实数都有倒数；自然数都是正整数；小数都是有理数；无理数都是无限不循环小数其中真命题的是_【解析】由于0没有倒数，故错误；由于0不是正整数，故错误；由于无限不循环小数是无理数，故错误，正确【答案】3已知命题p：xR，cos x1，则p是_【解析】p为全称命题，p应为存在性命题【答案】x0R，cos x014若命题“x1，x2a”的否定为真命题，则实数a