4-2平面向量的基本定理及坐标表.ppt

(理解平面向量的基本定理及其意义/会用平面向量基本定理解决简单问题/掌握平面向量的正交分解及其坐标表示/会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算/理解用坐标表示的平面向量共线的条件),4.2 平面向量的基本定理及坐标表示,1共线向量的条件 如果向量a为非零向量，那么向量b与向量a共线有且只有一个实数， 使得ba. 2平面向量的基本定理 如果e1，e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数1，2使：a1e12e2.其中不共线的向量e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的 ,一组基底(base),3平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a可表示成axiyj，由于a与数对(x，y)是一一对应的，因此把(x，y)叫做向量a的坐标，记作a(x，y)，其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标 (1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量 (2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关， 只与其相对位置有关,4平面向量的坐标运算 (1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2) (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (x2x1，y2y1) (3)若a(x，y)，则a(x, y) (4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10.,1若AB(2,4)，AC(1,3)，则BC( ) A(1,1) B(1，1) C(3,7) D(3，7) 解析：BCACAB(1,3)(2,4)(1，1) 答案：B,2已知两点A(4,1)，B(7，3)，则与AB同向的单位向量是( ) A. B. C. D. 解析：A(4,1)，B(7，3)，AB(3，4)， 与AB同向的单位向量为 答案：A,3(2009重庆高考)已知向量a(1,1)，b(2，x)，若ab与4b2a平行，则实数x的值是( ) A2 B0 C1 D2 解析：ab(3，x1),4b2a(6,4x2)， 3(4x2)6(x1)0，解得x2. 答案：D,4如右图，平面内有三个向量OA、OB、OC，其中OA与OB的夹角为120，OA与OC的夹角为30，且|OA|OB|1，|OC|2，若OCOAOB(、R)，则的值为_ 解析：如右图，OCODOEOAOB 在OCD中，COD30，OCDCOB90，可求|OD|4， 同理可求|OE|2，4，2，6. 答案：6,利用平面向量基本定理表示向量时，要选择一组恰当的基底来表示其他向量，即用特殊向量表示一般向量,【例1】 如右图，在ABC中，M是BC的中点，N在边AC上， 且AN2NC，AM与BN相交于P点，求APPM的值 解答： 设CAa，CBb， APABBPABBNAB(BCCN) ba(b a)( 1)a(1)b， MPMBBPMBBN b(b a) a( )b， 由APMP，解得： ，AP 4PM. 即APPM41.,变式1.如右图，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于 不同的两点M、N，若ABmAM，ACnAN，则mn的值为_ 解析：设ABa，ACb，MOAOAM 同理NO 由MONO得MONO，即 整理得mn2. 答案：2,利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解在将向量用坐标表示时，要分清向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标,【例2】已知点A(1,2)，B(2,8)以及AC AB，DA BA， 求点C、D的坐标和CD的坐标 解答：设点C、D的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，由题意得 AC(x11，y12)，AB(3,6)， DA(1x2,2y2)，BA(3，6) 因为AC AB，DA BA，所以有 解得和所以点C、D的坐标分别是(0,4)、(2,0)，从而CD(2，4),变式2.已知点A(2,3)、B(5,4)、C(7,10)，若APABAC (R)， 则当为何值时，点P在第三象限？ 解答：ABAC(3,1)(5,7)(35，17) AP(35，17)，设P点的坐标为(x，y)， 则AP(x2，y3)， 又P在第三象限， 解得1，即当1时，点P在第三象限.,1. 利用单位向量可以证明正弦定理，推导解析几何中点到直线的距离公式 2充分地使用单位向量，在向量的运算过程中可起到事半功倍的效果， 比如求向量a在向量b方向上的投影即 .,【例3】若平面向量b与向量a(1，2)的夹角是180，且|b| 则b等于( ) A(3,6) B(3，6) C(6，3) D(6,3) 解析：解法一：设b(x，y)， 由已知条件 整理得 解得 b(3,6),解法二：设b(x，y)，由已知条件 解得 (舍去)b(3,6) 解法三： 答案：A,变式3.平面向量a、b，ab5，已知a(4，3)，|b|1，则向量b_. 解析：解法一：由题意可知：|a|5，|b|1，ab5cosa，b 1，即a、b共线并且同向，又|b|1b 解法二：令b(x，y)，由|b|1，可得x2y21. 由ab5可得，4x3y5. 联立解得x 答案：,【方法规律】,1向量平行的充要条件是建立向量的坐标及其运算的理论依据；平面向量的基本定理是平面向量坐标表示的基础 2利用平面向量的基本定理，可将几何问题转化为向量问题，其具体过程大致为：(1)适当选择基底(两个彼此不共线向量)； (2)用基底显示几何问题的条件和结论； (3)利用共线向量的充要条件、向量垂a直的充要条件，通过向量的运算解决平行、垂直、夹角和距离的证明和计算等问题.,(2009安徽)(本题满分4分)给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动，若OCxOAyOB，其中x，yR，则xy的最大值是_.,【答题模板】,解析：以O为坐标原点，OA为x轴建立直角坐标系xOy，则OA(1,0), OB .设AOC， 则OC(cos ，sin )，由OCxOAyOB，得 解得 xy sin cos 2sin(30)， 又0120，即3030150，则当3090， 即60时xy取到