2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.3圆的方程学案文201805221204.doc

83圆的方程知识梳理1圆的方程标准方程：(xa)2(yb)2r2(r0)一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)2点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(xa)2(yb)2r2之间存在着下列关系：设d为点M(x0，y0)与圆心(a，b)的距离(1)drM在圆外，即(x0a)2(y0b)2r2M在圆外；(2)drM在圆上，即(x0a)2(y0b)2r2M在圆上；(3)drM在圆内，即(x0a)2(y0b)20)若圆C上存在点P，使得APB90，则m的最大值为()A7 B6 C5 D4APB90，点P在以AB为直径的圆上，求m的最大值转化为求半径|OP|的最大值答案B解析根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r1，且|AB|2m，因为APB90，连接OP，易知|OP|AB|m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离因为|OC| 5，所以|OP|max|OC|r6，即m的最大值为6.故选B.方法技巧求解与圆有关的最值问题的方法1借助几何性质求最值处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解(1)形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；见角度1典例(2)形如taxby形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题或转化为线性规划问题；见结论探究1.(3)形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题见结论探究2.2建立函数关系式求最值根据题中条件列出关于所求目标式子的函数关系式，再根据函数知识、基本不等式求最值冲关针对训练1(2018福建师大附中联考)已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为切点，那么的最小值为()A4 B3C42 D32答案D解析设|PO|t，向量与的夹角为，则| ，sin，cos12sin21，|cos(t21)(t1)，t23(t1)，利用基本不等式可得的最小值为23，当且仅当t时，取等号故选D.2已知圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为()A54 B.1 C62 D.答案A解析圆C1，C2的图象如图所示设P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|1，同理，|PN|的最小值为|PC2|3，则|PM|PN|的最小值为|PC1|PC2|4.作C1关于x轴的对称点C1(2，3)，连接C1C2，与x轴交于点P，连接PC1，可知|PC1|PC2|的最小值为|C1C2|，则|PM|PN|的最小值为54.故选A.题型3与圆有关的轨迹问题(2014全国卷)已知点P(2,2)，圆C：x2y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|OM|时，求l的方程及POM的面积由圆的性质可知：CMMP，由直接法可解得(1)解(1)圆C的方程可化为x2(y4)216，所以圆心为C(0,4)，半径为4.设M(x，y)，则(x，y4)，(2x,2y)由题设知0，故x(2x)(y4)(2y)0，即(x1)2(y3)22.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x1)2(y3)22.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，为半径的圆由于|OP|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ONPM.因为ON的斜率为3，所以l的斜率为，故l的方程为x3y80.又|OM|OP|2，O到l的距离为，所以|PM|，SPOM，故POM的面积为.方法技巧与圆有关的轨迹问题的4种求法求与圆有关的轨迹问题时，题目的设问有两种常见形式，作答也应不同若求轨迹方程，则把方程求出化简即可；若求轨迹，则必须根据轨迹方程，指出轨迹是什么曲线冲关针对训练1(2017南平一模)平面内动点P到两点A、B距离之比为常数(0，1)，则动点P的轨迹叫做阿波罗尼斯圆，若已知A(2,0)，B(2,0)，则此阿波尼斯圆的方程为()Ax2y212x40 Bx2y212x40Cx2y2x40 Dx2y2x40答案D解析由题意，设P(x，y)，则，化简可得x2y2x40，故选D.2已知圆x2y24上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程解(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x2,2y)因为P点在圆x2y24上，所以(2x2)2(2y)24.故线段AP中点的轨迹方程为(x1)2y21.(2)设PQ的中点为N(x，y)在RtPBQ中，|PN|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10.题型4与圆有关的对称问题已知圆C1：(x1)2(y1)21，圆C2与圆C1关于直线xy10对称，则圆C2的方程为()A(x2)2(y2)21 B(x2)2(y2)21C(x2)2(y2)21 D(x2)2(y2)21圆与圆关于直线对称问题转化为圆心关于直线对称问题答案B解析圆C1的圆心坐标为(1,1)，半径为1，设圆C2的圆心坐标为(a，b)，由题意得解得所以圆C2的圆心坐标为(2，2)，又两圆的半径相等，故圆C2的方程为(x2)2(y2)21.故选B.方法技巧1圆的轴对称性圆关于直径所在的直线对称2圆关于点对称(1)求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置(2)两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点3圆关于直线对称(1)求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置见典例(2)两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线冲关针对训练1(2018锦州期末)若曲线x2y2a2x(1a2)y40关于直线yx对称的曲线仍是其本身，则实数a为()A.或 B.或C.或 D或答案B解析曲线x2y2a2x(1a2)y40，即曲线22，曲线x2y2a2x(1a2)y40关于直线yx对称的曲线仍是其本身，故曲线的中心在直线yx上，故有，求得a或a，故选B.2已知圆x2y24与圆x2y26x6y140关于直线l对称，则直线l的方程是()Ax2y10 B2xy10Cxy30 Dxy30答案D解析解法一：圆心分别为(0,0)，(3，3)，其中点为P应在直线l上，经检验答案为D.解法二：两圆方程相减得xy30，即为l的方程故选D.1.(2016全国卷)圆x2y22x8y130的圆心到直线axy10的距离为1，则a()A B C. D2答案A解析圆的方程可化为(x1)2(y4)24，则圆心坐标为(1,4)，圆心到直线axy10的距离为1，解得a.故选A.2(2018山东青岛一模)已知两点A(0，3)，B(4,0)，若点P是圆C：x2y22y0上的动点，则ABP的面积的最小值为()A6 B. C8 D.答案B解析x2y22y0可化为x2(y1)21，则圆C为以(0,1)为圆心，1为半径的圆如图，过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P，连接BP，AP，这时ABP的面积最小，直线AB的方程为1，即3x4y120，圆心C到直线AB的距离d，又AB5，ABP的面积的最小值为5.故选B.3(2015全国卷)一个圆经过椭圆1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为_答案2y2解析由已知可得该圆经过椭圆的三个顶点A(4,0)，B(0，2)，C(0，2)，易知线段AB的垂直平分线的方程为2xy30.令y0，得x，所以圆心坐标为，则半径r4.故该圆的标准方程为2y2.4(2017全国卷)已知抛物线C：y22x，过点(2,0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆(1)证明：坐标原点O在圆M上；(2)设圆M过点P(4，2)，求直线l与圆M的方程解(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：xmy2，由可得y22my40，则y1y24.又x1，x2，故x1x24.因此OA的斜率与OB的斜率之积为1，所以OAOB，故坐标原点O在圆M上(2)由(1)可得y1y22m，x1x2m(y1y2)42m24，故圆心M的坐标为(m22，m)，圆M的半径r.由于圆M过点P(4，2)，因此0，故(x14)(x24)(y12)(y22)0，即x1x24(x1x2)y1y22(y1y2)200.由(1)可知y1y24，x1x24，所以2m2m10，解得m1或m.当m1时，直线l的方程为xy20，圆心M的坐标为(3,1)，圆M的半径为，圆M的方程为(x3)2(y1)210.当m时，直线l的方程为2xy40，圆心M的坐标为，圆M的半径为，圆M的方程为22. 基础送分 提速狂刷练一、选择题1(2017豫北名校联考)圆(x2)2y24关于直线yx对称的圆的方程是()A(x)2(y1)24B(x)2(y)24Cx2(y2)24D(x1)2(y)24答案D解析设圆(x2)2y24的圆心(2,0)关于直线yx对称的点的坐标为(a，b)，则有解得a1，b，从而所求圆的方程为(x1)2(y)24.故选D.2(2017湖南长沙二模)圆x2y22x2y10上的点到直线xy2距离的最大值是()A1 B2 C1 D22答案A解析将圆的方程化为(x1)2(y1)21，圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线xy2的距离d，故圆上的点到直线xy2距离的最大值为d11，故选A.3圆心在y轴上且通过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是()Ax2y210y0 Bx2y210y0Cx2y210x0 Dx2y210x0答案B解析设圆心为(0，b)，半径为r，则r|b|，圆的方程为x2(yb)2b2.点(3,1)在圆上，9(1b)2b2，解得b5.圆的方程为x2y210y0.故选B.4(2018山西运城模拟)已知圆(x2)2(y1)216的一条直径通过直线x2y30被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为()A3xy50 Bx2y0Cx2y40 D2xy30答案D解析直线x2y30的斜率为，已知圆的圆心坐标为(2，1)，该直径所在直线的斜率为2，所以该直径所在的直线方程为y12(x2)，即2xy30，故选D.5(2018唐山期末)若当方程x2y2kx2yk20所表示的圆取得最大面积时，则直线y(k1)x2的倾斜角()A. B. C. D.答案A解析将圆x2y2kx2yk20化成标准方程，得2(y1)21，半径r满足r21，当圆取得最大面积时，k0，半径r1.因此直线y(k1)x2即yx2.得直线的倾斜角满足tan1，直线的倾斜角0，)，.故选A.6若方程 xm0有实数解，则实数m的取值范围()A4m4 B4m4C4m4 D4m4答案B解析由题意知方程xm有实数解，分别作出y与yxm的图象，如图，若两图象有交点，需4m4.故选B.7(2017广东七校联考)圆x2y22x6y10关于直线axby30(a0，b0)对称，则的最小值是()A2 B. C4 D.答案D解析由圆x2y22x6y10知其标准方程为(x1)2(y3)29，圆x2y22x6y10关于直线axby30(a0，b0)对称，该直线经过圆心(1,3)，即a3b30，a3b3(a0，b0)(a3b)，当且仅当，即ab时取等号，故选D.8(2018唐山一中调研)点P(4，2)与圆x2y24上任一点连线的中点的轨迹方程是()A(x2)2(y1)21 B(x2)2(y1)24C(x4)2(y2)24 D(x2)2(y1)21答案A解析设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，则即代入x2y24，得(2x4)2(2y2)24，化简得(x2)2(y1)21.故选A.9(2017山东菏泽一模)已知在圆M：x2y24x2y0内，过点E(1,0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A3 B6 C4 D2答案D解析圆x2y24x2y0可化为(x2)2(y1)25，圆心M(2，1)，半径r，最长弦为圆的直径，AC2.BD为最短弦，AC与BD垂直，易求得ME，BD2BE22.S四边形ABCDSABDSBDCBDEABDECBD(EAEC)BDAC222.故选D.10已知点P(x，y)在圆C：x2y26x6y140上，则xy的最大值与最小值是()A62，62 B6，6C42，42 D4，4答案A解析设xyb，则b表示动直线yxb在y轴上的截距，显然当动直线yxb与圆(x3)2(y3)24相切时，b取得最大值或最小值，如图所示由圆心C(3,3)到切线xyb的距离等于圆的半径2，可得2，即|b6|2，解得b62，所以xy的最大值为62，最小值为62.故选A.二、填空题11(2016天津高考)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2xy0的距离为，则圆C的方程为_答案(x2)2y29解析因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a0，所以圆心到直线2xy0的距离d，解得a2，所以圆C的半径r|CM|3，所以圆C的方程为(x2)2y29.12(2017广东七校联考)一个圆与y轴相切，圆心在直线x3y0上，且在直线yx上截得的弦长为2，则该圆的方程为_答案(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29解析所求圆的圆心在直线x3y0上，设所求圆的圆心为(3a，a)，又所求圆与y轴相切，半径r3|a|又所求圆在直线yx上截得的弦长为2，圆心(3a，a)到直线yx的距离d，d2()2r2，即2a279a2，a1.故所求圆的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29.13(2017金牛期末)已知aR，若方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆，则此圆心坐标是_答案(2，4)解析方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆，a2a20，