江苏省九年级数学.4用一元二次方程解决问题专项练习二（等积变形、面积问题）苏科版.docx

第一章 第4节 用一元二次方程解决问题专项练习二二、 等积变形、面积问题2：1某家庭农场要建一个长方形的养兔场，兔场的两边靠墙（两堵墙互相垂直，长度不限），另两边用木栏围成，木栏总长20米（1）兔场的面积能达到100平方米吗？请你给出设计方案；（2）兔场的面积能达到110平方米吗？如能，请给出设计方案，若不能说明理2张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？3如图，学校打算用16 m 的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠墙（如下图），面积是30 m2求生物园的长和宽4现有一块长20cm，宽10cm的长方形铁皮，在它的四个角分别剪去一个大小完全相同的小正方形，用剩余的部分做成一个底面积为56cm2的无盖长方体盒子，求出剪去的小正方形的边长？5校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形实验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横个开辟一条等宽的小道，要使种植面积为540m2，小道的宽应是多少米？6要对一块长60米，宽40米的矩形荒地ABCD进行绿化和硬化、设计方案如图所示，矩形P、Q为两块绿地，其余为硬化路面，P、Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD面积的，求P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽7如图，在矩形ABCD中，BC=24cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发，沿AD、BC、CB、DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止、已知在相同时间内，若BQ=xcm（x0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm，（1）当x为何值时，点P、N重合；（2）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形8如图，要建一个面积为150 m2的矩形养鸡场，为了节约材料，养鸡场的一边沿用原来的一堵墙，墙长为a m，其余三边用竹篱笆围成，已知竹篱笆的长为35 m.(1)如果a40，那么养鸡场的长和宽各为多少米？(2)如果a是一个可以变化的量，那么墙的长度a对所建的养鸡场有怎样的影响？9如图，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的边如图，地毯中央的矩形图案长6米、宽3米，整个地毯的面积是40平方米求花边的宽10如图，在RtACB中，C=90，BC=6m，AC=8m，点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速运动，已知点P移动的速度是20cm/s，点Q移动的速度是10cm/s，几秒后PCQ的面积为RtACB面积的？11做一个底面积为24 cm2，长，宽，高的比为421的长方体求：(1)这个长方体的长、宽、高分别是多少？(2)长方体的表面积是多少？12把一边长为36cm的正方形硬纸板进行适当的剪裁，折成一个长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子要使折成的长方体盒子的底面积为676cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由（2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子，若折成的一个长方体盒子的表面积为880cm2，求此时长方体盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况） 13在一块长，宽为的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案（）小芳说，我的设计方案如图所示，平行于荒地的四边建造矩形的花园，花园四周小路的宽度均相同，你能帮小芳算出小路的宽度吗？请利用方程的方法计算出小路的宽度 （）小华说，我的设计方案是建造一个中心对称的四边形的花园，并且这个四边形的四个顶点分别在矩形荒地的四条边上，请你按小华的思路，分别设计符合条件的一个菱形和一个矩形，在图和图中画出相应的草图，说明所画图形的特征，并简述所画图形符合要求的理由14用如图所示矩形纸片的四个角都剪去一个边长为的正方形(阴影部分)并制成一个长方体纸盒。（1）用a，b，x表示纸片剩余部分的面积和纸盒的底面积；（2）当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长答案详解：1（1）10 m；（2）110 m2试题分析：（1）设AB=x，则BC=20x，利用矩形的面积作为等量关系列方程，解方程求解即可，根据方程解的情况给出方案；（2）设AB=x，则BC=20x，利用矩形的面积作为等量关系列方程，若一元二次方程有解则可求出长和宽从而可设计方案，若方程无解，则不能围成上述条件的长方形试题解析：（1）设AB=x，则BC=20x，根据题意，得x（20x）=100整理，得x220x+100=0，解得x1=x2=10，所以兔场的面积能达到100 m2，设计方案为：AB=BC=10 m （2）设AB=x，则BC=20x，根据题意，得x（20x）=110，整理，得x220x+110=0，=4004400，原方程无解故兔场的面积不能达到110 m2点拨：本题考查了一元二次方程的应用，解决这类题目要读懂题意，准确的找到等量关系列方程，解出方程的解后要注意代入实际问题中判断是否符合题意，进行值的取舍2700试题分析：本题可设无盖长方体箱子宽为x米，则长为（x+2）米，根据刚好能围成一个容积为15米3的无盖长方体箱子，结合图形可列出方程，求出答案试题解析：设长方体箱子宽为x米，则长为（x+2）米依题意，有x（x+2）1=15整理，得x2+2x-15=0，解得x1=-5（舍去），x2=3，这种运动箱底部长为5米，宽为3米由长方体展开图可知，所购买矩形铁皮面积为（5+2）（3+2）=35做一个这样的运动箱要花3520=700（元）答：张大叔购回这张矩形铁皮共花了700元3长和宽分别是3、10或5、6.试题分析：首先设生物园的宽为x米，则长为（16-2x）米，根据题意可得等量关系：长方形的长宽=面积30米2，由等量关系列出方程x（16-2x）=30，再解方程即可试题解析：设宽为x m，则长为（16-2x）m由题意，得x（16-2x）=30， 解得 x1=3，x2=5 当x=3时，16-23=10， 当x=5时，16-25=643cm试题分析：设剪去的小正方形的边长为x，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果试题解析：设剪去的小正方形的边长为xcm，根据题意得：（20-2x）（10-2x）=56，整理得：（x-3）（x-12）=0，解得：x=3或x=12，经检验x=12不合题意，舍去，x=3，则剪去小正方形的边长为3cm52m首先设道路的宽为xm，然后根据种植面积列出方程（32-x）（20-x）=540，整理，得x2-52x+100=0， （x-50）（x-2）=0， x1=2，x2=50（不合题意，舍去），小道的宽应是2m故答案为：2.点拨：此题应熟记长方形的面积公式，另外求出4块试验田平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键.6两块绿地周围的硬化路面宽都为10米试题分析：可把P，Q通过平移看做一个矩形，设P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽都为x米，用含x的代数式分别表示出绿地的长为603x，宽为402x，利用“两块绿地面积的和为矩形ABCD面积的”作为相等关系列方程求解即可解：设P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽都为x米，根据题意，得解之得x1=10，x2=30经检验，x2=30不符合题意，舍去答：两块绿地周围的硬化路面宽都为10米7（1）x=4时点P与点N重合；（2）当x=2或时四边形NQMP是平行四边形.分析：（1）P、N两点重合，即AP+DN=AD=BC，联立方程解答即可；（2）把P、N两点分两种情况讨论，点P在点N的左侧或点P在点N的右侧，进一步利用平行四边形的性质联立方程解答即可详解：（1）当点P与点N重合时，由x2+2x=24，得x1=4、x2=-6（舍去），所以x=4时点P与点N重合（2）因为当N点到达A点时，x2=24，解得：，此时M点和Q点还未相遇，所以点Q只能在点M的左侧，如图1，当点P在点N的左侧时，由24-（x+3x）=24-（2x+x2），解得x1=0（舍去），x2=2；故当x=2时四边形PQMN是平行四边形； 如图2，当点P在点N的右侧时，由24-（x+3x）=（2x+x2）-24，解得，（舍去）；故当时四边形NQMP是平行四边形；综上：当x=2或时四边形NQMP是平行四边形.点拨：本题主要考查一元二次方程的应用；平行四边形的判定与性质；矩形的性质； 关键是能借助图形的性质找出数量关系，并能针对具体问题进行分类讨论.8（1）养鸡场的长、宽分别为20 m，7.5 m或15 m，10 m.（2）建成长为15 m，宽为10 m或长为20 m，宽为7.5 m的养鸡场分析：（1）设与墙垂直的一边长为xm，则由题意可得与墙平行的一边长为（35-2x）m，根据长方形的面积计算公式结合题意列出方程，解方程即可求得养鸡场的长和宽；（2）由养鸡场与墙平行的一边的长度不大于墙的长度a，结合（1）中所得结果进行分析即可.详解：(1)设养鸡场与墙垂直的一边长为x m，则与墙平行的一边长为(352x)m，根据题意得：x(352x)150，解得：x110，x27.5，当x10时，352x15；当x7.5时，352x20.答：养鸡场的长、宽分别为20 m，7.5 m或15 m，10 m.(2)由题意可知，养鸡场与墙平行的一边的长度不大于墙的长度a，结合（1）中的结果可知：当a15时，问题无解；当15a20时，问题有一解，即可建成长为15 m、宽为10 m的养鸡场；当a20时，问题有两解，即可建成长为15 m，宽为10 m或长为20 m，宽为7.5 m的养鸡场点拨：（1）“读懂题意，结合图形，知道用竹篱笆只围了养鸡场的三面”是解答第1小题的关键；（2）“读题题意，知道养鸡场与墙平行一边的长度不大于墙的长度a”是解答第2小题的关键.9花边的宽为1米.试题分析：可以设花边的宽为x米，可以列出方程解题.试题解析：解：设花边的宽为x米，列方程为解之得（舍去）答：花边的宽为1米.1010秒后PCQ的面积为RtACB面积的 试题分析：设运动时间为t秒，表示出PC、QC，再根据三角形的面积公式列出方程，然后根据一元二次方程的解法求解即可试题解析：设运动时间为t秒，则PC=80.2t，QC=60.1t，由题意得， （80.2t）（60.1t）=68，整理得，t2100t+900=0，解得t1=10，t2=90（舍去），答：10秒后PCQ的面积为RtACB面积的11(1)这个长方体的长、宽、高分别是4cm，2cm， cm； (2)长方体的表面积是84 cm2.试题分析：(1)(2)设出长宽高，利用底面积，求出长宽高，最后再求出表面积.试题解析：(1)设长方体的高为x，则长为4x，宽为2x，由题意得4x2x24解得x，则4x4，2x2.答：这个长方体的长、宽、高分别是4 cm，2 cm， cm(2)(4242)2(24126)242284(cm2)答：长方体的表面积是84 cm212（1）剪掉的正方形的边长为5cm， 当剪掉的正方形的边长为9cm时，长方形盒子的侧面积最大为648cm2；（2）剪掉的正方形的边长为8cm此时长方体盒子的长为20cm，宽为10cm，高为8cm分析：（1）设剪掉的正方形的边长为xcm，根据题意得出（36-2x）2=676，求出即可；设剪掉的正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为Scm2，则y与x的函数关系为：S=4（36-2x）x，利用二次函数最值求出即可；（2）设剪掉的长方形盒子的高为acm，利用折成的一个长方形盒子的表面积为880cm2，得出等式方程求出即可详解：（1）设剪掉的正方形的边长为xcm则（362x）2=676，即362x=26，解得：x1=31（不合题意，舍去），x2=5，剪掉的正方形的边长为5cm 侧面积有最大值设剪掉的正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为Scm2，则S与x的函数关系为：S=（362x）x4=8x2+144x=（x9）2+648，x=9时，S最大=648 即当剪掉的正方形的边长为9cm时，长方形盒子的侧面积最大为648cm2；（2）在如图的一种剪裁图中，设剪掉的正方形的边长为acm，长为（362a）cm，宽为（18a）cm，高为acm（362a）36+2a（18a）=880解得：a1=26（不合题意，舍去），a2=8 剪掉的正方形的边长为8cm此时长方体盒子的长为20cm，宽为10cm，高为8cm点拨：本题考查了二次函数的应用及二元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，建立数学模型，利用所学知识求解13（）能，宽度为米;（）见解析分析：（）设宽度为米，根据花园面积是荒地面积的一半列出方程，求解即可；（）作矩形的中点四边形，得菱形，则菱形面积矩形面积，以矩形两宽的中点连线为直径，作圆，交两长于、，得矩形，则详解：（）设宽度为米，则，解得：，又，答：路宽为米（）如图，作矩形的中点四边形，得菱形，则菱形面积矩形面积，如图，以矩形两宽的中点连线为直径，作圆，交两长于、，得矩形，则点拨：本题主要考查了应用设计与作图，